定積分的幾何應用面積和弧長課件

1、定積分的幾何應用面積和弧長1利用元素法解決利用元素法解決: 定積分在幾何上的應用定積分在幾何上的應用定積分在物理上的應用定積分在物理上的應用定積分的應用定積分的幾何應用面積和弧長2定積分的元素法元素法 一、什么問題可以用定積分解決一、什么問題可以用定積分解決 ? 二二 、如何應用定積分解決問題、如何應用定積分解決問題 ? 定積分的幾何應用面積和弧長3表示為表示為niiixfu10)(lim一、什么問題可以用定積分解決一、什么問題可以用定積分解決 ? ? 1) 所求量所求量 u 是與區(qū)間是與區(qū)間a , b上的某分布上的某分布 f (x) 有關的有關的2) u 對區(qū)間對區(qū)間 a , b 具有具有可

2、加性可加性 , 即可通過即可通過“分割分割, 近似代替近似代替, 求和求和, 取極限取極限”baxxfd)(niiixf10)(lim定積分定義定積分定義一個整體量一個整體量 ;定積分的幾何應用面積和弧長4二二 、如何應用定積分解決問題、如何應用定積分解決問題 ? ?第一步第一步 利用利用“分割分割 , 近似代替近似代替” 求出局部量的求出局部量的微分表達式微分表達式xxfud)(d第二步第二步 利用利用“ 求和求和 , 取極限取極限 ” 求出整體量的求出整體量的積分表達式積分表達式uxxfbad)(這種分析方法稱為這種分析方法稱為元素法元素法 (或或微元分析法微元分析法 )元素元素的幾何形狀

3、常取為的幾何形狀常取為: 條條, 帶帶, 段段, 環(huán)環(huán), 扇扇, 片片, 殼殼 等等近似值近似值精確值精確值第二節(jié)第二節(jié) ( ) d(0(0)uf xxdxdx定積分的幾何應用面積和弧長5一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積二、二、 平面曲線的弧長平面曲線的弧長 定積分在幾何學上的應用定積分的幾何應用面積和弧長6ybxa)(2xfy )(1xfy o一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標情形直角坐標情形設曲線設曲線)0()(xfy與直線與直線)(,babxax及及 x 軸所圍曲軸所圍曲則則xxfad)(dxxfabad)(邊梯形面積為邊梯形面積為 a ,右下圖所示圖形面積為右下圖

4、所示圖形面積為 xxfxfabad)()(21oxbay)(xfy xxdxxxxdoo定積分的幾何應用面積和弧長7例例1. 1. 計算兩條拋物線計算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍在第一象限所圍圖形的面積圖形的面積 . 解解: 由由xy 22xy 得交點得交點) 1, 1 ( , )0,0(2332x01331x31120()daxxxxyoxy 22xy xxxd) 1 , 1 (1o定積分的幾何應用面積和弧長8oxy224 xyxy例例2. 2. 計算拋物計算拋物線線xy22與直線與直線的面積的面積 . 解解: 由由xy224 xy得交點得交點)4,8( , )2,2()4,8(1

5、84 xy所圍圖形所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡便計算為簡便計算, 選取選取 y 作積分變量作積分變量,則有則有42122(4)dayyyyyydo定積分的幾何應用面積和弧長9ab例例3. 3. 求橢圓求橢圓12222byax解解: 利用對稱性利用對稱性 , xyadd所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . 有有axya0d4利用橢圓的參數(shù)方程利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應用定積分換元法得應用定積分換元法得024atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當當 a = b 時得圓面積公式時得圓面積公式xxxdxyo定積分的幾何應用面積

6、和弧長10yxaboaboyx一般地一般地 , , 當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程程 )()(tytx給出時給出時, 按按順時針方向順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值規(guī)定起點和終點的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形面積則曲邊梯形面積21d)()(ttttta)(1axt對應)(1bxt對應o定積分的幾何應用面積和弧長11xya2o例例4. 4. 求由擺線求由擺線)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積軸所圍平面圖形的面積 .解解:ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a43

7、21223 a20(1 cos )(1 cos )daatattttad)cos1 (2022200(sin )2(sin )fx dxfx dxo定積分的幾何應用面積和弧長122. 2. 極坐標情形極坐標情形,0)(, ,)(c設求由曲線求由曲線)(r及及,射線圍成的曲邊扇形的面積圍成的曲邊扇形的面積 .)(r d在區(qū)間在區(qū)間,上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間d,則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2a所求曲邊扇形的面積為所求曲邊扇形的面積為d)(212a xoo定積分的幾何應用面積和弧長13對應對應 從從 0 變變例例5. 5. 計算阿基米德螺線

