材料力學(xué)第五章梁彎曲時(shí)的位移教育研究

1、 第五章第五章 梁彎曲時(shí)的位移梁彎曲時(shí)的位移 (displacements of bending beam) 廖東斌廖東斌 編制編制 13451911061134519110611章節(jié)課堂 第五章第五章 梁彎曲時(shí)的位移梁彎曲時(shí)的位移五五. .梁的剛度計(jì)算梁的剛度計(jì)算2章節(jié)課堂1.1.工程實(shí)踐中的彎曲變形問(wèn)題工程實(shí)踐中的彎曲變形問(wèn)題 在工程中，對(duì)某些受彎構(gòu)件，要求變形不能在工程中，對(duì)某些受彎構(gòu)件，要求變形不能過(guò)大，即要求構(gòu)件有過(guò)大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度足夠的剛度，以保證正常，以保證正常工作。工作。 在另外一些情況下，卻要求構(gòu)件具有較大在另外一些情況下，卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的

2、工作需要。的彈性變形，以滿足特定的工作需要。變形過(guò)大的變形過(guò)大的不利影響不利影響（工程實(shí)例）（工程實(shí)例）3章節(jié)課堂 搖臂鉆床的搖臂等變形過(guò)大，就會(huì)影響搖臂鉆床的搖臂等變形過(guò)大，就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。4章節(jié)課堂 橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大, ,則會(huì)使小車(chē)則會(huì)使小車(chē)行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。 傳動(dòng)軸的支座處轉(zhuǎn)角過(guò)大，軸承發(fā)生磨損。傳動(dòng)軸的支座處轉(zhuǎn)角過(guò)大，軸承發(fā)生磨損。5章節(jié)課堂p2p2p變形的變形的有利方面有利方面（工程實(shí)例）（工程實(shí)例）6章節(jié)課堂撓度撓度w：橫截面形心處的鉛垂位移。橫截面形心處的鉛垂位移

3、。轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 ：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。梁對(duì)稱(chēng)彎曲時(shí)用什么梁對(duì)稱(chēng)彎曲時(shí)用什么參數(shù)參數(shù)表示軸線的表示軸線的變形變形?wzeixmx)()(1?7章節(jié)課堂w撓度撓度w：橫截面形心處的鉛垂位移。橫截面形心處的鉛垂位移。轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 ：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。撓曲線撓曲線(deflection curve) 變形后的軸線。變形后的軸線。8章節(jié)課堂工程實(shí)例工程實(shí)例控制截面的撓度、控制截面的撓度、控制橋墩的水平位移控制橋墩的水平位移9章節(jié)課堂工程中測(cè)量撓度的方法、儀器工程中測(cè)量撓度的方法、儀器精密水準(zhǔn)儀、全站儀、精密水準(zhǔn)儀、全站儀、gpsgps、機(jī)電百分表

4、、光、機(jī)電百分表、光電方法等電方法等10章節(jié)課堂w撓曲線方程：撓曲線方程：轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：)(xfw )(tanxfw 11章節(jié)課堂2321/)(ww 曲線曲線 w = f (x) 的曲率為的曲率為梁純彎曲時(shí)曲率由幾何關(guān)系得梁純彎曲時(shí)曲率由幾何關(guān)系得zeixmx)()(112章節(jié)課堂wwwx 23211/)()(zeixmx)()(1)(xmweiz 問(wèn)題的關(guān)鍵：?jiǎn)栴}的關(guān)鍵：考慮上式中的取考慮上式中的取正正還是取還是取負(fù)？負(fù)？考慮小變形條件：考慮小變形條件：13章節(jié)課堂mwei m 0 xy0 wmmmmm 00 wxy問(wèn)題的關(guān)鍵：?jiǎn)栴}的關(guān)鍵：考慮上式中的取考慮上式中的取正正還是取還是取負(fù)

