線性代數(shù)復(fù)習(xí)題

1、 矩陣一、 填空題1.矩陣與的乘積有意義，則必須滿足的條件是 。2.設(shè)矩陣與都有意義，問與的關(guān)系為 ；又若與為同級方陣，問與的關(guān)系為 。3.設(shè)是一個列向量，是一個數(shù)，分析與的意義 ，兩者是否相等？答： 。4.設(shè)又，問 。5.設(shè)與都是級方陣，計算 , , 。4.設(shè)矩陣,試將表示為對稱矩陣與反對稱矩陣的和 。 （注意：任意階矩陣都可表示為對稱矩陣與反對稱矩陣的和）5.設(shè),計算 。8.設(shè)向量，則 ， 。9.設(shè)矩陣，則 。10.設(shè)，則 。11.設(shè)準(zhǔn)對角矩陣,是多項式，則 。二、判別說理題（錯誤的請舉例說明，正確的請證明）1、設(shè)矩陣滿足，則或。 2、矩陣乘法適合交換律。3、設(shè)是級方陣，則。4、設(shè)是同級方

2、陣，若，則。5、若，則必有。 6、方陣滿足，則或。三、解答題1.已知矩陣，計算,。2.設(shè)。試用矩陣分塊方法求。行列式的計算一、 填空題1. 。(三階以上的行列式?jīng)]有對角線法則)2.試寫出階行列式按第一列展開的定義 。3.已知四階行列式中第三列元素依次為 ，它們的代數(shù)余子式依次分別為 ，則=_。4.設(shè)矩陣，試寫出行列式中-元的代數(shù)余子式 ，中第三行元素的代數(shù)余子式之和= 。5. 設(shè)表示中元素的代數(shù)余子式，則 6、 已知D=,為中第4行元素的代數(shù)余子式，則.7.設(shè)是矩陣 的伴隨矩陣，則8.設(shè)階矩陣可逆，則 。9.若都是階方陣，則 。10.設(shè) 是階方陣的伴隨矩陣, ,則 。11.若，都是階方陣，則。

3、12.設(shè)矩陣, 則 _。()13、已知是關(guān)于的一次多項式，該式中的系數(shù)為_.二、判別說理題（錯誤的請舉例說明，正確的請證明）1、設(shè)是階矩陣，則。2、若一行列式為零，則該行列式中必有兩行或兩列稱比例。（或必有一行或一列為零）3、設(shè)是階方陣， 且， 則 。三、解答題1.計算下列行列式(常規(guī)方法將行列式化為上三角形行列式,不熟練的話一定要一步一步化才不容易出錯)(1)， (2)， (3)， (4)。(注:此行列式為列等和行列式(每一列的和都相等),也是行等和行列式,方法從第2行開始到第n行都加到第1行,這樣第一行的元素都相等,可以提取公因式,這樣第一行的元素就都是1了)2.求。3計算4階行列式.(列

4、等和行列式)4. 計算階行列式 . (列等和行列式)5計算階行列式 (列等和行列式)6計算 (三線型行列式，要利用列變換把第一列除了的元素都化為0)7計算 （三線型行列式）8. 計算行列式.（三線型行列式）9.設(shè)3階方陣的伴隨矩陣為，且，求。10.設(shè)，求。11.設(shè)， 求。12.設(shè)，求。13.設(shè)是階方陣,且,求,其中 是的伴隨矩陣。逆矩陣一、 填空題1.試寫出階方陣可逆的幾個充分必要條件（越多越好） 。2.設(shè)矩陣，則 。3.設(shè)，則 。4.已知矩陣滿足，則 。5.已知為同階方陣,且可逆,若,則 (是整數(shù))。6.設(shè)均為階方陣，且，則。7.設(shè)均為階方陣，且，則。二、判別說理題（錯誤的請舉例說明，正確的

5、請證明）1.矩陣可逆，且其逆為其本身。2. 矩陣，可逆，且其逆為其本身。3.若方陣可逆，則其伴隨矩陣也可逆。4.設(shè),都是階方陣,若,都可逆,則可逆。5.階方陣滿足，則可逆。三、解答題1.已知，求逆陣。 2.設(shè)，求3.用兩種方法求下列矩陣的逆 .4.已知矩陣和滿足關(guān)系式：，其中，求矩陣。矩陣的秩一、 填空題1.試寫出矩陣秩的定義： 。2.設(shè)矩陣，則的秩 。3.矩陣的秩為_， 的伴隨矩陣= 。4.設(shè)是3階可逆方陣，是矩陣且，則 。5.設(shè)，是矩陣且，則 。6.設(shè)是矩陣且，則的等價標(biāo)準(zhǔn)形為 。7.設(shè)，則的等價標(biāo)準(zhǔn)形為 。8.設(shè)，則的等價標(biāo)準(zhǔn)形為 。二、判別說理題（錯誤的請舉例說明，正確的請證明）1.若

6、矩陣的秩為，則中必有某一個階子式不等于零。2.若階方陣的秩，則其伴隨陣。三、解答題1.寫出下列矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形，（對討論）2.設(shè)矩陣的秩為2，求，。線性方程組一、 填空題1.試寫出線性方程組有解的一個充分必要條件 。2.設(shè)是階方陣，且秩，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中含 個解向量。3.方程組的基礎(chǔ)解系中含 個解向量。4.設(shè)是元齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則秩()= 。5.矩陣的秩為，則的基礎(chǔ)解系一定由_個線性無關(guān)的解向量構(gòu)成。6.設(shè)是階方陣,則線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)是 。7.若方程組有非零解，則 。8.設(shè)是階方陣,若線性方程組有非零解,則必有 。9. 已知齊次線性方程組 有無窮多解，則