8、計算阿基米德螺線解解:)0( aardd)(212a20a22a331022334a到到 2 所圍圖形面積所圍圖形面積 . a2xoo定積分的幾何應用面積和弧長14心形線心形線 xa2ottadcos82042例例6. 6. 計算心形線計算心形線所圍圖形的所圍圖形的面積面積 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02a02ad2cos44(利用對稱性利用對稱性)2t令28a43212223ao定積分的幾何應用面積和弧長15心形線心形線( (外擺線的一種外擺線的一種) )xyao2222yxaxayx即即)cos1 ( ar點擊圖中任意點點擊圖中任意點動畫開始或暫停動畫

9、開始或暫停 尖點尖點:)0,0( 面積面積:223 a 弧長弧長:a8參數(shù)的幾何意義參數(shù)的幾何意義定積分的幾何應用面積和弧長162coscos21)2cos1 (21aa2 xyo例例7. 7. 計算心形線計算心形線與圓與圓所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . 解解: 利用對稱性利用對稱性 ,)0()cos1 (aar所求面積所求面積ar d)cos1 (2122a2221aa 22221aad)2cos21cos223(2432122aa22245aa 2定積分的幾何應用面積和弧長17a2sin2a例例8. 8. 求雙紐線求雙紐線所圍圖形面積所圍圖形面積 . 解解: 利用對稱性利用對稱性 ,2c

10、os22ard2cos212a404a402a)2(d2cos0則所求面積為則所求面積為42a思考思考: 用定積分表示該雙紐線與圓用定積分表示該雙紐線與圓sin2ar 所圍公共部分的面積所圍公共部分的面積 .2adsin2026ad2cos21462a4答案答案:4yxoo定積分的幾何應用面積和弧長18二、平面曲線的弧長二、平面曲線的弧長定義定義: 若在弧若在弧 ab 上任意作內(nèi)接折線上任意作內(nèi)接折線 ,0m1imimnm當折線段的最大當折線段的最大邊長邊長 0 時時, 折線的長度之和趨向于一個確定的極限折線的長度之和趨向于一個確定的極限 ,則稱此極限為曲線弧則稱此極限為曲線弧 ab 的弧的弧

11、長長 ,即即并稱此曲線弧為可求長的并稱此曲線弧為可求長的.iimm1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的任意光滑曲線弧都是可求長的.( (證明略證明略) )ni 10limsoabyx定積分的幾何應用面積和弧長19sdabyxo(1) (1) 曲線弧由直角坐標方程給出曲線弧由直角坐標方程給出: :)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素弧長元素(弧微分弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長因此所求弧長xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs定積分的幾何應用面積和弧長20(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長元素(弧微分) :因此所求弧長tttsd)(

12、)(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs定積分的幾何應用面積和弧長21(3) 曲線弧由極坐標方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長元素(弧微分) :(自己驗證)定積分的幾何應用面積和弧長22)ch(cxccxccsh1例例9.9. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成懸鏈線 .求這一段弧長 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22eechxxx )(chx2eeshxxx )(sh xxsh

13、xchcxbboy下垂懸鏈線方程為定積分的幾何應用面積和弧長23例例10.10. 計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧長 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2定積分的幾何應用面積和弧長24d222aa例例11.11. 求阿基米德螺線相應于 02一段的弧長 . 解解:)0( aard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2oar 定積分的幾何應用面

14、積和弧長25內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標方程2. 平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標方程上下限按順時針方向確定直角坐標方程注意注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小21d)()(tttttad)(212a定積分的幾何應用面積和弧長26思考與練習思考與練習1.用定積分表示圖中陰影部分的面積用定積分表示圖中陰影部分的面積 a 及邊界長及邊界長 s .提示提示: 交點為交點為, )3,9( , ) 1, 1 (yad 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 3

15、1221弧線段部分弧線段部分直線段部分直線段部分)52ln()376ln(4155373s以以 x 為積分變量為積分變量 , 則要分則要分兩段積分兩段積分, 故以故以 y 為積分變量為積分變量. 定積分的幾何應用面積和弧長27解：解：2. 求曲線求曲線所圍圖形的面積所圍圖形的面積.1lnlnyx顯然顯然1ln,1lnyxoyxe1e1e11eee,ee11yxxln,ln x,ln xe1 x1e1xyln,ln y,ln ye1 y1e1y1e1x1e1y,e1xy中曲線為面積為面積為同理其他同理其他.e1yxxyeexy exys1e1dx)e1(exx e1dx)ee(xx21e21e又又故在區(qū)域故在區(qū)域定積分的幾何應用面積和弧長28分析曲線特點分析曲線特點3. 3. ) 1( xxyoyx解解:41)(221 x1a) 1( xxy與與 x 軸所圍面積軸所圍面積1101d) 1(xxxa61,0時2a12d)