汽車振動分析

1、研 究 生 試 卷2013 年2014年度第 2 學(xué)期評 分：_課 程 名 稱： 振動理論 專 業(yè)： 車輛工程 年 級： 2013級 任 課 教 師： 李偉 研 究 生 姓 名： 王榮 學(xué) 號： 2130940008 注 意 事 項1. 答題必須寫清題號；2. 字跡要清楚，保持卷面清潔；3. 試題隨試卷交回；4. 考試課按百分制評分，考查課可按五級分制評分；5. 閱完卷后，授課教師一周內(nèi)將成績在網(wǎng)上登記并打印簽名后，送研究生部備案；6. 試題、試卷請授課教師保留三年被查。汽車振動分析總結(jié)王榮（重慶交通大學(xué) 機(jī)電與汽車工程學(xué)院 重慶 400074）摘要：本課程由淺入深、循序漸進(jìn)，從單自由度系統(tǒng)的

2、簡單問題逐漸加深到多自由度的分析，甚至是無限自由度系統(tǒng),并從簡單激勵的振系逐漸推廣到隨機(jī)激振振系。作為汽車?yán)碚摷捌囋O(shè)計等課程的基礎(chǔ)，其對于分析汽車的行駛平順性、乘坐舒適性、發(fā)動機(jī)的減振和隔離等具有良好的參考價值。關(guān)鍵詞：單自由度；多自由度；簡單激振；隨機(jī)激振The Conclusion of “Automotive Vibration Analysis”Abstract: The course progressively, step by step, gradually discusses from the simple question of a single degree of free

3、dom system to the analysis of a multi-degree of freedom system, even to the analysis of the infinite degree of freedom system. In addition, the course extends from simple energized vibration system to random energized vibration system. As the basis of Vehicle Theory and Vehicle Design, this course h

4、as direct reference value for the analysis of vehicle ride, comfort of passenger, engine vibration damping and isolation.Keywords：Single-Degree-of-Freedom; Multi-Degree-of-Freedom; Simple Energized Vibration System ;Random Energized Vibration System0 引言隨著科學(xué)技術(shù)的日新月異和人民生活水平的日益提高，人們對汽車的動態(tài)性能，例如：汽車行駛的舒適性，

5、操縱的穩(wěn)定性，車內(nèi)噪聲水平及音質(zhì)等等提出了愈來愈高的要求。因而汽車的動態(tài)分析和設(shè)計方法已日益成為產(chǎn)品研究和幵發(fā)的重要手段。我國進(jìn)入WTO以后，汽車的自主開發(fā)更是提到了議事日程上來。要提高我國汽車自主開發(fā)能力，開發(fā)出具有自主知識產(chǎn)權(quán)的汽車產(chǎn)品，就必須從基本原理出發(fā)進(jìn)行大貴的汽車動態(tài)特性的分和研究。隨著汽車向高速化和輕質(zhì)化方向發(fā)展，振動噪聲問題口益突出，人們對報動噪聲的控制要求也越來越嚴(yán)格。因此，振動分析理論越來越受到重視。本書的重點章節(jié)共6章：第1章，概論；第2章，單自由度系統(tǒng)的振動；第3章，二自由度系統(tǒng)的振動；第4章，多自由度系統(tǒng)的振動；第6章，連續(xù)系統(tǒng)振動分析；第8章，隨機(jī)振動概述。1. 概

6、論1.1 振動的概念在所研究的機(jī)械或結(jié)構(gòu)均為彈性體時，在外力作用下不僅產(chǎn)生剛體運動，還會產(chǎn)生由于自身彈性而引起在平衡位置附近的微小彈性往復(fù)運動，這種往復(fù)運動通常稱為振動。廣義上來說，振動是一種運動的物理量，作時而增加時而減小的反復(fù)變化，這種物理過程及運動形式，即為振動。而機(jī)械振動是一種特殊形式的運動，在這種運動中，物體或質(zhì)點在其平衡位置附近所作的往復(fù)運動。1.2 振動的分類1.2.1根據(jù)系統(tǒng)的輸入的類型可分為(1）自由振動：系統(tǒng)受到初始干擾后，在沒有外界激勵作用時所產(chǎn)生的振動。(2) 強(qiáng)迫振動：系統(tǒng)在外界激勵作用下產(chǎn)生的振動。(3) 自激振動：系統(tǒng)在輸入和輸出之間具有反饋特性，并有能源補充時產(chǎn)

