圓的切點(diǎn)弦方程參照分析

1、圓的切點(diǎn)弦方程【方法】1.設(shè)出直線，再求解； 2.利用軌跡思想，用向量或平面幾何知識(shí)求解?！締?wèn)題】對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)，直線l：與圓o：究竟是什么關(guān)系呢？下面我們進(jìn)行探究：一、當(dāng)點(diǎn)m在圓o上時(shí)，直線l是圓的切線。二、當(dāng)點(diǎn)m在圓o外時(shí)，1.直線l不是圓o的切線，下面證明之：圓心o到l的距離為,由在圓o外,得，故直線l與圓o相交.2.此時(shí)直線l與過(guò)點(diǎn)m的圓的切線又是什么關(guān)系呢?首先研究l的特征：易知：oml。(n為l與om的交點(diǎn))從而oama，ma為圓的一條切線，故直線l為過(guò)點(diǎn)m的圓的兩條切線的兩個(gè)切點(diǎn)所在的直線。事實(shí)上（另證），如圖1，設(shè)過(guò)點(diǎn)m的圓o的兩條切線為l1,l2,切點(diǎn)分別為a、b,則直

2、線ma:，直線mb:.點(diǎn)m的坐標(biāo)滿足直線ma與mb的方程, ,由此可見(jiàn)a、b的坐標(biāo)均滿足方程，由于兩點(diǎn)確定一條直線直線ab的方程為。所以此時(shí)的直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)p的切點(diǎn)弦ab所在直線的方程，而不是圓o的切線?！咀ⅰ可鲜鳇c(diǎn)m、直線l實(shí)質(zhì)上是射影幾何中的極點(diǎn)和極線。特別的，當(dāng)m在圓上時(shí)，極線即為切線。三、當(dāng)點(diǎn)m在圓o內(nèi)時(shí)，1.直線l也不是圓o的切線。下面給出證明：圓心o到l的距離為，由在圓o內(nèi),得 故直線l與圓o相離.2.此時(shí)直線l與圓的切線的關(guān)系又如何呢?首先研究l的特征：由上述探討過(guò)程易知，直線lom，此外，l一定過(guò)點(diǎn)p（p為兩切線的交點(diǎn)，abom），從而l就在圖2中過(guò)點(diǎn)p且與ab平行的位置處。事實(shí)上（另證），直線l的斜率，而直線om的斜率，一方面，過(guò)點(diǎn)m與om垂直的直線方程為即另一方面，將直線om與l的方程聯(lián)立，得到它們的交點(diǎn)p的坐標(biāo)為，由（二）可知過(guò)點(diǎn)p的圓的切點(diǎn)弦所在直線的方程為，即，即為直線的方程。由此我們看到，直線l是由點(diǎn)m確定的。另外，直線l是過(guò)點(diǎn)m的弦（除o，m的弦）的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的兩條切線的交點(diǎn)軌跡，證明如下：設(shè)