高三數(shù)學一輪復習二項式定理經典實用

1、高三數(shù)學一輪復習二項式定理高三數(shù)學一輪復習二項式定理1.能用計數(shù)原理證明二項式定理能用計數(shù)原理證明二項式定理2會用二項式定理解決與二項展開式會用二項式定理解決與二項展開式 有關的簡單問題有關的簡單問題高三數(shù)學一輪復習二項式定理高三數(shù)學一輪復習二項式定理 1二項式定理二項式定理高三數(shù)學一輪復習二項式定理思考探究思考探究1在在(ab)n與與(ba)n的展開式中，其通項相同嗎？的展開式中，其通項相同嗎？提示：提示：從整體上看，從整體上看，(ab)n與與(ba)n的展開式是相同的，但的展開式是相同的，但具體到某一項是不同的，如第具體到某一項是不同的，如第r1項項tr1 anrbr，tr1 bnrar.

2、高三數(shù)學一輪復習二項式定理2二項式系數(shù)的性質二項式系數(shù)的性質高三數(shù)學一輪復習二項式定理思考探究思考探究2 二項式系數(shù)與項的系數(shù)有什么區(qū)別？二項式系數(shù)與項的系數(shù)有什么區(qū)別？提示：提示：二項式系數(shù)與項的系數(shù)是完全不同的兩個概念二項二項式系數(shù)與項的系數(shù)是完全不同的兩個概念二項式系數(shù)是指式系數(shù)是指 ，它只與各項的項數(shù)有關，而與，它只與各項的項數(shù)有關，而與a，b的值無關；而項的系數(shù)是指該項中除變量外的部分，它不的值無關；而項的系數(shù)是指該項中除變量外的部分，它不僅與各項的二項式系數(shù)有關，而且也與僅與各項的二項式系數(shù)有關，而且也與a，b的值有關的值有關高三數(shù)學一輪復習二項式定理1. 的展開式中的展開式中x2

3、的系數(shù)為的系數(shù)為 () a10b5 c. d1高三數(shù)學一輪復習二項式定理解析：解析：含含x2的項為的項為 ( )2 x2 ，x2的系數(shù)為的系數(shù)為 .答案：答案：c高三數(shù)學一輪復習二項式定理2二項式二項式(a2b)n展開式中的第二項的系數(shù)是展開式中的第二項的系數(shù)是8，則它的，則它的 第三項的二項式系數(shù)為第三項的二項式系數(shù)為 () a24 b18 c16 d6解析：解析：tr1 (2b)r，t2 an1(2b)2 an1b，2 8，n4，第三項的二項式系數(shù)為第三項的二項式系數(shù)為 6.答案：答案：d高三數(shù)學一輪復習二項式定理3若若(x )n展開式的二項式系數(shù)之和為展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開

4、式的，則展開式的 常數(shù)項為常數(shù)項為 () a10 b20 c30 d120解析：解析：二項式系數(shù)之和二項式系數(shù)之和2n64，則則n6，tr1 x6r x62r，當當62r0時，即時，即r3時為常數(shù)項，時為常數(shù)項，t31 20.答案：答案：b高三數(shù)學一輪復習二項式定理解析：解析：tr1 (ax)5r(1)r，且，且x3的系數(shù)為的系數(shù)為80.4若若(ax1)5的展開式中的展開式中x3的系數(shù)是的系數(shù)是80，則實數(shù)，則實數(shù)a的值是的值是 _答案：答案：2高三數(shù)學一輪復習二項式定理5若若(x21)(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a11(x 1)11，則，則a1a2a11_.解析：解析：令令x2，

5、則有，則有a0a1a2a11(221)(22)90，再令再令x1，則有，則有a0(121)(1)2，a1a2a3a112.答案：答案：2高三數(shù)學一輪復習二項式定理高三數(shù)學一輪復習二項式定理 在解決二項展開式指定項或特定項的問題時，關鍵是在解決二項展開式指定項或特定項的問題時，關鍵是公式公式tr1 anrbr(0rn，rn*，nn*)的正確應用的正確應用高三數(shù)學一輪復習二項式定理特別警示特別警示應用二項展開式的通項公式應用二項展開式的通項公式tr1 anrbr(r0,1,2，n)時，要注意以下幾點：時，要注意以下幾點：(1)通項公式表示的是第通項公式表示的是第r1項，而不是第項，而不是第r項；項

6、；(2)通項公式中通項公式中a和和b的位置不能顛倒；的位置不能顛倒；(3)展開式中第展開式中第r1項的二項式系數(shù)項的二項式系數(shù) 與第與第r1項的系數(shù)，項的系數(shù)，在一般情況下是不相同的，在具體求各項的系數(shù)時，一般在一般情況下是不相同的，在具體求各項的系數(shù)時，一般先處理符號，對根式或指數(shù)的運算要細心，以防出錯先處理符號，對根式或指數(shù)的運算要細心，以防出錯高三數(shù)學一輪復習二項式定理 已知在已知在( )n的展開式中，第的展開式中，第6項為常數(shù)項項為常數(shù)項(1)求求n；(2)求含求含x2的項的系數(shù)；的項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項求展開式中所有的有理項思路點撥思路點撥高三數(shù)學一輪復習二項式定理課