7、生的振動。(4) 參數(shù)振動：通過周期或隨機(jī)的改變系統(tǒng)的特性參數(shù)而實現(xiàn)的振動。(5) 固有振動：無激勵時系統(tǒng)所有可能的振動關(guān)系的集合，僅是可能的振動反應(yīng)系統(tǒng)的固有屬性。1.2.2根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程分類：(1）線性振動：用常系數(shù)線性微分方程式描述的系統(tǒng)所產(chǎn)生的振動。(2）非線性振動：用非線性微分方程式描述的系統(tǒng)所產(chǎn)生的振動。1.2.3根據(jù)系統(tǒng)的自由度分類：(1）單自由度系統(tǒng)的振動：用一個獨立坐標(biāo)就能確定位置的系統(tǒng)的振動。(2）雙自由度系統(tǒng)：需要兩個廣義坐標(biāo)才可完全的確定其位置和狀態(tài)的系統(tǒng)。(3） 多自由度系統(tǒng)的振動：用多個獨立坐標(biāo)才能確定位置的系統(tǒng)的振動，包括二自由度系統(tǒng)。(4）無限多自由度系

8、統(tǒng)的振動：用無限多個獨立坐標(biāo)才能確定位置的系統(tǒng)的振動，這種振動又稱為彈性體的振動。1.2.4 根據(jù)系統(tǒng)輸出的振動規(guī)律分類：(1）周期振動：振動量是時間的周期函數(shù), x(t)=x(t+nT) n=1,2, 。系統(tǒng)在相等的時間間隔內(nèi)作往復(fù)運動。是周期振動中最簡單、最重要的是簡諧振動。(2）非周期性振動：振動量不是時間的周期函數(shù)，又可以分為穩(wěn)態(tài)振動和瞬態(tài)振動。穩(wěn)態(tài)振動是非周期持續(xù)進(jìn)行的等幅振動；瞬態(tài)振動是在一定時間內(nèi)振動并逐漸消失的非周期振動。(3）隨機(jī)振動：振動量不是時間的確定函數(shù)，只能通過概率統(tǒng)計的方法來研究。振動量不能用函數(shù)x(t)來表示，只能通過與時間t的關(guān)系圖線來表示。振動過程中振幅、相位

9、、頻率都是隨機(jī)變化的。1.2.5按系統(tǒng)的模型(1）連續(xù)性系統(tǒng)：系統(tǒng)的質(zhì)量、彈性及阻尼是分布的、連續(xù)的。描述連續(xù)系統(tǒng)要用到空間和時間兩個坐標(biāo)，其運動方程是偏微分方程。(2）離散性系統(tǒng)：系統(tǒng)的質(zhì)量、彈性及阻尼是離散的。1.2.6 振動問題的分類圖2-1 振動系統(tǒng)框圖根據(jù)圖2-1，可以把振動問題分為以下三類(1）振動分析：已知激勵系統(tǒng)特性，求系統(tǒng)的響應(yīng)。如已知路面條件和車輛結(jié)構(gòu)，求解駕駛員受到的振動。(2）振動環(huán)境預(yù)測：已知系統(tǒng)的特性和振動響應(yīng)，反推系統(tǒng)的激勵。預(yù)測的結(jié)果可以作為以后振動設(shè)計的激勵。(3）系統(tǒng)識別：已知激勵和系統(tǒng)的響應(yīng)，確定系統(tǒng)的特性。使用模態(tài)實驗及模態(tài)分析的方法，識別出系統(tǒng)，以建立

10、振動模型或檢驗已有的理論模型。若對振動系統(tǒng)有所了解，稱為灰箱問題；如對振動系統(tǒng)一點也不了解，稱為黑箱問題。1.3 研究振動問題的基本方法 1.理論分析法(1）建立系統(tǒng)的力學(xué)模型（激勵、質(zhì)量、彈性和阻尼是振動系 統(tǒng)的四大要素）。(2）建立運動方程。(3）求解方程，得到響應(yīng)規(guī)律。 2.實驗研究法(1）選擇測試工況，也就是選擇激勵源。(2）對振系結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，研究振動的測點，以布置傳感器。(3）測取振動信號，并進(jìn)行分析和處理。(4）對分析的結(jié)果做出結(jié)論。 3.理論實踐相結(jié)合法(1）通過實驗的方法識別出系統(tǒng)，建立系統(tǒng)特性模型，通過實驗驗證理論分析的結(jié)果。(2）通過理論分析的方法預(yù)測系統(tǒng)的響應(yīng)，通過實驗

11、驗證振動結(jié)果。1.4 振動的理論分析1.4.1振動產(chǎn)生的機(jī)理： 振動的產(chǎn)生，從外部條件看是受到了外界刺激，從內(nèi)部條件看是系統(tǒng)具有質(zhì)量和彈性；從能量轉(zhuǎn)化過程來看，激勵功一部分轉(zhuǎn)化成質(zhì)量塊的動能，另一部分轉(zhuǎn)化成彈性件的變形勢能；從系統(tǒng)有無阻尼來看，若系統(tǒng)無阻尼，只要給系統(tǒng)以初始激勵，振動就一直延續(xù)下去，若系統(tǒng)有阻尼，阻尼消耗能量，必須有激勵補充能量振動才能延續(xù)，若系統(tǒng)沒有繼續(xù)從外界獲得能量，振動在經(jīng)歷一段時間后停止。1.4.2 振動四要素由振動產(chǎn)生的激勵可見，激勵、質(zhì)量、彈性和阻尼是振動系統(tǒng)的四大要素。 (1）彈簧：彈簧是表示力與位移關(guān)系的元件。力的大小與彈簧兩端點的相對位移成正比。Fs

