高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理經(jīng)典實(shí)用

1、高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理2會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式 有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理 1二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理思考探究思考探究1在在(ab)n與與(ba)n的展開(kāi)式中，其通項(xiàng)相同嗎？的展開(kāi)式中，其通項(xiàng)相同嗎？提示：提示：從整體上看，從整體上看，(ab)n與與(ba)n的展開(kāi)式是相同的，但的展開(kāi)式是相同的，但具體到某一項(xiàng)是不同的，如第具體到某一項(xiàng)是不同的，如第r1項(xiàng)項(xiàng)tr1 anrbr，tr1 bnrar.

2、高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理思考探究思考探究2 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)有什么區(qū)別？二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)有什么區(qū)別？提示：提示：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念二項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念二項(xiàng)式系數(shù)是指式系數(shù)是指 ，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的部分，它不的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的部分，它不僅與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，而且也與僅與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)的值有關(guān)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理1. 的展開(kāi)式中的展開(kāi)式中x2

3、的系數(shù)為的系數(shù)為 () a10b5 c. d1高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理解析：解析：含含x2的項(xiàng)為的項(xiàng)為 ( )2 x2 ，x2的系數(shù)為的系數(shù)為 .答案：答案：c高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理2二項(xiàng)式二項(xiàng)式(a2b)n展開(kāi)式中的第二項(xiàng)的系數(shù)是展開(kāi)式中的第二項(xiàng)的系數(shù)是8，則它的，則它的 第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 () a24 b18 c16 d6解析：解析：tr1 (2b)r，t2 an1(2b)2 an1b，2 8，n4，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 6.答案：答案：d高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理3若若(x )n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)

4、式的，則展開(kāi)式的 常數(shù)項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)為 () a10 b20 c30 d120解析：解析：二項(xiàng)式系數(shù)之和二項(xiàng)式系數(shù)之和2n64，則則n6，tr1 x6r x62r，當(dāng)當(dāng)62r0時(shí)，即時(shí)，即r3時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，t31 20.答案：答案：b高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理解析：解析：tr1 (ax)5r(1)r，且，且x3的系數(shù)為的系數(shù)為80.4若若(ax1)5的展開(kāi)式中的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是的值是 _答案：答案：2高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理5若若(x21)(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a11(x 1)11，則，則a1a2a11_.解析：解析：令令x2，

5、則有，則有a0a1a2a11(221)(22)90，再令再令x1，則有，則有a0(121)(1)2，a1a2a3a112.答案：答案：2高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理 在解決二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)或特定項(xiàng)的問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是在解決二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)或特定項(xiàng)的問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是公式公式tr1 anrbr(0rn，rn*，nn*)的正確應(yīng)用的正確應(yīng)用高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理特別警示特別警示應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式tr1 anrbr(r0,1,2，n)時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：(1)通項(xiàng)公式表示的是第通項(xiàng)公式表示的是第r1項(xiàng)，而不是第項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)；項(xiàng)

6、；(2)通項(xiàng)公式中通項(xiàng)公式中a和和b的位置不能顛倒；的位置不能顛倒；(3)展開(kāi)式中第展開(kāi)式中第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 與第與第r1項(xiàng)的系數(shù)，項(xiàng)的系數(shù)，在一般情況下是不相同的，在具體求各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，一般在一般情況下是不相同的，在具體求各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，一般先處理符號(hào)，對(duì)根式或指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心，以防出錯(cuò)先處理符號(hào)，對(duì)根式或指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心，以防出錯(cuò)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理 已知在已知在( )n的展開(kāi)式中，第的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)(1)求求n；(2)求含求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理課

7、堂筆記課堂筆記(1)通項(xiàng)為通項(xiàng)為tr1 ，因?yàn)榈谝驗(yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r5時(shí)，有時(shí)，有 0，即即n10.(2)令令 2，得，得r (n6) (106)2，所求的系數(shù)為所求的系數(shù)為高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理(3)根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意令令 k(kz)，則，則102r3k，即，即r5 k，rn，k應(yīng)為偶數(shù)應(yīng)為偶數(shù)k可取可取2,0，2，即，即r可取可取2,5,8.所以第所以第3項(xiàng)，第項(xiàng)，第6項(xiàng)與第項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為 ( )2x2， ， x2.高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理1.對(duì)形如對(duì)形如(axb)n、(ax2bxc)m、(a、b、cr

8、)的式子求的式子求 其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即即 可；對(duì)可；對(duì)(axby)n(a，br)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之 和，只需令和，只需令xy1即可即可2一般地，若一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，則，則f(x)展開(kāi)展開(kāi) 式中各項(xiàng)系數(shù)之和為式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4 ，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5 .高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理 在二項(xiàng)式在二項(xiàng)式(2x3y)9展開(kāi)式中，求：展開(kāi)式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)各

9、項(xiàng)系數(shù)之和；各項(xiàng)系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；(4)系數(shù)絕對(duì)值的和系數(shù)絕對(duì)值的和思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理課堂筆記課堂筆記設(shè)設(shè)(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和為二項(xiàng)式系數(shù)之和為 29.(2)各項(xiàng)系數(shù)之和為各項(xiàng)系數(shù)之和為a0a1a2a9，令，令x1，y1，a0a1a2a9(23)91.(3)由由(2)知知a0a1a2a91，令令x1，y1，可得：，可得：a0a1a2a959，將兩式相加，可得，將兩式相加，可得a0a2a4a6a8 ，即為所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和，即為所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理(4)|

10、a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a9，令令x1，y1，則，則|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a959.高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理1.求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)：求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)： 如果如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng) 的二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系系 數(shù)最大；數(shù)最大； 如果如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng) 的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大；的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大；高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理2求展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng)，如求求展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng)，如求(abx)n(a，br)的展開(kāi)的展開(kāi) 式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法設(shè)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法設(shè)展開(kāi) 式各項(xiàng)系數(shù)分