5、？負(fù)？14章節(jié)課堂思考思考: :與小撓度微分方程與小撓度微分方程 相對(duì)應(yīng)的相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系為？坐標(biāo)系為？ （ ）)(xmweiz xxxyyy(a)(b)(c) 教材中采用教材中采用（a)圖圖坐標(biāo)系坐標(biāo)系15章節(jié)課堂)(xmwei cxd )x(mweidcxxdxd )x(meiw2. 積分法求彎曲變形積分法求彎曲變形式中式中積分常數(shù)積分常數(shù)c、d由由邊界條件邊界條件確定確定彎矩方程不分段時(shí)彎矩方程不分段時(shí)彎矩方程分彎矩方程分n段段時(shí)，積分常數(shù)個(gè)數(shù)為時(shí)，積分常數(shù)個(gè)數(shù)為2n由邊界條件確定的方程需要由邊界條件確定的方程需要2n個(gè)個(gè)方法的局限性：方法的局限性：外力復(fù)雜或多跨靜定梁時(shí)計(jì)算量過(guò)大外力復(fù)雜

6、或多跨靜定梁時(shí)計(jì)算量過(guò)大16章節(jié)課堂光滑連續(xù)條件：光滑連續(xù)條件：fcccccww邊界條件邊界條件約束條件約束條件:兩端鉸處撓度為零。兩端鉸處撓度為零。17章節(jié)課堂邊界條件邊界條件18章節(jié)課堂邊界條件邊界條件19章節(jié)課堂xylq例例1.已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為ei。試求圖示簡(jiǎn)。試求圖示簡(jiǎn)支梁在均布載荷支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定曲線方程，并確定max和和wmax。20章節(jié)課堂解：解：m xqlxqx( ) 222222xqxqlwei cxqxqlwei3264dcxxqxqleiw432412由邊界條件：由邊界條件：000wlxwx時(shí)時(shí)，

7、時(shí)時(shí)，得：得：cqld 3240,xqlxyab21章節(jié)課堂qeilxxl2464233()最大轉(zhuǎn)角和最大撓度：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度：max abqlei324xqlxyabab)(332224lxlxeiqxweiqlwwlx384542max（）（ ）轉(zhuǎn)角為正時(shí)，表示其轉(zhuǎn)向和由轉(zhuǎn)角為正時(shí)，表示其轉(zhuǎn)向和由x軸軸轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向y y軸的時(shí)針相軸的時(shí)針相同；撓度為正時(shí)同；撓度為正時(shí)，表示其方向和表示其方向和y y軸正向相同。軸正向相同。22章節(jié)課堂xylpab例例2.2.已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為ei。試求圖示懸臂梁。試求圖示懸臂梁在集中力在集中力p作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，作用下的轉(zhuǎn)角方

8、程、撓曲線方程，并確定并確定maxmax和和wmax。23章節(jié)課堂解解：m xp lx( )() lpxpwei cxlpxpwei22dcxxlpxpeiw2326由邊界條件：由邊界條件：000w,wx時(shí)時(shí)，得：得：cd 0 xylpabx24章節(jié)課堂梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：pxeixl22()lx(eixpw362最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：eiplbmax22eiplwwbmax33xylpabxbeiplb22eiplwb3325章節(jié)課堂另解另解：pxxm)(xpwei cxpwei22dcxxpeiw36邊界條件：邊界條

9、件：00w,wlx，時(shí)eiplc22xypabxeipld33)(xmwei 26章節(jié)課堂梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：eilpeixp2222eilpeixlpeixpw326323最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：eiplbmax22eiplwwbmax33bxypabx27章節(jié)課堂xyl2fabcl2例例3已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為ei。試求圖示簡(jiǎn)支梁。試求圖示簡(jiǎn)支梁在集中力在集中力f作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定并確定max和和 wmax。28章節(jié)課堂解：解：xf)x(mac2：段xfwe

10、i2 cxfwei24dcxxfeiw312由邊界條件由邊界條件：00wx，時(shí)得得：d 0由對(duì)稱(chēng)條件：由對(duì)稱(chēng)條件：02wlx時(shí)，得得：162flcxyl2fabcl2x思考：思考：0c?29章節(jié)課堂ac段段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：)lx(eif22416)lx(eixfw223448最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max abplei216eiplwwlxmax4832xyl2fabcl2x30章節(jié)課堂yaqabcxaaade例例4.已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為ei。試求圖示簡(jiǎn)支。試求圖示簡(jiǎn)支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定梁