12、=k(x2-x1)k比例常數(shù)； x2，x1 彈簧兩端點的位移(2）阻尼器：阻尼器是表示力與速度關(guān)系的元件。力的大小與阻尼器兩端的相對速度成正比。Fd=c( x2- x1 )c比例常數(shù)； x2、 x1 分別為阻尼器兩端的速度(3）質(zhì)量：質(zhì)量是表示力和加速度關(guān)系的元件。力與加速度的關(guān)系為Fm=mxm為比例常數(shù); x為阻尼器的加速度1.6簡諧振動的表示方法簡諧振動是指機(jī)械系統(tǒng)的某個物理量（位移、速度或是加速度）按時間的正弦（或余弦）函數(shù)規(guī)律變化的振動。它是最簡單最重要的周期振動，也是研究其他形式振動的基礎(chǔ)。它主要有三種表達(dá)方式，不同的表達(dá)方式適用于不同的場合。（1）函數(shù)表示法：簡諧振動是正弦（或余弦

13、）的時間函數(shù)，如用正弦時間函數(shù)表示X=Asin(t+ ）=Asin(2ft+ ）=Asin(t+ ）A振幅； T周期；f頻率；圓頻率；初相位（2） 旋轉(zhuǎn)矢量表示法：可以看成是一個做等速圓周運動的點在鉛垂軸上的投影。X=Asin(t+ ）（3）復(fù)數(shù)表示法：把坐標(biāo)平面xOy視為復(fù)平面，x軸當(dāng)成實軸，y軸當(dāng)成虛軸。z=Acos(t+ ）+iAsin(t+）=Aei（t+）1.7簡諧振動的合成（1）同頻率簡諧振動的合成，仍然是同頻率的簡諧振動，振幅不變，相位在變：x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)x=Acos(t+)A=A12+A22+2A1A2cos(2-1)tan=A1sin1+

14、A2sin2A1cos1+A2cos2（2） 頻率不同的簡諧振動的合成不再是簡諧振動，頻率之比是有理數(shù)時合成振動是周期振動，頻率比為無理數(shù)時，合成為非周期振動x1=A1cos(1t+1)x2=A2cos(2t+2)12=mn（3） 頻率很接近的兩個簡諧振動的合成出現(xiàn)“拍”的現(xiàn)象：頻率較大而頻率之差很小的兩個同方向簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而加強(qiáng)時而減弱的現(xiàn)象叫拍。x1=A1cos1t=A1cos2f1tx2=A2cos2t=A2cos2f2t設(shè)A1=A2，|f2-f1|f1+f2的情況x=x1+x2=A1cos2f1t+A2cos2f2tx=2A1cos2f2-f12tcos2f2+f1

15、2t該式可以看成是頻率為f，振幅為2A1cos2f2-f12t的振動，頻率接近的兩個振動的頻率差的絕對值稱為拍頻，即f=|f2-f1|。1.8 汽車振動問題 把汽車作為一個系統(tǒng)來研究，汽車本身就是一個具有質(zhì)量、彈簧和阻尼的振動系統(tǒng)。1.汽車振動問題的影響（1）使汽車的動力性得不到充分的發(fā)揮，經(jīng)濟(jì)性變壞。（2）影響汽車的通過性、操縱穩(wěn)定性和平順性，使乘員產(chǎn)生不舒服和疲乏的感覺，甚至損壞汽車的零部件和運載的貨物，縮短汽車的使用壽命。 2.汽車振動問題的組成（1）發(fā)動機(jī)和傳動系統(tǒng): 汽車行駛時因道路不平氣缸內(nèi)的燃?xì)鈮毫瓦\動件的不平衡慣性力周期性變化的結(jié)果，都會使曲軸系統(tǒng)和發(fā)動機(jī)整機(jī)產(chǎn)生振動。發(fā)動機(jī)

