大學(xué)物理力學(xué)答案2

1、第2章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)習(xí)題解答 14 第2章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)習(xí)題解答第二章基本知識小結(jié)基本概念 （向右箭頭表示求導(dǎo)運(yùn)算，向左箭頭表示積分運(yùn)算，積分運(yùn)算需初始條件：）直角坐標(biāo)系 與x,y,z軸夾角的余弦分別為 .與x,y,z軸夾角的余弦分別為 . y y' V o x o' x' z z'與x,y,z軸夾角的余弦分別為 自然坐標(biāo)系 極坐標(biāo)系 相對運(yùn)動 對于兩個相對平動的參考系 （時空變換） （速度變換） （加速度變換）若兩個參考系相對做勻速直線運(yùn)動，則為伽利略變換，在圖示情況下，則有：2.1.1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)方程為：,求質(zhì)點(diǎn)軌跡并用圖表示.解：軌跡方程為的直線.xy5xy5/35

2、/4，消去參數(shù)t得軌跡方程2.1.2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)方程為.求質(zhì)點(diǎn)軌跡；求自t= -1到t=1質(zhì)點(diǎn)的位移。解：由運(yùn)動學(xué)方程可知：，所以，質(zhì)點(diǎn)是在z=2平面內(nèi)的第一像限的一條雙曲線上運(yùn)動。所以，位移大?。?.1.3質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)方程為. 求質(zhì)點(diǎn)軌跡；求質(zhì)點(diǎn)自t=0至t=1的位移.解：，消去參數(shù)t得：2.2.1雷達(dá)站于某瞬時測得飛機(jī)位置為R0.75s后測得，R1,R2均在鉛直面內(nèi)，求飛機(jī)瞬時速率的近似值和飛行方向（角）解：，在圖示的矢量三角形中，應(yīng)用余弦定理，可求得：1R1R2R12據(jù)正弦定理：yx0x1x22.2.2 一圓柱體沿拋物線軌道運(yùn)動，拋物線軌道為y=x2/200(長度：毫米)。第一次觀察到圓柱

3、體在x=249mm處，經(jīng)過時間2ms后，圓柱體移到x=234mm處。求圓柱體瞬時速度的近似值。解：由于t很小，所以，其中，。其大??；與x軸夾角2.2.3一人在北京音樂廳內(nèi)聽音樂，離演奏者17m；另一人在廣州聽同一演奏的轉(zhuǎn)播，廣州離北京2320km，收聽者離收音機(jī)2m，問誰先聽到聲音？聲速為340m/s，電磁波傳播的速率為3.0×108m/s.17m340m/s2320km,3×108m/s340m/s2m解：聲音傳播情況如圖所示，北京人聽到演奏聲音所需時間：廣州人聽到演奏聲音所需時間：v230°v1=90km/hv2=70km/hv西北2.2.5火車進(jìn)入彎道時減速

4、，最初列車向正北以90km/h速率行駛，3min后以70km/h速率向北偏西30°方向行駛，求列車的平均加速度。解：對矢量三角形應(yīng)用余弦定理：，由正弦定理：2.2.6 ，R為正常數(shù)，求t=0,/2時的速度和加速度。，求t=0,1時的速度和加速度（寫出正交分解式）。解： ；102030102030°45°120°-10-200x(m)t(s)abc2.3.1圖中a、b和c表示質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動三種不同情況下的x-t圖像，試說明每種運(yùn)動的特點(diǎn)（即速度，計時起點(diǎn)時質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，質(zhì)點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的時刻）解：質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動的速度，在x-t圖像中為曲線斜率。由于三種圖像

5、都是直線，因此三種運(yùn)動都是勻速直線運(yùn)動，設(shè)直線與x軸正向夾角為，則速度對于a種運(yùn)動：對于b種運(yùn)動：對于c種運(yùn)動：2.3.2質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)方程為x=acost,a為正常數(shù)，求質(zhì)點(diǎn)速度和加速度，并討論運(yùn)動特點(diǎn)（有無周期性，運(yùn)動范圍，速度變化情況等）解：顯然，質(zhì)點(diǎn)隨時間按余弦規(guī)律作周期性運(yùn)動，運(yùn)動范圍：2.3.3跳傘運(yùn)動員的速度為，v鉛直向下，,q為正常量，求其加速度，討論時間足夠長時（即t）速度、加速度的變化趨勢。解：因為v>0，a>0，所以，跳傘員做加速直線運(yùn)動，但當(dāng)t時，v，a0，說明經(jīng)過較長時間后，跳傘員將做勻速直線運(yùn)動。v(km/h)v=v0cosx/5x(km)1.5v