7、堂筆記課堂筆記(1)通項為通項為tr1 ，因為第因為第6項為常數(shù)項，所以項為常數(shù)項，所以r5時，有時，有 0，即即n10.(2)令令 2，得，得r (n6) (106)2，所求的系數(shù)為所求的系數(shù)為高三數(shù)學一輪復習二項式定理(3)根據(jù)通項公式，由題意根據(jù)通項公式，由題意令令 k(kz)，則，則102r3k，即，即r5 k，rn，k應為偶數(shù)應為偶數(shù)k可取可取2,0，2，即，即r可取可取2,5,8.所以第所以第3項，第項，第6項與第項與第9項為有理項，它們分別為項為有理項，它們分別為 ( )2x2， ， x2.高三數(shù)學一輪復習二項式定理1.對形如對形如(axb)n、(ax2bxc)m、(a、b、cr

8、)的式子求的式子求 其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即即 可；對可；對(axby)n(a，br)的式子求其展開式各項系數(shù)之的式子求其展開式各項系數(shù)之 和，只需令和，只需令xy1即可即可2一般地，若一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，則，則f(x)展開展開 式中各項系數(shù)之和為式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0a2a4 ，偶數(shù)項系數(shù)之和為，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1a3a5 .高三數(shù)學一輪復習二項式定理 在二項式在二項式(2x3y)9展開式中，求：展開式中，求：(1)二項式系數(shù)之和；二項式系數(shù)之和；(2)各

9、項系數(shù)之和；各項系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和；所有奇數(shù)項系數(shù)之和；(4)系數(shù)絕對值的和系數(shù)絕對值的和思路點撥思路點撥高三數(shù)學一輪復習二項式定理課堂筆記課堂筆記設設(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二項式系數(shù)之和為二項式系數(shù)之和為 29.(2)各項系數(shù)之和為各項系數(shù)之和為a0a1a2a9，令，令x1，y1，a0a1a2a9(23)91.(3)由由(2)知知a0a1a2a91，令令x1，y1，可得：，可得：a0a1a2a959，將兩式相加，可得，將兩式相加，可得a0a2a4a6a8 ，即為所有奇數(shù)項系數(shù)之和，即為所有奇數(shù)項系數(shù)之和高三數(shù)學一輪復習二項式定理(4)|

10、a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a9，令令x1，y1，則，則|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a959.高三數(shù)學一輪復習二項式定理1.求二項式系數(shù)最大的項：求二項式系數(shù)最大的項： 如果如果n是偶數(shù)，則中間一項是偶數(shù)，則中間一項 的二項式的二項式系系 數(shù)最大；數(shù)最大； 如果如果n是奇數(shù)，則中間兩項是奇數(shù)，則中間兩項 的二項式系數(shù)相等且最大；的二項式系數(shù)相等且最大；高三數(shù)學一輪復習二項式定理2求展開式系數(shù)最大的項，如求求展開式系數(shù)最大的項，如求(abx)n(a，br)的展開的展開 式中系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法設展開式中系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法設展開 式各項系數(shù)分

11、別為式各項系數(shù)分別為a1，a2，an1，且第，且第r項系數(shù)最大，項系數(shù)最大， 應用應用 解出解出r來，即得系數(shù)最大的項來，即得系數(shù)最大的項高三數(shù)學一輪復習二項式定理 已知已知f(x)( 3x2)n展開式中各項的系數(shù)和比展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項求展開式中系數(shù)最大的項思路點撥思路點撥高三數(shù)學一輪復習二項式定理課堂筆記課堂筆記(1)令令x1，則二項式各項系數(shù)和為，則二項式各項系數(shù)和為f(1)(13)n4n，展開式中各項的二項式系數(shù)之和為展開式中各項的二項式系數(shù)之

12、和為2n.由題意知由題意知4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍舍)或或2n32，n5.高三數(shù)學一輪復習二項式定理由于由于n5為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大項為中為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大項為中間兩項，它們是間兩項，它們是t3 (x )3(3x2)290 x6，t4 (x )2(3x2)3270 x .(2)展開式通項為展開式通項為tr1 3rx (52r)假設假設tr1項系數(shù)最大，則有項系數(shù)最大，則有高三數(shù)學一輪復習二項式定理 r ，rn，r4.展開式中系數(shù)最大項為展開式中系數(shù)最大項為t5 x (3x2)4405x .高三數(shù)學一輪復習二項

