工程力學(xué)第13章應(yīng)力狀態(tài)分析和強度理論

1、第第13章章 應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力狀態(tài)分析和強度理論和強度理論13.1 13.1 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念af軸向拉伸桿件軸向拉伸桿件fffpxnfp)2sin(2cos2斜截面應(yīng)力：斜截面應(yīng)力：問題問題1 1：同一點處不同方位截面上的應(yīng)力不相同；同一點處不同方位截面上的應(yīng)力不相同；橫截面應(yīng)力：橫截面應(yīng)力：梁彎曲的強度條件：梁彎曲的強度條件： .,*maxmaxmaxmaxbisfwmzszzzfffl)(b問題問題2 2 b b點處應(yīng)力該如何校核？點處應(yīng)力該如何校核？bb 有必要研究有必要研究一點的應(yīng)力狀態(tài)。一點的應(yīng)力狀態(tài)。 過一點不同方向面上應(yīng)力的過一點不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點

2、的集合，稱之為這一點的應(yīng)力狀應(yīng)力狀態(tài)態(tài)。研究應(yīng)力狀態(tài)的目的研究應(yīng)力狀態(tài)的目的：找出一點處沿不同方向應(yīng)力的變化找出一點處沿不同方向應(yīng)力的變化規(guī)律，確定出最大應(yīng)力，從而全面考慮構(gòu)件破壞的原因，規(guī)律，確定出最大應(yīng)力，從而全面考慮構(gòu)件破壞的原因，建立適當(dāng)?shù)膹姸葪l件。建立適當(dāng)?shù)膹姸葪l件。 x y z xy yx yz zy zx xz三個方向的尺寸均為無窮??；三個方向的尺寸均為無窮小；每個面上應(yīng)力都是均勻的；每個面上應(yīng)力都是均勻的；在單元體內(nèi)相互平行的截面上應(yīng)力都在單元體內(nèi)相互平行的截面上應(yīng)力都是相同的。是相同的。aaffa a 1 1、主平面與主應(yīng)力：、主平面與主應(yīng)力：主平面：切應(yīng)力為零的平面。主平面

3、：切應(yīng)力為零的平面。主應(yīng)力：作用于主平面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力：作用于主平面上的正應(yīng)力。xxyyxy主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值由大到小主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值由大到小。321 過一點總存在三對相互垂直的主平面，對應(yīng)三個主應(yīng)力過一點總存在三對相互垂直的主平面，對應(yīng)三個主應(yīng)力3010503010;30;10;50321;30; 0;10321a、單向應(yīng)力狀態(tài)、單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個主應(yīng)力不等于零，另兩個主應(yīng)力只有一個主應(yīng)力不等于零，另兩個主應(yīng)力 都等于零的應(yīng)力狀態(tài)都等于零的應(yīng)力狀態(tài)。b、二向應(yīng)力狀態(tài)、二向應(yīng)力狀態(tài)：有兩個主應(yīng)力不等于零有兩個主應(yīng)力不等于零 ，另一個主應(yīng)力，另一個主應(yīng)力 等于零的應(yīng)力狀態(tài)。

4、等于零的應(yīng)力狀態(tài)。c、三向應(yīng)力狀態(tài)、三向應(yīng)力狀態(tài)：三向主應(yīng)力都不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。三向主應(yīng)力都不等于零的應(yīng)力狀態(tài)。 2 2、應(yīng)力狀態(tài)的分類、應(yīng)力狀態(tài)的分類平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)：單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)的總稱。單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)的總稱。復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)：二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)的總稱。二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)的總稱?？臻g應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)：三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)簡單應(yīng)力狀態(tài)：簡單應(yīng)力狀態(tài)：單向應(yīng)力狀態(tài)。單向應(yīng)力狀態(tài)。純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)：單元體上只存在剪應(yīng)力無正應(yīng)力單元體上只存在剪應(yīng)力無正應(yīng)力。yxz x y z xy yx yz zy zx xzxyx