7、必有 .二、判別說理題（錯誤的請舉例說明，正確的請證明）1.元線性方程組當(dāng)時有無窮多解。2.設(shè)是階方陣,若方程組滿足,則有唯一解。3.對于線性方程組 (這里為n階方陣)，如果該方程組有解，則必有 。4.設(shè)是方程組的解，則是的解。5.設(shè)是方程組的解，則是的解。6.設(shè)是線性方程組的解，則是的解。7.設(shè)是線性方程組的解，則是的解，是任意常數(shù)。三、解答題1.求解線性方程組（1）； （2）。2.求下列各非齊次線性方程組的通解及對應(yīng)齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系。(1) ； (2) ；(3) 3.求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與其通解。4.已知線性方程組，求，使得上述方程組有解，并求出所有的解。5.討論方程組，

8、當(dāng)取何值時（1）方程組無解？（2）方程組有無窮多解？并求出通解.（3）方程組有唯一解？6.討論下列方程組中的參數(shù)，研究方程組的解。(1) ； (2) ；(3) 向量組的線形相關(guān)性一、 填空題1., , 線性相關(guān) ,則的值為_。2.若向量 與 線性相關(guān)，則的取值為 。3.設(shè)向量組，,則向量組的秩是 。4.設(shè)向量組I： 的秩為， 向量組II： 秩為， 且向量組I 能由向量組II線性表出，則與的大小關(guān)系是_。5.設(shè)向量組 I:線性無關(guān)，而 都能由I 線性表出，則秩( )= 。6.已知一個向量組含有兩個或兩個以上的極大線性無關(guān)組,則各個極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)必定 。二、判別說理題（錯誤的請舉例說

9、明，正確的請證明）1.維向量組必線性相關(guān)。2.若一個向量組線性相關(guān)，則該向量組中必含有零向量。3.如果向量組線性相關(guān)，那么這個向量組中一定有兩個向量成比例。4.包含零向量的向量組是線性相關(guān)的。5. 維向量組與維向量組秩相等，則這兩個向量組必能互相線性表出。6.若兩個向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)，則它們必成比例。三、解答題1.求下列向量組的秩和一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示(1) ；(2) ；(3) ，。(4) ， ， ， 2.判斷下列向量組的等價性與。3.設(shè)矩陣，求矩陣的列向量組的一個極大無關(guān)組，并把不屬于極大無關(guān)組的列向量用該極大無關(guān)組線性表示。4.設(shè)，求為何值時，（1）線性相

10、關(guān)？（2）線性無關(guān)？方陣的特征值與特征向量一、填空題1.設(shè)是階矩陣的個特征值， 則。2.階方陣的特征值為，則_。3.若是可逆方陣的一個特征值，則必有一個特征值為 。4.設(shè)是分別屬于方陣的不同特征值的特征向量，則必線性 。5.實對稱矩陣 的兩個特征值為_。6.設(shè)實數(shù)是實矩陣的某個特征值，則可知矩陣 的某個特征值。7.若已知階方陣的行列式，是矩陣的一個特征值，則其伴隨矩陣必有一個特征值為。8.已知階矩陣的特征值為，則矩陣的特征值為_。9.設(shè)是冪零矩陣,即存在正整數(shù)，使得，則的特征值為 。10.設(shè)為階方陣，且，則的特征值只能是。11.設(shè)向量和都是矩陣對應(yīng)特征值的特征向量，且向量，則向量 。12.已知

11、是的一個特征值，則。二、判別說理題（錯誤的請舉例說明，正確的請證明）1.可逆矩陣的特征值一定不為零。2.若是階矩陣的特征值，則是的特征值。3.設(shè)為階方陣，則與有相同的特征值。4.設(shè)為階方陣，則與有相同的特征多項式。5.設(shè)是矩陣的兩個不同的特征值,是對應(yīng)的特征向量,則也是的特征向量。三、解答題1.求下列矩陣的特征值、特征向量：(1).；(2).；(3).；(4).。2.已知階方陣的特征值為,試求。3.已知是矩陣的一個特征向量，試確定參數(shù)及特征向量所對應(yīng)的特征值。相似矩陣一、填空題1.若階方陣與相似，且，則 。2.若與相似，則 ， 。3.與階單位矩陣相似的矩陣是 。二、判別說理題（錯誤的請舉例說明

12、，正確的請證明）1.相似矩陣的行列式相等。2. 設(shè)矩陣相似于矩陣, 則與也必相似。3.設(shè),都是階方陣,若與相似,則與有相同的特征值。4.設(shè),都是階方陣,若,有相同的特征值,則與相似。5.設(shè),都是階方陣,若與相似, 與相似,則與相似。三、解答題1.設(shè)矩陣，（1）求的特征值和特征向量；（2）試求一可逆矩陣，使得為對角陣。2.設(shè) （1）是否能對角化？說明理由。 （2）若能，試求可逆矩陣，使為對角陣。3.三階方陣的特征值為， 對應(yīng)特征向量分別為, 求。4.設(shè) (1) 求的特征值和特征向量； (2) 是否可對角化？若可對角化，試求矩陣，使得成為對角形。實對稱矩陣的正交對角化一、填空題1.設(shè)向量 與向量 相互正交， 則 = 。2.向量與正交，則_。3.已知。則內(nèi)積 。4.設(shè),若與正交,則應(yīng)滿足的關(guān)系為 。5.設(shè)為階正交陣，則必可逆，且。6.設(shè)向量分別為實對稱陣的兩個不同特征