數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作業(yè)

1、驗(yàn)證及改進(jìn)馬爾薩斯人口模型（高迪，071111，07111118）摘要：人口規(guī)模的合理性不僅對未來地區(qū)經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展大有益處，而且對地區(qū)生態(tài)環(huán)境可持續(xù)發(fā)展也有重要意義。現(xiàn)有從1790年到1980年每隔十年的人口數(shù)目，欲結(jié)合這些數(shù)據(jù)利用數(shù)學(xué)軟件mathematica中的數(shù)據(jù)擬合及其他相關(guān)知識擬合malthus（馬爾薩斯）人口指數(shù)增長模型的參數(shù)，運(yùn)用馬爾薩斯（malthus）人口模型，根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步討論馬爾薩斯人口模型的改進(jìn)。一、引言人口數(shù)目每年甚至每時(shí)每刻都有增有減，然而仔細(xì)研究就會發(fā)現(xiàn)其實(shí)人口的增長是有一定的規(guī)律的，人口規(guī)模是城市規(guī)劃和土地利用總體規(guī)劃中一項(xiàng)重要的控制性指標(biāo)。運(yùn)用馬爾薩斯人

2、口模型，利用數(shù)學(xué)軟件mathematica可以進(jìn)行合理分析并能做出較合理的預(yù)測，準(zhǔn)確地預(yù)測未來人口的發(fā)展趨勢，制定合理的人口規(guī)劃和人口布局方案具有重大的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。二、基礎(chǔ)理論此實(shí)驗(yàn)過程中用到的mathematica命令有： 1）畫圖： listplotdata,plotjoined->true;(數(shù)據(jù)連線) listplotdata,plotstyle->pointsize0.02(0.02為點(diǎn)的大小)。 2）擬合函數(shù)： 注意，該擬合是非線性擬合，需要裝入nonlineearfit.m軟件包 使用nonlinearfit命令。三、實(shí)驗(yàn)過程與結(jié)果1、按照表中的數(shù)據(jù)，用軟件畫

3、出數(shù)據(jù)連線圖 選取1970年為初始年份，則相應(yīng)的數(shù)據(jù)為：0, 3.9, 10, 5.3, 20, 7.2, 30, 9.6, 40, 12.9, 50, 17.1, 60, 23.2, 70, 31.4, 80, 38.6, 90, 50.2, 100, 62.9, 110, 76.0, 120, 92.0, 130, 106.5, 140, 123.2, 150, 131.7, 160, 150.7, 170, 179.3, 180, 204.0, 190, 226.5。用mathmatica軟件編程如下：a = 0, 3.9, 10, 5.3, 20, 7.2, 30, 9.6, 40,

4、12.9, 50, 17.1, 60, 23.2, 70, 31.4, 80, 38.6, 90, 50.2, 100, 62.9, 110, 76.0, 120, 92.0, 130, 106.5, 140, 123.2, 150, 131.7, 160, 150.7, 170, 179.3, 180, 204.0, 190, 226.5;p1=listplota, plotjoined -> true;p2=listplota, plotstyle -> pointsize0.02;showp1,p2;圖形如下：2、寫出微分方程的解，帶入初值，初值由表定 微分方程為以1790年

5、為初始年份，即t=0時(shí)，=3.9,將這組初始值代入上式得n(t)=3.9 3、用數(shù)據(jù)擬合模型中的參數(shù)k，寫出人口增長方程由于馬爾薩斯人口模型的特點(diǎn)，因該選取前若干項(xiàng)，而不能選取全部年份數(shù)據(jù)，所以可以取0, 3.9, 10, 5.3, 30, 9.6, 50, 17.1,70, 31.4, 90, 50.2這六組數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。由于該擬合屬于非線性擬合，需要用nonlinearfit命令。mathmatica程序?yàn)椋?lt;<"c:programfileswolframresearchmathematica5.0addonsstandardpackagesstatisticsn

6、onlinearfit.m"p3=0,3.9,10,5.3,20,7.2,30,9.6,40,12.9,50,17.1;nonlinearfitp3,3.9*expl*t,t,l所以=0.0297009，則4、 驗(yàn)證所得到的方程，分析是否符合現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù) ft_=3.9*exp0.0297009*tfori=0,i<20,i+=1,j=i*10; print"f",i*10,"=",ai+1,2,". f",i*10,"=",fj;/n f 0 = 3.9 . f 0 = 3.9 f 10 = 5.3

7、. f 10 = 5.24873 f 20 = 7.2 . f 20 = 7.06388 f 30 = 9.6 . f 30 = 9.50676 f 40 = 12.9 . f 40 = 12.7945 f 50 = 17.1 . f 50 = 17.2191 f 60 = 23.2 . f 60 = 23.174 f 70 = 31.4 . f 70 = 31.1882 f 80 = 38.6 . f 80 = 41.9739 f 90 = 50.2 . f 90 = 56.4897 f 100 = 62.9 . f 100 = 76.0253 f 110 = 76. . f 110 = 1

8、02.317 f 120 = 92. . f 120 = 137.701 f 130 = 106.5 . f 130 = 185.322 f 140 = 123.2 . f 140 = 249.411 f 150 = 131.7 . f 150 = 335.664 f 160 = 150.7 . f 160 = 451.746 f 170 = 179.3 . f 170 = 607.972 f 180 = 204. . f 180 = 818.226 f 190 = 226.5 . f 190 = 1101.19 要想比較擬合前后的人口數(shù)，最直觀的方法就是看圖，所以在這里畫出擬合后的人口曲線圖

9、。程序如下： p4=plotfx,x,0,190;showp1,p4分析：由上面的圖形可以看出擬合后的數(shù)據(jù)跟實(shí)際數(shù)據(jù)并不一樣，與圖形可以得到在1790年1880年兩條曲線基本重合，而從1880年以后兩條曲線之間的差距越來越大，可以知道馬爾薩斯人口增長模型并不能完全表達(dá)人口發(fā)展規(guī)律，所以我們在檢驗(yàn)malthus時(shí)不能夠取全部的實(shí)際數(shù)據(jù)。四、結(jié)論通過此次實(shí)驗(yàn)讓我進(jìn)一步理解掌握了mathmatica軟件的應(yīng)用方法，提高了我解決問題的能力，也讓我理解了馬爾薩斯定律：人口的增長率是常數(shù)，或者說，單位時(shí)間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時(shí)的人口數(shù)成正比。但是經(jīng)過擬合實(shí)驗(yàn)我們可以看到馬爾薩斯人口增長模型并不完全符合現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)，因?yàn)閺纳蠄D可以看出馬爾薩斯人口增長模型只有在人口少量的時(shí)候才適用，在人口數(shù)目增多的時(shí)候，由于生存空間、自然資源、食物是有限的，難免會發(fā)生生存競爭問題，所以馬爾薩斯模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口的數(shù)量有關(guān)。我們需要根據(jù)實(shí)際情況對馬爾薩斯人口增長