5、y yx xyxyxxy yx xyfpl/2l/2s 截面截面5432154321s截面截面4plfmz 2pf5432154321s 截面截面4plfmz 2pf1x12 2x223313.2 13.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析 解析法解析法等價等價xxxyyyxyoxyozxyxyxy空間問題簡化空間問題簡化為平面問題為平面問題xyxyxyxyon- - 逆時針轉(zhuǎn)為正。逆時針轉(zhuǎn)為正。設(shè)：斜截面面積為設(shè)：斜截面面積為a a，由分離體平衡得：由分離體平衡得：;0 fndaxyxyxyacbtnxxyxyacbsin:cos:daacdaabdabc單元體各面面積單元體各面面積cos)

6、cos(daxsin)cos( daxsin)sin(day0cos)sin(day2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx由切應(yīng)力互等定理和三角變換，可得：由切應(yīng)力互等定理和三角變換，可得：tnxxyxyacb0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(, 0dadadadadafyyxxt符號規(guī)定：符號規(guī)定：1 )1 )“ ”正負(fù)號同正負(fù)號同“ ”； 2)2) “ “ ”正負(fù)號同正負(fù)號同“ ” ； 3)3) “ “a”為斜面的外法線與為斜面的外法線與 x 軸正向的夾角，逆時針為正，順時針軸正向的夾角，逆時針為正，順時針 為負(fù)。為負(fù)。注意：用公式計算時

7、代入相應(yīng)的正負(fù)號。注意：用公式計算時代入相應(yīng)的正負(fù)號。, 00dd00即yxxytg220主平面的方位主平面的方位)90;(00002sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)1()2(00202cos2sin200 xyyxdd22minmax)2(2xyyxyx主應(yīng)力的大小主應(yīng)力的大小討論：討論：yx0901)、2)、 的極值的極值 主應(yīng)力以及主平面方位主應(yīng)力以及主平面方位 可以確定出兩個相互垂直可以確定出兩個相互垂直的平面的平面主平面主平面，分別為最大分別為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。3)3)、 切應(yīng)力切應(yīng)力 的極值及所在截面的極值及所在截

8、面,2cos2sin2xyyxxyyx22tan1最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力 所在的位置所在的位置22minmax)2(xyyxxy 面內(nèi)的最大切應(yīng)力面內(nèi)的最大切應(yīng)力01dd令令)90;(011112tan2tan10)45(001由由yxxy22tan0主平面的位置主平面的位置)90;(0000 xyyx22tan1最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力 所在的位置所在的位置)90;(0111將將 與與 畫在原單元體上。畫在原單元體上。maxminmax,00145xyyxmaxminminmax0maxmin例例1：如圖所示單元體，求如圖所示單元體，求 斜面的應(yīng)力及主應(yīng)力、主平面。斜面的應(yīng)力及主應(yīng)力、主平面。（單

9、位：mpa）300405060解：解：1 1、求斜面的應(yīng)力、求斜面的應(yīng)力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)(3 .58)60sin()50()60cos(260402604000mpa)( 3 .18)60cos()50()60sin(2604000mpa30,50,60,40 xyx5040602 2、求主應(yīng)力、主平面、求主應(yīng)力、主平面yxxytg22022minmax)2(2xyyxyx)(7 .60)(7 .80)50()26040(2604022mpampa16040)50( 2005 .67)(7 .60, 0),(7 .80321mpampa主應(yīng)力主應(yīng)力：

10、主平面位置主平面位置：31yxxx013.3 13.3 三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài) 空間應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài) 1 2 3 z x y x y y x y x z三向應(yīng)力狀態(tài)特例的一般情形三向應(yīng)力狀態(tài)特例的一般情形32i1(1)(1)求平行于求平行于1的方向面的應(yīng)力的方向面的應(yīng)力 、 ,其上之應(yīng)力與其上之應(yīng)力與1 無關(guān)無關(guān). .ii1 32(2)(2)求平行于求平行于2的方向面的應(yīng)力的方向面的應(yīng)力、 ,其上之應(yīng)力與其上之應(yīng)力與2 無關(guān)無關(guān). .iii213(3)(3)求平行于求平行于3的方向面的應(yīng)力的方向面的應(yīng)力 、 ,其上之應(yīng)力與其上之