11、的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定max和和wmax。(請(qǐng)同學(xué)課后思考請(qǐng)同學(xué)課后思考）31章節(jié)課堂四四. .用疊加法計(jì)算梁的變形用疊加法計(jì)算梁的變形 在材料服從胡克定律、且變形很小的前提在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下下, ,載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。 若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各載荷單獨(dú)作引起的變形，則可分別計(jì)算各載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。用下的變形，然后疊加。 當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。起的變形是各

12、自獨(dú)立的，互不影響。32章節(jié)課堂 如圖示，要計(jì)算三種載荷作用下在某截面如如圖示，要計(jì)算三種載荷作用下在某截面如c截面撓度，則可截面撓度，則可直接查表直接查表：各載荷單獨(dú)作用：各載荷單獨(dú)作用下的撓度，然后疊加（下的撓度，然后疊加（代數(shù)和代數(shù)和）。）。 如果如果不能直接查表不能直接查表，則要采用分段剛化等方，則要采用分段剛化等方法化成可查表形式。法化成可查表形式。33章節(jié)課堂bacw 、例例5.5.用疊加法求用疊加法求34章節(jié)課堂解：解：eil q38454eilp483eilm162cwaeil q243eilp162eilm3beil q243eilp162eilm3（ ）（ ）（ ）35章節(jié)

13、課堂逐段剛化法：逐段剛化法：變形后：變形后：abab bc bcc c點(diǎn)的位移為：點(diǎn)的位移為：wc c36章節(jié)課堂2lwwwwbbcbc37章節(jié)課堂38章節(jié)課堂解：解：bpaei 22maei20mpa439章節(jié)課堂例例7.求外伸梁求外伸梁c處的位移。處的位移。lacabp解：解：abcp剛化ei=pcfc1bc引起的位移引起的位移c1eipafc331eipac221剛化剛化ab40章節(jié)課堂剛化剛化bc， ab部分引起的位移部分引起的位移cabp剛化ei=fc2b2ppab2aeipalafbc322eipalb3221cccfff21ccc 41章節(jié)課堂例例8. 求圖示變截面梁求圖示變截面

14、梁b、c截面的撓度截面的撓度 。42章節(jié)課堂解：解：)ei(apa)ei(pawb222323 eipa1253eiapa)ei(pab2222 順順時(shí)時(shí)針針eipa432eipaeipaawwbbc23333 43章節(jié)課堂思考思考:梁橫截面為邊長(zhǎng)為梁橫截面為邊長(zhǎng)為a的正方形，彈性模量為的正方形，彈性模量為e1；拉桿橫截面為直徑為；拉桿橫截面為直徑為d的圓，彈性模量為的圓，彈性模量為e2。求求:拉桿的伸長(zhǎng)及拉桿的伸長(zhǎng)及ab梁中點(diǎn)的撓度。梁中點(diǎn)的撓度。44章節(jié)課堂45章節(jié)課堂 在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變?cè)趶椥苑秶鷥?nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱(chēng)為形而在體內(nèi)積蓄的能

15、量，稱(chēng)為彈性應(yīng)變能彈性應(yīng)變能，簡(jiǎn)，簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)應(yīng)變能應(yīng)變能 ( (又稱(chēng)又稱(chēng)變形能變形能) )。 wv 物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變形物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變形能在數(shù)值上等于外力在加載過(guò)程中在相應(yīng)位能在數(shù)值上等于外力在加載過(guò)程中在相應(yīng)位移上所做的功，即移上所做的功，即46章節(jié)課堂1 1、軸向拉伸和壓縮、軸向拉伸和壓縮ppllwv lp 21ealfealpn2222lneaxfv2d2 一般地一般地47章節(jié)課堂2 2、扭轉(zhuǎn)、扭轉(zhuǎn)wv mm m21ppigltiglmm2212lpigxtv2d2 一般地一般地48章節(jié)課堂3 3、彎曲、彎曲wv liexmv2d212m12mmleim