11、別為式各項(xiàng)系數(shù)分別為a1，a2，an1，且第，且第r項(xiàng)系數(shù)最大，項(xiàng)系數(shù)最大， 應(yīng)用應(yīng)用 解出解出r來(lái)，即得系數(shù)最大的項(xiàng)來(lái)，即得系數(shù)最大的項(xiàng)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理 已知已知f(x)( 3x2)n展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和比展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理課堂筆記課堂筆記(1)令令x1，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和為，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和為f(1)(13)n4n，展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之

12、和為2n.由題意知由題意知4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍舍)或或2n32，n5.高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理由于由于n5為奇數(shù)，所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為中為奇數(shù)，所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為中間兩項(xiàng)，它們是間兩項(xiàng)，它們是t3 (x )3(3x2)290 x6，t4 (x )2(3x2)3270 x .(2)展開(kāi)式通項(xiàng)為展開(kāi)式通項(xiàng)為tr1 3rx (52r)假設(shè)假設(shè)tr1項(xiàng)系數(shù)最大，則有項(xiàng)系數(shù)最大，則有高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理 r ，rn，r4.展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)為展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)為t5 x (3x2)4405x .高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)

13、式定理已知已知( x2)2n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和比的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x1)n的展的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和大開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，求，求(2x )2n的展開(kāi)式中：的展開(kāi)式中：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng).高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理解：解：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，列方程求解根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，列方程求解n.系數(shù)絕對(duì)值最大系數(shù)絕對(duì)值最大問(wèn)題需要列不等式組求解問(wèn)題需要列不等式組求解由題意知，由題意知，22n2n992，即，即(2n32)(2n31)0.2n32，解得，解得n5.(1)由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

14、知，(2x )10的展開(kāi)式中第的展開(kāi)式中第6項(xiàng)的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大二項(xiàng)式系數(shù)最大即即t6 (2x)5( )58 064.高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理(2)設(shè)第設(shè)第r1項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，tr1 (2x)10r( )r(1)r 210rx102r，得得 即即 解得解得 r .rz，r3，故系數(shù)的絕對(duì)值最大的是第，故系數(shù)的絕對(duì)值最大的是第4項(xiàng)，項(xiàng)，t4 27x415 360 x4.高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理 以選擇題或填空題的形式考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)、以選擇題或填空題的形式考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)、展開(kāi)式的系數(shù)等知識(shí)是高考對(duì)本講內(nèi)容的二項(xiàng)式系數(shù)、展開(kāi)式的系數(shù)等知識(shí)是高

15、考對(duì)本講內(nèi)容的常規(guī)考法常規(guī)考法.09年北京高考則以選擇題的形式考查了二項(xiàng)年北京高考則以選擇題的形式考查了二項(xiàng)式定理在求值中的應(yīng)用，這是一個(gè)新的考查方向式定理在求值中的應(yīng)用，這是一個(gè)新的考查方向高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理 考題印證考題印證 (2009北京高考北京高考)若若(1 )5ab (a，b為有理數(shù)為有理數(shù))，則則ab ()a45 b55c70 d80高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理 【解析解析】由二項(xiàng)式定理得：由二項(xiàng)式定理得： (1 )51 ( )2 ( )3 ( )4 ( )515 2020 204 4129 ， a41，b29，ab70.【答案答案】c高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理 自主體驗(yàn)自主

16、體驗(yàn) 若對(duì)于任意實(shí)數(shù)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，則向量，則向量m(a0，a2)與向量與向量n(3,4)所成角的余所成角的余弦值是弦值是 () a0 b. c. d1高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理解析：解析：x32(x2)3，a0238，a2 26.故故m(8,6)，mn0.答案：答案：a高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理1(2009浙江高考浙江高考)在二項(xiàng)式在二項(xiàng)式(x2 )5的展開(kāi)式中，含的展開(kāi)式中，含x4的的 項(xiàng)的系數(shù)是項(xiàng)的系數(shù)是 () a10 b10 c5 d5高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理解析：解析：tr1 x2(5r)(x1)r

17、(1)r x103r(r0,1，5)，由，由103r4得得r2.含含x4的項(xiàng)為的項(xiàng)為t3，其系數(shù)為，其系數(shù)為 10.答案：答案：b高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理2如果如果 的展開(kāi)式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整的展開(kāi)式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整 數(shù)數(shù)n的最小值為的最小值為 () a10 b6 c5 d3解析：解析：tr1 (3x2)nr(1)r 3nr2rx2n5r，由題意知由題意知2n5r0，即，即n ，nn*，rn，n的最小值為的最小值為5. 答案：答案：c高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理3(1 )6(1 )4的展開(kāi)式中的展開(kāi)式中x的系數(shù)是的系數(shù)是 () a4 b3 c3 d4解析：法一：解析：法一：化簡(jiǎn)原

18、式化簡(jiǎn)原式(1 )4(1 )4(1 )2(1 )(1 )4(1 )2(1x)4(1 )2(14x6x24x3x4)(12 x)故系數(shù)為故系數(shù)為143.高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理法二：法二：展開(kāi)式中含展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為的項(xiàng)為 ( )( ) 15x6x24x3x故故x的系數(shù)為的系數(shù)為3.答案：答案：b高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理4二項(xiàng)式二項(xiàng)式(2x )6的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是_解析：解析：tr1 (2x)6r( )r 26r(1)rx62r，由，由62r0得得r3，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 23(1)3160.答案：答案：160高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理5(2010安徽師大附中模擬安徽師大附中模擬)a (sinxcosx)dx則二項(xiàng)式則二項(xiàng)式 (a )6展開(kāi)式中