16、和傳動系統(tǒng)振動主要研究發(fā)動機(jī)在車架上的整機(jī)振動，以及出曲軸和傳動系統(tǒng)扭振以外的其他振動，如氣門結(jié)構(gòu)的振動等。 （2）制動系統(tǒng): 汽車在制動時，行駛方向的慣性力和作用在輪胎上的地面制動力所形成的力矩會使前軸負(fù)荷增大，后軸負(fù)荷減小，從而加強(qiáng)了制動是整車的振動。（3）轉(zhuǎn)向系統(tǒng)： 由于轉(zhuǎn)向拉桿有一定的彈性，輪胎又有側(cè)向變形和側(cè)向力的作用，汽車在行駛時，前輪會繞主銷左右擺動，將這種轉(zhuǎn)向輪繞主銷的振動稱為前輪擺振。（4）懸架系統(tǒng)： 汽車行駛時，路面不平度會激起汽車的振動。當(dāng)這種振動達(dá)到一定程度時，將影響乘員的舒適性。由彈簧和減震器組成的懸架系統(tǒng)要緩和由不平路面?zhèn)鹘o車身的沖擊載荷，衰減由沖擊載荷引起的承載系

17、統(tǒng)的振動。（5）車身和車架：利用有限元法分析車身和車架的振動問題。將連續(xù)系統(tǒng)視為由若干個基本單元在節(jié)點處彼此相連接的組合，把具有無限多個自由度的連續(xù)結(jié)構(gòu)振動問題變?yōu)橛邢迋€自由度的振動問題。2單自由度系統(tǒng)的振動單自由度振動系統(tǒng)指的是在振動的過程中，振系的任一瞬態(tài)由一個獨立坐標(biāo)即可確定的系統(tǒng)。單自由度系統(tǒng)是振動分析中最簡單、最基礎(chǔ)的一種。2.1 研究單自由度系統(tǒng)振動的意義（1）在實際中，有些系統(tǒng)由于簡單可簡化為單自由度的系統(tǒng)。例如，在不平路面激勵的作用下，只研究汽車車身的垂直振動，其他質(zhì)量和其他方式的振動忽略不計，就可以把汽車這樣一個復(fù)雜的振動系統(tǒng)簡化為單自由度的系統(tǒng)。（2）由于單自由度的分析是振

18、動分析的基礎(chǔ)，即使很復(fù)雜的問題多自由度振動系統(tǒng)問題，經(jīng)過解耦后就可轉(zhuǎn)化為單自由度的問題，可用單自由度振系分析的方法進(jìn)行分析。2.2 單自由度系統(tǒng)模型的建立從實際的機(jī)械簡化出理想的力學(xué)模型若要確切反映其物理過程的話，首先要確定質(zhì)量、彈性、阻尼和激勵這振動的四大要素。2.2.1微分方程的建立考慮振動系統(tǒng)的質(zhì)量、彈性、阻尼和激勵，確定系統(tǒng)的質(zhì)量參數(shù)、剛度參數(shù)、和阻尼參數(shù)，應(yīng)用牛頓第二定律mx=fx或J=M來建立微分方程，也可利用達(dá)朗勃原理fx-mx=0或M-J=0來建立微分方程。mx、J分別為慣量力和慣性力矩。如圖2-1所示的單自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的振動微分方程為mx+cx+kx=f(t)圖2-1

19、單自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)2.2.2 等效參數(shù)的確立（1）等效剛度：使系統(tǒng)的某點沿指定的方向產(chǎn)生單位位移（線位移或角位移）時，在該點同一向上所要施加的力（力矩），就稱為系統(tǒng)在改點沿指定方向的剛度。表達(dá)式為k=FX其確定的方法主要有定義法和能量法。（2）等效質(zhì)量：同等效剛度一樣，在實際系統(tǒng)較復(fù)雜時，可以用能量法來確定等效質(zhì)量。根據(jù)實際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的質(zhì)量的動能與等效質(zhì)量動能相等的原則來求解。（3）等效粘性阻尼：作為方便起見，在工程實踐中往往根據(jù)在振動的一周中實際阻尼所耗散的能力等于粘性阻尼所耗散的能力的關(guān)系，把其他類型阻尼折算成等效粘性阻尼，然后用這種等效粘性阻尼進(jìn)行計算。2.3單自由度振系的自由振動若

20、外界激振力f(t)=0，系統(tǒng)僅在初始時受到外界干擾，靠系統(tǒng)本身的固有特性進(jìn)行的振動，稱為自由振動。單自由度振系自由振動的微分方程為mx+cx+kx=02.3.1無阻尼自由振動當(dāng)系統(tǒng)的阻尼很小，阻尼可忽略不計。振動微分方程為mx+kx=0得其通解為：x=x0cospt+x0psinpt(其中x0、x0為初始位移及初始速度。P為固有圓頻率，p=km(rads)。2.3.2 有阻尼自由振動前面的討論忽略了阻尼，但實際振系中阻尼不可避免地存在，但系統(tǒng)有阻尼的時候，其運動微分方程為：mx+cx+kx=0得其通解為：x=e-pt(C1e2-1pt+C2e-2-1pt)（其中相對阻尼系數(shù) =np ，衰減系數(shù)