11、應(yīng)力與3 無關(guān)無關(guān). .(4)(4)一點處任意斜截面上的應(yīng)一點處任意斜截面上的應(yīng)力力n 、n ,其上之應(yīng)力與其上之應(yīng)力與1 、2 、3都有關(guān)都有關(guān). . 1 2 3 在三組特殊方向面中都有各自的面內(nèi)最大切應(yīng)力在三組特殊方向面中都有各自的面內(nèi)最大切應(yīng)力, ,即：即：221232 231 231max一點處最大剪應(yīng)力13.4 13.4 廣義胡克定律廣義胡克定律xexxexxy-泊松比泊松比yx一、單向應(yīng)力狀態(tài)：一、單向應(yīng)力狀態(tài)：二、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律疊加法二、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律疊加法2311223+231231231231122,11e,12ee13,21e ,22e e23 23

12、12313,31e ,32e e33 2312313211e1111 3121e2222 1231e3333 123,321,321即即.,min3max1(2)當(dāng) 時，即為二向應(yīng)力狀態(tài)：03)(1211e)(1122e)(213e)0(3(3)當(dāng) 時，即為單向應(yīng)力狀態(tài)；0, 032即最大與最小主應(yīng)變分別發(fā)生在最大與最小主應(yīng)力方向。即最大與最小主應(yīng)變分別發(fā)生在最大與最小主應(yīng)力方向。 若單元體上作用的不是主應(yīng)力，而是一般的應(yīng)力 時，則單元體不僅有線變形 ，而且有角變形 。其應(yīng)力-應(yīng) 變關(guān)系為： zyxzxyzyx,zyx,zyxzxy,三、廣義胡克定律的一般形式三、廣義胡克定律的一般形式: :

13、x y z xy yx yz zy zx xz x y z xy yx yz zy zx xz)(1zyxxe gxyxy )(1xzyye )(1yxzze gyzyz gzxzx 12egxy廣義胡克定律的應(yīng)用廣義胡克定律的應(yīng)用求平面應(yīng)力狀態(tài)下任意方向求平面應(yīng)力狀態(tài)下任意方向 的正應(yīng)變：的正應(yīng)變：901e 9090 xy求出求出 , ,就可求得就可求得 方向的正應(yīng)變方向的正應(yīng)變 90,例例2、槽形剛體內(nèi)放置一邊長為槽形剛體內(nèi)放置一邊長為a = 10 cm 正方形鋼塊，試求鋼正方形鋼塊，試求鋼塊的三個主應(yīng)力。塊的三個主應(yīng)力。f = 8 kn，e = 200 gpa, = 0.3。 yf?,x

14、yyxx,80 mpaafympayx24)(1zyxxe. 0zxyz解：解：1) 1) 研究對象：研究對象：.?, 0zyx2)2)由廣義虎克定律：由廣義虎克定律：.10yxe.80,24, 0321正方形鋼塊正方形鋼塊 某點的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示某點的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示, ,當(dāng)當(dāng)x x,y y,z z不變不變,x x增大時增大時, ,關(guān)于關(guān)于x x值的說法正確的是值的說法正確的是_._.a.a.不變不變b.b.增大增大c.c.減小減小 d.d.無法判定無法判定x x僅與正應(yīng)力有關(guān)，而與切僅與正應(yīng)力有關(guān)，而與切應(yīng)力無關(guān)。所以當(dāng)切應(yīng)力增大應(yīng)力無關(guān)。所以當(dāng)切應(yīng)力增大時，線應(yīng)變不變。時，線應(yīng)變不變。a

15、zyxxe1y x z x圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析 材料抗拉能力差，構(gòu)件沿材料抗拉能力差，構(gòu)件沿4545斜斜截面因拉應(yīng)力而破壞（脆性材料）。截面因拉應(yīng)力而破壞（脆性材料）。 材料抗剪切能力材料抗剪切能力差，構(gòu)件沿橫截面因差，構(gòu)件沿橫截面因切應(yīng)力而發(fā)生破壞切應(yīng)力而發(fā)生破壞(塑塑性材料）；性材料）；2、鑄鐵試件：、鑄鐵試件：沿與軸線約成沿與軸線約成45 的螺旋線斷開。的螺旋線斷開。1、低碳鋼試件：、低碳鋼試件：沿橫截面斷開。沿橫截面斷開。, 0n, 0t2sin2cos設(shè)：設(shè)：ef ef 邊的面積為邊的面積為 da da 則則 xntefbeb 邊的面積為邊的面積為dacosef 邊的面積

