2009年上海高考數(shù)學(xué)試卷及答案理科

1、2009年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試上海數(shù)學(xué)試卷（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）一真空題（本大題滿分56分）1 若復(fù)數(shù) z 滿足z (1+i) =1-i (i是虛數(shù)單位)，則其共軛復(fù)數(shù)=_ .2 已知集合，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ .3 若行列式中，元素4的代數(shù)余子式大于0，則x滿足的條件是_ . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4某算法的程序框如右圖所示，則輸出量y與輸入量x滿足的關(guān)系式是_ .5如圖，若正四棱柱的底面連長(zhǎng)為2，高 為4，則異面直線與ad所成角的大小是_（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）.6函數(shù)的最小值是_ .7某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量表示選出

2、的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望_（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.8.已知三個(gè)球的半徑，滿足，則它們的表面積，滿足的等量關(guān)系是_. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9.已知、是橢圓（0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則=_.10.在極坐標(biāo)系中，由三條直線，圍成圖形的面積是_. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11.當(dāng)，不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.12已知函數(shù).項(xiàng)數(shù)為27的等差數(shù)列滿足，且公差.若，則當(dāng)=_是，.13.某地街道呈現(xiàn)東西、南北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1.兩街道相交的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)。若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)，為報(bào)刊零售點(diǎn).請(qǐng)確定一

3、個(gè)格點(diǎn)（除零售點(diǎn)外）_為發(fā)行站，使6個(gè)零售點(diǎn)沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14.將函數(shù)的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，得到曲線.若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，曲線都是一個(gè)函數(shù)的圖像，則的最大值為_(kāi). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 二選擇題（本大題滿分16分）15.是“實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根”的（a）必要不充分條件 （b）充分不必要條件（c）充要條件 （d）既不充分也不必要條件16.若事件與相互獨(dú)立，且，則的值等于（a） （b） （c） （d）17.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專(zhuān)業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒(méi)有發(fā)生在規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，

4、每天新增疑似病例不超過(guò)7人”。根據(jù)過(guò)去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（a）甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4 （b）乙地：總體均值為1，總體方差大于0 （c）丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3 （d）丁地：總體均值為2，總體方差為318.過(guò)圓的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)a、b，被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足則直線ab有（ ）（a） 0條 （b） 1條 （c） 2條 （d） 3條三解答題（本大題滿分78分）19（本題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，,求二面角的大小。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿

5、分6分，第2小題滿分8分。有時(shí)可用函數(shù) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度，其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)（），表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān)。（1） 證明：當(dāng)時(shí)，掌握程度的增加量總是下降；（2） 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為,。當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí)，掌握程度是85%，請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科。21（本題滿分16分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分。 已知雙曲線設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l的方向向量 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1） 當(dāng)直線l與雙曲線c的一條漸近線m平行時(shí)，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；（2

6、） 證明：當(dāng)>時(shí)，在雙曲線c的右支上不存在點(diǎn)q，使之到直線l的距離為。22.（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。 已知函數(shù)的反函數(shù)。定義：若對(duì)給定的實(shí)數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱(chēng)滿足“和性質(zhì)”；若函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱(chēng)滿足“積性質(zhì)”。（1） 判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”，并說(shuō)明理由；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；（3） 設(shè)函數(shù)對(duì)任何，滿足“積性質(zhì)”。求的表達(dá)式。23.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。已知是公差為的等差數(shù)列，是公比

7、為的等比數(shù)列。（1） 若，是否存在，有說(shuō)明理由；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 找出所有數(shù)列和，使對(duì)一切,并說(shuō)明理由；（3） 若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明。答案要點(diǎn)及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、（第一題至第14題）1. 2. 3. 4. 5 6. 1- 7. 8. 9. 3 10. 11. 12.14 13. 14. 二（第15題至第18題）題號(hào)15161718代號(hào)abdb三. （第19題至第23題）19.解 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。 則 a，c，a1， b1，c1， 2分 設(shè)ac的中點(diǎn)為m，bmac，bmcc1， bm平面ac1c，即=是平面 ac1c的

8、一個(gè)法向量。 5分 設(shè)平面a1b1c的一個(gè)法向量是=， =，=， 7分 =0，=，解得。 =， 10分 設(shè)法向量與的夾角為，二面角。 14分 13分 14分 9分 6分 3分 21. （1）雙曲線c的漸近線，即 2分直線的方程 6分直線與m的距離 8分 （2）設(shè)過(guò)原點(diǎn)且平行于的直線 則直線與的距離， 當(dāng)時(shí)，。 12分 又雙曲線c的漸近線為， 雙曲線c的右支在直線的右下方， 雙曲線c的右支上的任意點(diǎn)到直線的距離大于。 故在雙曲線c的右支上不存在點(diǎn)q到到直線的距離為 16分 假設(shè)雙曲線c右支上存在點(diǎn)q到到直線的距離為 ，（2）則 ， （1）由（1）得， 11分設(shè)當(dāng)時(shí)，： 13分將代入（2）得，故在

9、雙曲線c的右支上不存在點(diǎn)q到到直線的距離為 16分22.解 （1）函數(shù)的反函數(shù)是， ，而 ，其反函數(shù)為 故函數(shù)不滿足“1和性質(zhì)” 4分(2)設(shè)函數(shù)滿足“2和性質(zhì)”，。, 6分 而，得反函數(shù)， 8分 由“2和性質(zhì)”定義可知對(duì)恒成立。 即所求一次函數(shù). 10分（3）設(shè)且點(diǎn)圖像上，則在函數(shù)圖像上，故 可得， 12分令，. 14分綜上所述，此時(shí)其反函數(shù)是，而故互為反函數(shù)。 16分23 解 （1）由， 2分 整理后，可得，為整數(shù)， 不存在，使等式成立。 5分 （2）解法一 若即， （*） （i）若， 當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。7分 （ii）若，（*）式等號(hào)左邊取極限得（*）式等號(hào)右只邊只有當(dāng)時(shí)，才可能等于1，此時(shí)等號(hào)左邊是常數(shù)，矛盾。 綜上所述，只有當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。10分 解法二 設(shè)，若，對(duì)都成立，且為等比數(shù)列，則，對(duì)都成立，即， ，對(duì)都成立，7分 （i）若，。 （ii）若，則 綜上所述，使對(duì)一切，。 10分 （3）， 設(shè) ， ， 13分 取，15分 由二項(xiàng)展開(kāi)式可得整數(shù)，使得， 存在整數(shù)滿足要求。 故當(dāng)且僅當(dāng)，命題成立。 18分 說(shuō)