21、n=c2m）。由于具體問題中的值不同，根式2-1可能為虛數(shù)、實數(shù)或零，相應(yīng)的通解有三種不同的情況：（1） >1 時，稱為過阻尼；（2） =1時，為臨界阻尼；（3） <1時，稱為弱阻尼。2.4 單自由度的強(qiáng)迫振動由于阻尼會使自由振動逐漸衰減，最后達(dá)到完全停止，因此，工程上一些能持續(xù)下去的振動必定有外加能源，這種在外在干擾力作用下的振動稱為強(qiáng)迫振動。其微分方程式為：mx+cx+kx=f(t)其中，f(t)0,振系作強(qiáng)迫振動。2.4.1簡諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動若激勵ft=F0sint，就為正弦簡諧激振力。其振動微分方程為mx+cx+kx=F0sintF0力幅；激振力圓頻率上式可寫成 x

22、+2px+p2x=qsint其中：2p=cm，p2x=km，q=F0m。其解包含兩部分：齊次方程的通解x1和方程的特解為x2，即x=x1+x2x1對應(yīng)于有阻尼自由振動齊次方程的解，它代表的是一種衰減振動，只在振動開始的一段時間內(nèi)才有意義，為瞬態(tài)振動，一般情況下不予考慮。特解x2代表系統(tǒng)在簡諧激振下產(chǎn)生的強(qiáng)迫振動，它是一種持續(xù)的等幅振動，為穩(wěn)態(tài)振動。求得穩(wěn)態(tài)解為x2=X0(1-2)2+(2)2sin(t-)其中：=p，X0=F0k，=arctan21-2。2.4.2 單位諧函數(shù)法求強(qiáng)迫振動所謂單位諧函數(shù)法，是設(shè)作用在系統(tǒng)上的激勵為復(fù)數(shù)形式的單位幅值簡諧激振力，即fct=eit=cost+isin

23、t則系統(tǒng)的微分方程為mx+cx+kx=eit此處涉及到一個重要的函數(shù)頻率響應(yīng)函數(shù)H（），它由系統(tǒng)特性確定，表示系統(tǒng)在單位幅值的簡諧激振力fct=eit作用下所產(chǎn)生的振幅。即H=xc(t)fc(t)解得H（）為H=1k-m2+ic=1k1-2+i2=H()e-i其中=p,為頻率比；頻率響應(yīng)函數(shù)的模為 H()=1k(1-2)+(i2)2，為幅頻特性；頻率響應(yīng)函數(shù)的相位差角=arctan21-2，稱為相頻特性。則復(fù)數(shù)形式簡諧激振力F0eit下的響應(yīng)為xct=H()e-iF0eit=F0H()ei（t-）2.5一般性周期激勵的強(qiáng)迫振動實際問題中簡諧干擾力作用下的強(qiáng)迫周期振動是比較少的，大多數(shù)是一種非簡

24、諧的周期性干擾力?？赏ㄟ^諧波分析，對這些不同頻率的簡諧振動，求出各自的響應(yīng)，再根據(jù)性系統(tǒng)的疊加原理，將各響應(yīng)疊加起來而求得一般周期干擾力作用下的總響應(yīng)。周期性激勵函數(shù)在一定條件下展開為傅里葉級數(shù)：ft=a02+j=1(ajcosjt+bjsinjt)則一般性周期激勵的強(qiáng)迫振動的微分方程為mx+cx+kx=a02+j=1(ajcosjt+bjsin(jt)求得其響應(yīng)為x=a02k+j=1ajcosjt-i+bjsin(jt-i)k(1-j22)2+(2j)2其中，i=2j1-j22，j=1,2，2.6任意激勵下的響應(yīng)在工程實際中，對振動系統(tǒng)的激勵作用往往既不是簡諧的，也不是周期的，而是任意的時間

25、函數(shù)，包括作用時間很短的沖擊作用。這種激勵作用下，系統(tǒng)通常沒有穩(wěn)態(tài)振動而只有瞬態(tài)振動。在這種激勵停止后，系統(tǒng)將按照其固有頻率進(jìn)行自由振動，即所謂的剩余振動。系統(tǒng)在任意激勵下的瞬態(tài)振動包括剩余振動在內(nèi)統(tǒng)稱為任意激勵的響應(yīng)。在已知任意激振時，求系統(tǒng)響應(yīng)的方法有好幾種，本章主要介紹了三種方法：杜哈美積分法、傅氏積分法以及拉式變換法。3.二自由度系統(tǒng)的振動二自由度系統(tǒng)就是用兩個獨立坐標(biāo)可以完全描述其在質(zhì)量在空間位置的關(guān)系。二自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)中最為簡單的情況。其具有一定的代表性，可以通過處理二自由度系統(tǒng)振動問題及實際應(yīng)用來熟悉多自由度系統(tǒng)的振動問題。研究二自由度振系的振動問題時，要解決一下問題（