6、02.3.4 直線運(yùn)行的高速列車在電子計算機(jī)控制下減速進(jìn)站。列車原運(yùn)行速率為v0=180km/h，其速率變化規(guī)律如圖所示。求列車行至x=1.5km時的加速度。解：，將v0=180km/h,x=1.5km代入ABaA0.5g0x2.3.5在水平桌面上放置A、B兩物體，用一根不可伸長的繩索按圖示的裝置把它們連接起來，C點(diǎn)與桌面固定，已知物體A的加速度aA=0.5g，求物體B的加速度。解：設(shè)整個繩長為L，取圖示坐標(biāo)o-x，則3xA+(-4xB) = L對時間求兩次導(dǎo)數(shù)，3aA=4aB，所以aB = 3aA/4=3×0.5g/4 = 3g/82.3.6質(zhì)點(diǎn)沿直線的運(yùn)動學(xué)方程為x=10t+3t

7、2. 將坐標(biāo)原點(diǎn)沿o-x正方向移動2m，運(yùn)動學(xué)方程如何？初速度有無變化？將計時起點(diǎn)前移1s，運(yùn)動學(xué)方程如何？初始坐標(biāo)和初速度發(fā)生怎樣的變化？加速度變不變？解：x=10t+3t2，v=dx/dt=10+6t，a=dv/dt=6，t=0時，x=0,v=10將坐標(biāo)原點(diǎn)向x軸正向移動2m，即令x'=x-2，x=x'+2，則運(yùn)動學(xué)方程為：x'=10t+3t2-2，v'=dx'/dt=10+6t，v'=v將計時起點(diǎn)前移1s，即令t'=t+1，t=t'-1，則運(yùn)動學(xué)方程變?yōu)椋簒 = 10(t'-1) + 3(t'-1)2 = 1

8、0t' 10 + 3t'2 - 6t' + 3 = 4t' + 3t'2 7v'=dx/dt'=4+6t'，t'=0時，x= -7，v'=4，加速度a不變。2.4.1質(zhì)點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)時開始計時，沿x軸運(yùn)動，其加速度ax = 2t (cms-2)，求在下列兩種情況下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)方程，出發(fā)后6s時質(zhì)點(diǎn)的位置、在此期間所走過的位移及路程。初速度v0=0；初速度v0的大小為9cm/s，方向與加速度方向相反。解：令vx=0，由速度表達(dá)式可求出對應(yīng)時刻t=3，由于3秒前質(zhì)點(diǎn)沿x軸反向運(yùn)動，3秒后質(zhì)點(diǎn)沿x軸正向運(yùn)動，所以路程：

9、2.4.2質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動瞬時速度的變化規(guī)律為：vx = -3 sint，求t1=3至t2=5時間內(nèi)的位移。解：2.4.3 一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動，其瞬時加速度的變化規(guī)律為ax= -A2cost.在t=0時，vx=0,x=A，其中A,均為正常數(shù)。求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)方程。解：，2.4.4飛機(jī)著陸時為盡快停止采用降落傘制動，剛著陸時，t=0時速度為v0，且坐標(biāo)x=0，假設(shè)其加速度為 ax = - bvx2，b=常量，求飛機(jī)速度和坐標(biāo)隨時間的變化規(guī)律。解：2.4.5在195m長的坡道上，一人騎自行車以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行車同時以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度

10、下坡，問：經(jīng)多長時間兩人相遇？兩人相遇時各走過多長的路程？解：以上坡者出發(fā)點(diǎn)為原點(diǎn)沿其前進(jìn)方向建立坐標(biāo)o-x，用腳標(biāo)1表示上坡者，用腳標(biāo)2表示下坡者。兩人的加速度實(shí)際上是相同的：x0195a1a2v10v20根據(jù)勻變速直線運(yùn)動公式：令x1=x2，可求得相遇時間：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s對于上坡者，在相遇期間做的不一定是單方向直線運(yùn)動，據(jù)上坡者的速度表達(dá)式：v1=5-0.2t，令v1=0，求得對應(yīng)時刻t=25s，所以，上坡者在25s前是在上坡，但25s后卻再下坡。因此，上坡者在30s內(nèi)走過的路程：對于下坡者，因為做單方向直線運(yùn)動，所以30s內(nèi)走過的路程：2.4.6站臺