13、式定理已知已知( x2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比的展開式的二項式系數(shù)和比(3x1)n的展的展開式的二項式系數(shù)和大開式的二項式系數(shù)和大992，求，求(2x )2n的展開式中：的展開式中：(1)二項式系數(shù)最大的項；二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)的絕對值最大的項系數(shù)的絕對值最大的項.高三數(shù)學一輪復習二項式定理解：解：根據(jù)二項式系數(shù)的性質，列方程求解根據(jù)二項式系數(shù)的性質，列方程求解n.系數(shù)絕對值最大系數(shù)絕對值最大問題需要列不等式組求解問題需要列不等式組求解由題意知，由題意知，22n2n992，即，即(2n32)(2n31)0.2n32，解得，解得n5.(1)由二項式系數(shù)的性質知，由二項式系數(shù)的性質

14、知，(2x )10的展開式中第的展開式中第6項的項的二項式系數(shù)最大二項式系數(shù)最大即即t6 (2x)5( )58 064.高三數(shù)學一輪復習二項式定理(2)設第設第r1項的系數(shù)的絕對值最大，項的系數(shù)的絕對值最大，tr1 (2x)10r( )r(1)r 210rx102r，得得 即即 解得解得 r .rz，r3，故系數(shù)的絕對值最大的是第，故系數(shù)的絕對值最大的是第4項，項，t4 27x415 360 x4.高三數(shù)學一輪復習二項式定理 以選擇題或填空題的形式考查二項展開式的通項、以選擇題或填空題的形式考查二項展開式的通項、二項式系數(shù)、展開式的系數(shù)等知識是高考對本講內容的二項式系數(shù)、展開式的系數(shù)等知識是高

15、考對本講內容的常規(guī)考法常規(guī)考法.09年北京高考則以選擇題的形式考查了二項年北京高考則以選擇題的形式考查了二項式定理在求值中的應用，這是一個新的考查方向式定理在求值中的應用，這是一個新的考查方向高三數(shù)學一輪復習二項式定理 考題印證考題印證 (2009北京高考北京高考)若若(1 )5ab (a，b為有理數(shù)為有理數(shù))，則則ab ()a45 b55c70 d80高三數(shù)學一輪復習二項式定理 【解析解析】由二項式定理得：由二項式定理得： (1 )51 ( )2 ( )3 ( )4 ( )515 2020 204 4129 ， a41，b29，ab70.【答案答案】c高三數(shù)學一輪復習二項式定理 自主體驗自主

16、體驗 若對于任意實數(shù)若對于任意實數(shù)x，有，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，則向量，則向量m(a0，a2)與向量與向量n(3,4)所成角的余所成角的余弦值是弦值是 () a0 b. c. d1高三數(shù)學一輪復習二項式定理解析：解析：x32(x2)3，a0238，a2 26.故故m(8,6)，mn0.答案：答案：a高三數(shù)學一輪復習二項式定理高三數(shù)學一輪復習二項式定理1(2009浙江高考浙江高考)在二項式在二項式(x2 )5的展開式中，含的展開式中，含x4的的 項的系數(shù)是項的系數(shù)是 () a10 b10 c5 d5高三數(shù)學一輪復習二項式定理解析：解析：tr1 x2(5r)(x1)r

17、(1)r x103r(r0,1，5)，由，由103r4得得r2.含含x4的項為的項為t3，其系數(shù)為，其系數(shù)為 10.答案：答案：b高三數(shù)學一輪復習二項式定理2如果如果 的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整 數(shù)數(shù)n的最小值為的最小值為 () a10 b6 c5 d3解析：解析：tr1 (3x2)nr(1)r 3nr2rx2n5r，由題意知由題意知2n5r0，即，即n ，nn*，rn，n的最小值為的最小值為5. 答案：答案：c高三數(shù)學一輪復習二項式定理3(1 )6(1 )4的展開式中的展開式中x的系數(shù)是的系數(shù)是 () a4 b3 c3 d4解析：法一：解析：法一：化簡原

18、式化簡原式(1 )4(1 )4(1 )2(1 )(1 )4(1 )2(1x)4(1 )2(14x6x24x3x4)(12 x)故系數(shù)為故系數(shù)為143.高三數(shù)學一輪復習二項式定理法二：法二：展開式中含展開式中含x的項為的項為 ( )( ) 15x6x24x3x故故x的系數(shù)為的系數(shù)為3.答案：答案：b高三數(shù)學一輪復習二項式定理4二項式二項式(2x )6的展開式的常數(shù)項是的展開式的常數(shù)項是_解析：解析：tr1 (2x)6r( )r 26r(1)rx62r，由，由62r0得得r3，故展開式中的常數(shù)項為，故展開式中的常數(shù)項為 23(1)3160.答案：答案：160高三數(shù)學一輪復習二項式定理5(2010安徽師大附中模擬安徽師大附中模擬)a (sinxcosx)dx則二項式則二項式 (a )6展開式中