26、1） 實際結(jié)構(gòu)簡化成二自由度系統(tǒng)模型；（2） 系統(tǒng)運動微分方程的建立；（3）求解運動微分方程的方法；（3） 響應(yīng)特性的分析。3.1 系統(tǒng)運動微分方程的建立將實際問題中關(guān)于機(jī)械、汽車等的實際結(jié)構(gòu)簡化成二由度系統(tǒng)模型后，要研究其振動問題。在選定廣義坐標(biāo)后，可以利用達(dá)朗伯原理或牛頓第二定律，即用矢量力學(xué)的方法來求系統(tǒng)運動方程。也可以利用影響系數(shù)的概念，從研究系統(tǒng)的慣性力作用下的變形而求得系統(tǒng)的運動方程。此外，還可以用分析力學(xué)的方法，從研究系統(tǒng)的動能與位能入手，然后利用拉格朗日方程，求解出系統(tǒng)的運動微分方程。在多自由度系統(tǒng)振動理論中，廣泛使用矩陣記號 (寫為矩陣形式)，這里運用牛頓第二定律建立如圖3-

27、1所示二自由度系統(tǒng)微分方程為：圖3-1 二自由度系統(tǒng)m100m2x1x2+c1+c2-c2-c2c2+c3x1x2+k1+k2-k2-k2k2+k3x1x2=f1(t)f2(t)其中矩陣 m100m2為質(zhì)量矩陣，用M表示；c1+c2-c2-c2c2+c3阻尼矩陣，用C表示；k1+k2-k2-k2k2+k3剛度矩陣，用K表示；x1x2加速度向量，用X表示；x1x2速度向量，用X表示；x1x2位移向量，用X表示；f1(t)f2(t)激振力向量，用F（t）表示。根據(jù)以上符號，多自由度系統(tǒng)的微分方程寫成一般形式：MX+CX+KX=F(t)3.2二自由度無阻尼振系的自由振動如圖3-1所示的二自由度振系，

28、當(dāng)其中的c1=c2=c3=0，f1t=f2t=0時，即為二自由度無阻尼振系的自由振動。此時二自由度微分方程可寫成：m1x1+k1+k2x1-k2x2=0m2x2-k2x1+k2+k3x2=0x1+k1+k2m1x1-k2m1x2=0x2-k2m2x1+k2+k3m2x2=0令a=k1+k2m1,b=k2m1,c=k2m2,d=k2+k3m2，求得系統(tǒng)固有頻率為：p21,2=a+d2a-d22+bc第一階主振型為：1=cd-p12第二階主振型為：2=cd-p22若給出系統(tǒng)具有的四個初始條件：x10，x20，x10，x20，則解得通解為：x1x2=A1111sinp1+1+A1212sinp2+2

29、其中： A11=11-2(2x10-x20)2+(2x10-x20p1)2A11=12-1(1x10-x20)2+(1x10-x20p2)21=arctanp1(2x10-x20)2x10-x201=arctanp2(1x10-x20)1x10-x203.3 二自由度無阻尼振系在簡諧激振力下的強(qiáng)迫振動和單自由度一樣，二自由度系統(tǒng)在受到持續(xù)的激振力作用下就會產(chǎn)生強(qiáng)迫振動，在一定條件下還會產(chǎn)生共振。如圖3-1所示，若c1=c2=c3=0，f1t=F1sint，f2t=F2sint，則為受簡諧激振力作用下的二自由度無阻尼系統(tǒng)。此時，系統(tǒng)微分方程為m1x1+k1+k2x1-k2x2=F1sintm2x

30、2-k2x1+k2+k3x2=F2sint其中a=k1+k2m1,b=k2m1,c=k2m2,d=k2+k3m2，q1=F1m1，q2=F2m2。求得系統(tǒng)的響應(yīng)為：x1=d-2q1+bq2a-2d-2-bcsintx2=d-2q2+cq1a-2d-2-bcsint當(dāng)=p1時，振幅比為(B2B1)P1=cq1+(a-p21)q2a-p21q1+bq2；當(dāng)=p2時，振幅比為(B2B1)P2=cq1+(a-p22)q2a-p22q1+bq2。4 多自由度振動系統(tǒng)所謂多自由度系統(tǒng)，是指必須通過兩個以上的獨立廣義坐標(biāo)才能夠描述系統(tǒng)運動特性的系統(tǒng)，或者說自由度個數(shù)多于一個，但又不屬于連續(xù)彈性體的系統(tǒng)。如圖