11、上送行的人，在火車開動時站在第一節(jié)車廂的最前面，火車開動后經(jīng)過t=24s，火車第一節(jié)車廂的末尾從此人的前面通過，問第七節(jié)車廂駛過他面前需要多長時間?火車做勻加速運(yùn)動。210x解：設(shè)每節(jié)車廂長為L，以地為參考系，以人所在點(diǎn)為原點(diǎn)建立圖示坐標(biāo)o-x，以第一節(jié)車廂的前端點(diǎn)為研究對象，t=0時，前端點(diǎn)的坐標(biāo)x=0，速度v=0，據(jù)勻加速運(yùn)動公式：，令x=L，求得：，令x=6L，可求得第6節(jié)車廂尾端通過人時所需時間t6：令x=7L，可求得第7節(jié)車廂尾端通過人時所需時間t7：因此，第7節(jié)車廂通過人所需時間：yh02.4.7 在同一鉛直線上相隔h的兩點(diǎn)以同樣速率v0上拋二石子，但在高處的石子早t0秒被拋出，求

12、此二石子何時何處相遇？解：以地為參考系，建立圖示坐標(biāo)o-y。據(jù)題意，設(shè)t=0時，上面石子坐標(biāo)y1=h,速度v1=v0；t=t0時，下面石子坐標(biāo)y2=0，v2=v0解法1：根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律，可知解法2：可根據(jù)速度、加速度的導(dǎo)數(shù)定義和初始條件，通過積分得到、，然后求解。2.4.8電梯以1.0m/s的勻速率下降，小孩在電梯中跳離地板0.50m高，問當(dāng)小孩再次落到地板上時，電梯下降了多長距離？解：以電梯為參考系，小孩相對電梯做豎直上拋運(yùn)動，他從起跳到再次落到地板所需時間，是他從最高處自由下落到地板所需時間的2倍。由自由落體運(yùn)動公式：，可求得從最高出落到地板所需時間：，所以小孩做豎直上拋所需時間

13、為0.64s，在此時間內(nèi)電梯對地下落距離：L = 1.0×0.64 = 0.64 m2.5.1質(zhì)點(diǎn)在o-xy平面內(nèi)運(yùn)動,其加速度為，位置和速度的初始條件為：t=0時，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)方程并畫出軌跡。解：xy2.5.2 在同一豎直面內(nèi)的同一水平線上A、B兩點(diǎn)分別以30º、60º為發(fā)射角同時拋出兩球，欲使兩小球相遇時都在自己的軌道的最高點(diǎn)，求A、B兩點(diǎn)間的距離。已知小球在A點(diǎn)的發(fā)射速度vA=9.8米/秒。 Y vAO vBO 30º 60º A S B x解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)建立圖示坐標(biāo)系，取發(fā)射時刻為計時起點(diǎn)，兩點(diǎn)間距離為S，初始條件如圖所示。據(jù)斜拋規(guī)

14、律有：滿足題中條件，在最高點(diǎn)相遇，必有vAy=vBy=0,xA=xB 2.5.3迫擊炮的發(fā)射角為60°發(fā)射速率150m/s，炮彈擊中傾角為30°的山坡上的目標(biāo)，發(fā)射點(diǎn)正在山腳，求彈著點(diǎn)到發(fā)射點(diǎn)的距離OA.xyA60°30°v0解：以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，建立圖示坐標(biāo)o-x，斜拋物體的軌跡方程為（見教材）： 本題，=60°，v0=150m/s，A點(diǎn)坐標(biāo)xA,yA應(yīng)滿足軌跡方程，所以： 另外，根據(jù)圖中幾何關(guān)系，可知：，代入中，有：2.5.4轟炸機(jī)沿與鉛直方向成53°俯沖時，在763m的高度投放炸彈，炸彈在離開飛機(jī)5.0s時擊中目標(biāo)，不計空氣阻力：

15、轟炸機(jī)的速率是多少？炸彈在飛行中通過的水平距離是多少？炸彈擊中目標(biāo)前一瞬間的速度沿水平和鉛直方向的分量是多少？xy0v053°解：以投放點(diǎn)為原點(diǎn)，建立圖示坐標(biāo)o-xy,設(shè)炸彈初速度（即轟炸機(jī)速度）為v0. 由于炸彈在飛行過程中的加速度，所以炸彈在x方向做勻速直線運(yùn)動，在y方向做豎直下拋運(yùn)動，有令t=5.0s，y=763m，由可求得轟炸機(jī)的速率：將v0代入中，可求得炸彈擊中目標(biāo)時速度的水平分量：令t=5，由可求得炸彈擊中目標(biāo)時速度的豎直分量：xyovl命中點(diǎn)觀測者x1x22.5.5雷達(dá)監(jiān)測員正在監(jiān)視一越來越近的拋射體，在某一時刻，他給出這樣的信息：拋射體達(dá)到最大高度且正以速率v沿水平方