16、leim lei2222一般地一般地純彎曲：純彎曲：49章節(jié)課堂11wvlsgaxfkv2d2 vdvg22 dadsiakazz2)(dxgafkls22disfzzs 橫力彎曲時(shí)剪力影響：橫力彎曲時(shí)剪力影響： 一般地一般地liexm2d250章節(jié)課堂llplniexmigxtaedxfv2d2d2222 對(duì)橫力彎曲的梁，截面上彎矩和剪力，當(dāng)高對(duì)橫力彎曲的梁，截面上彎矩和剪力，當(dāng)高跨比較大（長(zhǎng)梁）時(shí)，跨比較大（長(zhǎng)梁）時(shí)，剪切變形能影響較小，可剪切變形能影響較小，可忽略不計(jì)忽略不計(jì)，對(duì)短梁應(yīng)考慮剪切變形的影響。，對(duì)短梁應(yīng)考慮剪切變形的影響。長(zhǎng)梁應(yīng)變能：長(zhǎng)梁應(yīng)變能：liexmv2d2 組合變形應(yīng)

17、變能：組合變形應(yīng)變能：51章節(jié)課堂ifiifv 52章節(jié)課堂liexmv2d2 iifv dxmmeimili.dxfmeimili.53章節(jié)課堂0q0amamx321)(0 xxxlqmxmalxqma306154章節(jié)課堂dxmxmeixmlaa0)()( lxqmxma3061)(1)(amxmdxlxqeidxlxqmeilla030300611)61(1eilq2430( )eilqwa304055章節(jié)課堂56章節(jié)課堂1x2x11)(pxxmpaxm)(20)(1xfnpxfn)(211011101)()()()(dxpxfeaxfdxpxmeixmnanacy22022202)()(

18、)()(dxpxfeaxfdxpxmeixmnana57章節(jié)課堂102021021dxeapdxeipadxeipxaaacyeapaeipl343eiplcx2358章節(jié)課堂)()()()(11xmfxmfxmfxmnnii liexxmv2)d(2 dxfxmeixmili)(.)(59章節(jié)課堂liidxeixmxm)()(莫爾積分莫爾積分)(xmi只在只在i處處加相應(yīng)單位力加相應(yīng)單位力后的彎矩方程后的彎矩方程)(xm的彎矩方程的彎矩方程60章節(jié)課堂linnlpiliidxeaxfxfdxgixtxtdxeixmxm)()()()()()(njjjnnjiealff1jnf只在只在i處處加

19、相應(yīng)單位力加相應(yīng)單位力后的彎矩方程后的彎矩方程61章節(jié)課堂例例3.3.已知懸臂梁長(zhǎng)為已知懸臂梁長(zhǎng)為l, ,彎曲剛度為彎曲剛度為ei , , 受力受力大小為大小為f , ,計(jì)算自由端計(jì)算自由端b處撓度和轉(zhuǎn)角。處撓度和轉(zhuǎn)角。fabl62章節(jié)課堂fabx1abxfxxm)()(xm)(xmxxm)(lbdxeixmxmw0)()(ldxeifx02eifl3363章節(jié)課堂fabx)(xm1abx)(xmfxxm)(1)(xmlbdxeixmxm0)()( eifldxeifxl220( )64章節(jié)課堂 在應(yīng)用莫爾積分求在應(yīng)用莫爾積分求梁梁位移時(shí)，需計(jì)算下列位移時(shí)，需計(jì)算下列形式的積分：形式的積分：l

20、iidxeixmxm)()( 對(duì)于等直桿，對(duì)于等直桿，ei=const=const，可以提到積分號(hào)，可以提到積分號(hào)外，故只需計(jì)算積分外，故只需計(jì)算積分lidxxmxm)()(65章節(jié)課堂直桿直桿 圖必定是直線或折線。圖必定是直線或折線。 tg)( xxmi)(xmi)(xmi)(xmcmlidxxmxm)()(ldxxxm)(tan ldxxxm)(mcx 66章節(jié)課堂mcmclimxdxxmxm tan)()(liidxeixmxm)()(eimmci cmm m圖圖分段面積分段面積c圖圖形心形心mm圖圖中對(duì)應(yīng)于中對(duì)應(yīng)于c下縱坐標(biāo)下縱坐標(biāo)67章節(jié)課堂ealffeimjjnnjmci 在在平面