31、4-1所示就是一個三自由度系統(tǒng)。圖4-1 三自由度振動系統(tǒng) 關(guān)于多自由度系統(tǒng)的微分方程式，一般是一組相互耦合的常微分方程組。在求解的過程中往往利用模態(tài)分析的方法。其要點在于利用模態(tài)矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，實現(xiàn)方程之間的解耦。將多自由度系統(tǒng)的振動分析簡化為多個單自由度系統(tǒng)的振動分析問題。4.1多自由度系統(tǒng)運動微分方程的建立1 直接法 利用動力學(xué)的基本定律或定理（如牛頓第二定律或達(dá)朗伯原理）建立系統(tǒng)的運動微分方程的方法。（1）對各質(zhì)量取隔離體，進(jìn)行受力分析；（2）根據(jù)牛頓第二定律建立微分方程：mixi=Fi，i=1,2,3。2 拉格朗日法 從能量的觀點建立系統(tǒng)的動能T、勢能U和功W之間的標(biāo)量關(guān)系，研究靜

32、、動力學(xué)。（1）取n個自由度系統(tǒng)的n個互為獨立的變量q1,q2,qn,為廣義坐標(biāo)。（2）建立拉格朗日方程：（無阻尼系統(tǒng)的振動微分方程） dTqidt-Tqi+Uqi=Qi （i=1,2,3）3 影響系數(shù)法 mij和kij分別稱為質(zhì)量影響系數(shù)和剛度影響系數(shù)。根據(jù)它們的物理意義可以直接寫出矩陣 M 和 K，從而建立作用力方程，這種方法稱為影響系數(shù)方法。 剛度矩陣 K 中的元素 kij 是使系統(tǒng)僅在第 j 個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第 i 個坐標(biāo)上所需施加的力。 質(zhì)量矩陣 M 中的元素 mij 是使系統(tǒng)僅在第j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第 i 個坐標(biāo)上所需施加的力。4.2 多自由度系統(tǒng)的固有特

33、性多自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動方程為MX+KX=0解得主振型方程：K-2nMA=0，通過H=K-2nM=0解得系統(tǒng)的固有頻率2n。將固有頻率2n代入主振型方程可解的系統(tǒng)的主振型A。4.3 無阻尼自由度系統(tǒng)的模態(tài)分析由于多自由度系統(tǒng)的微分方程是一個相互耦合的二階常微分方程組，按照一般的方法進(jìn)行求解較為困難，一方面因為微分方程的數(shù)量很多，一方面各個方程之間存在坐標(biāo)耦合。因此，在實際的工程應(yīng)用中，常常采用模態(tài)分析，對原方程組進(jìn)行坐標(biāo)變換，解除方程之間的耦合，使原方程組的求解轉(zhuǎn)化為n個獨立單自由度系統(tǒng)的求解問題，然后，將各階主振型按照一定的比例進(jìn)行疊加，求得原方程的解。進(jìn)行系統(tǒng)模態(tài)分析的一般過程為：（

34、1） 求出系統(tǒng)的各階固有頻率和相應(yīng)的主模態(tài)，組成模態(tài)矩陣，或者對質(zhì)量矩陣對角化，組成正則模態(tài)矩陣N。（2） 對以廣義物理坐標(biāo)表達(dá)的系統(tǒng)運動微分方程作坐標(biāo)變換：X=Q或X=NQN，使原方程解耦，得到以模態(tài)坐標(biāo)Q和QN表達(dá)的系統(tǒng)模態(tài)方程。（3） 求解模態(tài)方程，得到系統(tǒng)以模態(tài)坐標(biāo)表達(dá)的響應(yīng)Q或QN以及各個模態(tài)參數(shù)。（4） 將求得的系統(tǒng)在模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)Q或QN代回到坐標(biāo)變換式，求出系統(tǒng)在原有物理坐標(biāo)下的響應(yīng)X。5 連續(xù)系統(tǒng)振動分析 所謂連續(xù)系統(tǒng)，其質(zhì)量、彈性及阻尼都是分布的、連續(xù)的，所以，與離散系統(tǒng)相比，自由度不是有限的，而是無限的。因而，又稱為無限自由度振動系統(tǒng)或彈性振動系統(tǒng)。 描述連續(xù)系統(tǒng)要用到

35、空間和時間兩個坐標(biāo)，其運動方程是偏微分方程，在求解的過程中需要同時考慮彈性及邊界值問題。5.1振動分析的有限元方法利用模態(tài)分析法求解離散集中質(zhì)量振動系統(tǒng)、梁及平板等簡單連續(xù)振動系統(tǒng)時，會因為模型的過于簡化，而產(chǎn)生精度不高甚至錯誤的結(jié)論。相比較而言，利用計算機(jī)技術(shù)的有限單元法，在求解復(fù)雜振動系統(tǒng)中具有巨大的優(yōu)勢。其基本思路為（1） 將連續(xù)體視作有限個基本單元的集合體，相鄰的單元僅在節(jié)點出相連，節(jié)點的位移分量作為結(jié)構(gòu)的基本未知量。從而將具有無限度自由度的連續(xù)系統(tǒng)動力學(xué)問題，簡化為有限多個自由度的離散系統(tǒng)的力學(xué)問題。（2） 假設(shè)一個簡單的函數(shù)來近似模擬單元位移分量的分布規(guī)律，即選擇位移模式，在通過動

