初中數(shù)學競賽專題選講絕對值

1、初中數(shù)學競賽專題選講 絕對值一、內(nèi)容提要1. 絕對值的定義：正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零.用式子表示如下：02x<00<x<2x>22. 初中階段學習含絕對值符號的代數(shù)式化簡，方程、不等式的解法，以及函數(shù)作圖等.解答時，一般是根據(jù)定義先化去絕對值符號，這時關(guān)健是按已知條件判斷絕對值符號內(nèi)的式子的值是正或是負，若含有變量的代數(shù)式，不能確定其正、負時，則采取零點分區(qū)討論法.例如： （1）化簡 解：當x=0,x=2時,=0；當x<0或x>2時,=x(x2)=x22x；當0<x<2時，=x(x2)=x2+x.（2）解方程

2、=6.解：當x<0時，x=2；當0x2時，方程無解；當x>2時，x=4.原方程的解是：x=2， x=4. （3）作函數(shù)y=的圖象.解：化去絕對值符號，得y=2x+2 (x<0)；y=2 (0x2) ；y=2x2 (x>2). 分別作出上述三個函數(shù)的圖象（如圖），就是函數(shù)y=的圖象.3. 絕對值的幾何意義是：在數(shù)軸上一個數(shù)的絕對值，就是表示這個數(shù)的點離開原點的距離.用這一定義，在解含絕對值符號的方程、不等式時，?？捎糜^察法.例如：解方程；解不等式；解不等式.解：的幾何意義是：x是數(shù)軸上到原點的距離等于3個單位的點所表示的數(shù)，即3和3，方程的解是x=3, x=3.的幾何意義

3、是：x是數(shù)軸上到原點的距離小于3個單位的點所表示的數(shù)，不等式的解集是3x3.的零點是x=2, 的幾何意義是：x是數(shù)軸上到點（2）的距離大于3個單位的點所表示的數(shù)，的解集是x<5或x>1.（如下圖）1-2 0-54. 絕對值的簡單性質(zhì)：絕對值是非負數(shù)；兩個互為相反數(shù)，它們的絕對值相等.根據(jù)這些性質(zhì)，可簡化函數(shù)的作圖步驟.例如：（1）對整個函數(shù)都在絕對值符號內(nèi)時，可先作出不含絕對值符號的圖象，再把橫軸下方的部份，繞x軸向上翻折作函數(shù)圖象：y= y=（2） 當f（x）=f(x),圖象關(guān)于縱軸對稱，這時可先作當x<0時函數(shù)圖象，再畫出關(guān)于縱軸對稱的圖象.例如：y=x223的圖象，可先

4、作y=x2+2x3自變量x<0時的圖象（左半圖）再畫右半圖（與左半圖關(guān)于縱軸對稱）.（3） 把y=的圖象向上平移個單位，所得圖象解析式是y=；把y=的圖象向右平移3個單位，所得圖象解析式是y=.（4） 利用圖象求函數(shù)最大值或最小值，判斷方程解的個數(shù)都比較方便.二、例題例1. 已知方程ax+1有一個負根并且沒有正根，求a的值.（1987年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題）解：當x<0時，原方程為x=ax+1, x=, a+1>0. a>1； 當x>0時，原方程為x=ax+1,x=, 1a>0. a<1.方程有一個負根并且沒有正根，a>1且a1，a的取值范圍是a1

5、.例2. 求函數(shù)y=2的最小、最大值.解：當x<0時，y=x+6； 當0x<3時，y=3x+6； 當x3時，y=x6 . 根據(jù)圖象有最低點而沒有最高點 函數(shù)沒有最大值只有最小值3(當x=3時).例3.解方程：；.解：點（x）到點a（2）和點b（4）的距離相等（如下圖）， x=1. 點（x）到點a（1）與到點b（2）的距離的和等于4，3x=2.5, x=-1.5.例4. 解不等式: 13；.解：點（x）到點a（2）的距離大于或等于1而小于或等于3在數(shù)軸上表示如圖，不等式的解集是：5x3或1x1點(x) 到點(-1)的距離，比到點(2)的距離大1個單位以上.在數(shù)軸上表示，如圖：不等式的

6、解集是x>1.例5. a取什么值時，方程 有三個整數(shù)解？ (1986年全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)解：化去絕對值符號，得=±a, =1±a , x2=±(1±a)， x=2±(1±a) . 當a=1時，x恰好是三個解4，2，0. 用圖象解答更直觀；（1）先作函數(shù) y= 圖象，（2）再作y=a(平行于橫軸的直線 )與y= 圖象相交，恰好是三個交點時，y=1, 即a=1.本題若改為：有四個解，則0<a<1；兩個解，則 a=0 或a>1；一個解，則a不存在；無解，則a<0.三、練習1.方程=4的解是.2.方程=0的解是

7、_.3.方程=3的解是_.4.方程=5的解是.5.不等式25的解集是_.6.不等式<5的解集是_.7.不等式<3的解集是_.8.不等式的解集是_.9.已知3-x,那么 _.10.關(guān)于x的方程=ax+2有根且只有負根，求a取值范圍. 11.a取什么值時，方程無解？有解？有最多解？12.作函數(shù)y=的圖象；并求在3x3中函數(shù)的最大、最小值.13.解方程.14. 作函數(shù)y=的圖象.15. 選擇題：（1972、1973年美國中學數(shù)學競賽試題）.對于實數(shù)x ，不等式1x27等價于（）（a）x1或x3（b）1x3（c）5x0（d）5x1或3x9（e）6x1或3x10不等式x1+x+2<5的所有的實數(shù)解的集合是（）（a） (b) (c) (d) (e) （空集）練習題參考答案1. 7，1. 2. .2. 2. 3. 3. 1x2. 4. 4. 1，4. 5. 5.2x0，5x8 6. 2&