16、向運(yùn)動；觀測員到拋射體的直線距離是l；觀測員觀測拋體的視線與水平方向成角。問：拋射體命中點(diǎn)到觀測者的距離D等于多少？何種情況下拋體飛越觀察員的頭頂以后才命中目標(biāo)？何種情況下拋體在未達(dá)到觀察員以前就命中目標(biāo)？解：以拋體所達(dá)最大高度處為計時起點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，建立圖示坐標(biāo)o-xy，拋體以速度v做平拋運(yùn)動.設(shè)命中時間為t1，由自由落體公式：命中點(diǎn)x坐標(biāo)為：，由圖中幾何關(guān)系，觀測者的x坐標(biāo)：。所以，觀測者與命中點(diǎn)間的距離：當(dāng)x1<x2，即 時，則拋體在未達(dá)到觀察員前即命中目標(biāo)。當(dāng)x1>x2，即 時，則拋體在飛越觀察員后才命中目標(biāo)。東北O(jiān)Saanav2.6.1列車在圓弧形軌道上自東轉(zhuǎn)向北行駛，在

17、我們所討論的時間范圍內(nèi)，其運(yùn)動學(xué)方程為S=80t-t2（m,s），t=0時，列車在圖中O點(diǎn)，此圓弧形軌道的半徑r=1500m，求列車駛過O點(diǎn)以后前進(jìn)至1200m處的速率及加速度。解：S=80t-t2 v=dS/dt=80-2t 令S=1200，由可求得對應(yīng)時間：將t=60代入中，v=-40，不合題意，舍去；將t=20代入中，v=40m/s，此即列車前進(jìn)到1200m處的速率。 2.6.2 火車以200米/小時的速度駛?cè)雸A形軌道，其半徑為300米。司機(jī)一進(jìn)入圓弧形軌道立即減速，減速度為2g。求火車在何處的加速度最大？最大加速度是多少？解：沿火車運(yùn)動的圓形軌道建立弧坐標(biāo)o-s，t=0時，s=0,v=

18、v0=200km/h=55.56m/s。據(jù)題意a= -2g，v=v0+at=v0 -2g t，an=v2/R=(v0 2gt)2/R。a=(a2+an2)1/2=4g2+(v0 2gt)4/R21/2，顯然，t=0時，a最大， na30°2.6.3斗車在位于鉛直平面內(nèi)上下起伏的軌道上運(yùn)動，當(dāng)斗車達(dá)到圖中所示位置時，軌道曲率半徑為150m，斗車速率為50km/h，切向加速度a=0.4g，求斗車的加速度。解： B 120m C B v u L v 1 u 2A A第一次渡河矢量圖 第二次渡河矢量圖加速度與切向單位矢量夾角：北東45°15°v風(fēng)地v機(jī)地v機(jī)風(fēng)2.8.1

19、飛機(jī)在某高度的水平面上飛行，機(jī)身的方向是自東北向西南，與正西夾15º角，風(fēng)以100km/h的速率自西南向東北方向吹來，與正南夾45º角，結(jié)果飛機(jī)向正西方向運(yùn)動，求飛機(jī)相對于風(fēng)的速度及相對于地面的速度。解：，由矢量圖可知，其中，v風(fēng)地=100km/h=27.78m/s，可求得：2.8.3 一卡車在平直路面上以恒速度30米/秒行駛，在此車上射出一個拋體，要求在車前進(jìn)60米時，拋體仍落回到車上原拋出點(diǎn)，問拋體射出時相對于卡車的初速度的大小和方向，空氣阻力不計。解：以卡車為參考系，設(shè)拋體初速為v0，由于要落回原拋出點(diǎn)，故方向只能豎直向上，即拋體相對車只能作豎直上拋運(yùn)動。取向上方向為正，拋體相對車任意時刻速度 v = v0 - g t 由題意，拋體落回原地所需時間 t = 60/30 = 2(s)，落到車上時的速度 v = - v0