16、為邊的面積為dasin0sin)sin(cos)cos(dadadasin)cos(dadacos)sin(da0 若材料抗拉壓能力差，構(gòu)件沿若材料抗拉壓能力差，構(gòu)件沿4545斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。結(jié)論：結(jié)論： 若材料抗剪切能力差，構(gòu)件沿橫截面發(fā)生破壞若材料抗剪切能力差，構(gòu)件沿橫截面發(fā)生破壞( (塑性材料）；塑性材料）；2cos ; 2sin 分析：分析： 45:,)1minmax,450;max,450;min:)2max,0;max橫截面上！橫截面上！ 強度理論：強度理論： 13.5 13.5 強度理論強度理論構(gòu)件在靜載荷作用下的兩種失效形式：構(gòu)件在靜載荷

17、作用下的兩種失效形式： (1)(1) 脆性斷裂：脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。脆斷等。 (2)(2) 塑性屈服（流動）塑性屈服（流動）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。扭，鑄鐵壓。本章介紹常用的四個經(jīng)典強度理論本章介紹常用的四個經(jīng)典強度理論 人們根據(jù)

18、大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了種人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了種種關(guān)于種關(guān)于破壞原因的假說，破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過實踐找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論（為為了建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件，而提出的關(guān)于材料破壞原了建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件，而提出的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計算方法）因的假設(shè)及計算方法） 。 材料發(fā)生脆性斷裂的主要因素是最大拉應(yīng)力達(dá)到極限值材料發(fā)生脆性斷裂的主要因素是最大拉應(yīng)力達(dá)到極限值01 構(gòu)件危險點的最大拉應(yīng)力構(gòu)件危險點的

19、最大拉應(yīng)力1 極限拉應(yīng)力，由單向拉伸實驗測得極限拉應(yīng)力，由單向拉伸實驗測得b 00 nb1強度條件強度條件b1 斷裂條件斷裂條件 無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài), ,只要發(fā)生脆性斷裂只要發(fā)生脆性斷裂, ,都是由于最大都是由于最大拉應(yīng)變（線變形）達(dá)到極限值導(dǎo)致的。拉應(yīng)變（線變形）達(dá)到極限值導(dǎo)致的。 01 構(gòu)件危險點的最大伸長線應(yīng)變構(gòu)件危險點的最大伸長線應(yīng)變1 極限伸長線應(yīng)變，由單向拉伸實驗測得極限伸長線應(yīng)變，由單向拉伸實驗測得0 e/)(3211 eb/0 強度條件強度條件)(321nb斷裂條件斷裂條件eeb)(1321b)(321即即 無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)無論材料處于什么

20、應(yīng)力狀態(tài), ,只要發(fā)生屈服只要發(fā)生屈服, ,都是由于最大切應(yīng)都是由于最大切應(yīng)力達(dá)到了某一極限值。力達(dá)到了某一極限值。0max 構(gòu)件危險點的最大切應(yīng)力構(gòu)件危險點的最大切應(yīng)力max 極限切應(yīng)力，由單向拉伸實驗測得極限切應(yīng)力，由單向拉伸實驗測得0 2/0s 2/ )(31maxs31 屈服條件屈服條件 ss31n強度條件強度條件 實驗表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實。 無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài), ,只要發(fā)生屈服只要發(fā)生屈服, ,都是由于單元體的最大形狀都是由于單元體的最大形狀改變比能達(dá)到一個極限值。改變比能達(dá)到一個極限值。0ddvv213232221d)()()(61ev 構(gòu)件危險點的形狀改變比能構(gòu)件危險點的形狀改變比能d20261sdev 形狀改變比能的極限值，由單拉實驗測得形狀改變比能的極限值，由單拉實驗測得d屈服條件屈服條件22132322212)()()(s 強度條件強度條件 ss