21、剛架平面剛架, ,組合結(jié)構(gòu)組合結(jié)構(gòu)時(shí)，用下列形式計(jì)算時(shí)，用下列形式計(jì)算注意注意: : 分段必須為分段必須為直線段直線段m在取面積的圖中找形心在取面積的圖中找形心, ,另圖找對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)另圖找對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo) m分段為直線段時(shí)分段為直線段時(shí), ,也可以也可以eimmci 找縱坐標(biāo)的圖必須為找縱坐標(biāo)的圖必須為直線段直線段 68章節(jié)課堂頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)23lh13lh二次拋物線二次拋物線參考用圖參考用圖 69章節(jié)課堂例例4.4.已知懸臂梁長(zhǎng)為已知懸臂梁長(zhǎng)為l, ,彎曲剛度為彎曲剛度為ei , , 受分受分布力集度為布力集度為q , ,計(jì)算自由端計(jì)算自由端b處轉(zhuǎn)角。處轉(zhuǎn)角。qalb70章節(jié)課堂qabmei

22、qleilqleiwmwmcb623113271章節(jié)課堂maxmaxlwlw許可撓跨比和許可轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常許可撓跨比和許可轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。工作時(shí)的要求。五、梁的剛度計(jì)算五、梁的剛度計(jì)算剛度條件：剛度條件：72章節(jié)課堂73章節(jié)課堂500483lweiplwmax250048leip kn.117pmaxmaxmwz所所以以滿滿足足強(qiáng)強(qiáng)度度條條件件。plwz460mpa 711.kn74章節(jié)課堂 影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺載荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關(guān)。

23、所以，要想提高寸、形狀和梁的跨度有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛度，就應(yīng)從上述各種因素入手。彎曲剛度，就應(yīng)從上述各種因素入手。增大梁的抗彎剛度增大梁的抗彎剛度ei；減小跨度或增加支承；減小跨度或增加支承；改變加載方式和支座位置。改變加載方式和支座位置。75章節(jié)課堂選擇題練習(xí)選擇題練習(xí)76章節(jié)課堂 、 、 、 、77章節(jié)課堂 、 、 、 、78章節(jié)課堂3 3、與小撓度微分方程與小撓度微分方程 相對(duì)應(yīng)的坐相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系為標(biāo)系為 （ ） ？)(xmweiz xy(a)xy(b)xy(c) (d) xy 、 79章節(jié)課堂cabaqaaad 、 、80章節(jié)課堂 、 、 、 、81章節(jié)課堂fab 、 、 、 、

24、82章節(jié)課堂fab 、 、 、 、83章節(jié)課堂llfabc84章節(jié)課堂llfabcfeiflb2 eiflb232 0 b eiflb353 85章節(jié)課堂4pam 0 b eiplb322 eiplb232 eiplb2 86章節(jié)課堂 、 、 、 、87章節(jié)課堂 、 、 、 、88章節(jié)課堂cbxaxy 2 89章節(jié)課堂13.13.已知懸臂梁長(zhǎng)為已知懸臂梁長(zhǎng)為l, ,彎曲剛度為彎曲剛度為ei , , 受力大受力大小為小為f , ,用圖乘法計(jì)算自由端用圖乘法計(jì)算自由端b處撓度和轉(zhuǎn)角。處撓度和轉(zhuǎn)角。fabl90章節(jié)課堂14.14.已知懸臂梁長(zhǎng)彎曲剛度為已知懸臂梁長(zhǎng)彎曲剛度為ei , , 受力如圖受力如圖 , ,用圖乘法計(jì)算自由端用圖乘法計(jì)算自由端b處撓度和轉(zhuǎn)角。處撓度和轉(zhuǎn)角。fabfll91章節(jié)課堂15.15.已知懸臂梁長(zhǎng)彎曲剛度為已知懸臂梁長(zhǎng)彎曲剛度為ei , , 受力如圖受力如圖 , ,用卡氏用卡氏第二定理計(jì)算自由端第二定理計(jì)算自由端b處撓度時(shí)，有（處撓度時(shí)，有（ ）。）。fabflla.a.彎矩方程不分段。彎矩方程不分段。b.b.彎矩方程分二段后，用卡氏第二定理，應(yīng)變能彎矩方程分二段后，用卡氏第二定理，應(yīng)變能要對(duì)要對(duì) f 求導(dǎo)。求導(dǎo)。c.c.彎矩方程分二段寫(xiě)時(shí)，可令彎矩方程分二段寫(xiě)