36、力學(xué)原理確定單元節(jié)點作用力與節(jié)點位移之間的關(guān)系。 （3） 將所有節(jié)點按照節(jié)點位移連續(xù)和節(jié)點作用力平衡的原理進(jìn)行集總，得到整個系統(tǒng)的平衡方程組。（4） 引入邊界條件和激勵，求解系統(tǒng)的節(jié)點位移，完成對整個系統(tǒng)力學(xué)的響應(yīng)求解問題具體分析過程：（1）彈性連續(xù)體離散化 將彈性連續(xù)體分割成由有限個單元組成的集合體，也稱為網(wǎng)格劃分。單元僅在節(jié)點處相連，單元之間的載荷只能通過節(jié)點傳遞。單元類型的選擇應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體幾何形狀特點結(jié)合載荷及約束合理選取。（2）選擇單元位移模式假設(shè)一個單元的函數(shù)模擬單元內(nèi)位移的分布規(guī)律，通常為多項式。其階數(shù)取決于單元的自由度和有關(guān)解的收斂性要求。（3）單元力學(xué)特性分析按照集合方程和

37、物理方程推導(dǎo)出單元應(yīng)變與應(yīng)力的表達(dá)式，再利用虛功原理或變分方法等建立各單元的剛度矩陣，即單元節(jié)點力和位移之間的關(guān)系。（4）整體分析，組集結(jié)構(gòu)總剛度方程 依據(jù)相鄰單元在公共節(jié)點上的位移相同，每個節(jié)點上的節(jié)點力和節(jié)點載荷保持平衡的原則。即：1.各單元的剛度矩陣組集成整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；2.將作用在各節(jié)點的節(jié)點載荷組集成結(jié)構(gòu)總的載荷矩陣。（5）約束處理并求解總的剛度方程 引進(jìn)邊界約束條件，修正總剛度矩陣，求解節(jié)點位移。（6）計算結(jié)果整理 以圖表的形式表達(dá)計算結(jié)果，如位移和應(yīng)力等。6 隨機(jī)振動概述實際的自然界和工程問題中，大量的振動現(xiàn)象都是不確定的。對于汽車而言，最典型的非確定性振動是由于路面不平度引

38、起的汽車振動。這些振動的特點是系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)在事先都無法利用時間的確定性函數(shù)予以描述，因此，被稱為隨機(jī)振動。利用統(tǒng)計的方法進(jìn)行規(guī)律性研究，即將隨機(jī)振動用數(shù)學(xué)描述為隨機(jī)過程。6.1隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性（1）幅值域（時域）特性汽車的設(shè)計中，需要對結(jié)構(gòu)的可靠性和壽命進(jìn)行預(yù)估，這都需要對測量得到的隨機(jī)信號進(jìn)行幅值域的分析。時域特性參數(shù)本章主要涉及均值、方差和均方值。（2）自相關(guān)特性表征隨機(jī)過程在一個時刻和另外一個時刻采樣值之間的相互依賴關(guān)系。其表達(dá)式為Rx=limT1T0Txtxt+dt（3）頻率域特性對于隨機(jī)過程在頻率域內(nèi)的描述，主要是應(yīng)用功率譜密度函數(shù)來表征隨機(jī)振動過程在各頻率成分上的統(tǒng)計特性。功

39、率譜密度函數(shù)表達(dá)式為 Sx=12-+Rx()e-id（4）隨機(jī)振動的概率分布最常見的概率分布為正態(tài)分布和瑞利分布。其表達(dá)式分別為px=12e-x222px=x2e-x222，x>06.2 線性系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)計算為了求解線性系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵下的響應(yīng)特性，首先要建立線性系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)統(tǒng)計特性與輸入的統(tǒng)計特性以及系統(tǒng)傳遞特性三者之間的關(guān)系。6.2.1 隨機(jī)響應(yīng)的統(tǒng)計特性（1）響應(yīng)均值x=FH0（2）自相關(guān)函數(shù)Rx=-+h1-+RF+1-2h2d2d1（3）響應(yīng)自譜 Sx=H2SF（4）響應(yīng)均方值2x=-+H2SFd（5）激勵與響應(yīng)互相關(guān)函數(shù)RFx=-+RF-hd（6）激勵與響應(yīng)自譜SFx=HS

40、F（7） 激勵與響應(yīng)的譜相干函數(shù)RFx=SFx2SFSx6.2.2 傳遞特性從線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動響應(yīng)的統(tǒng)計特性的分析來看，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)十分重要。頻率響應(yīng)函數(shù)是指初始條件為零時系統(tǒng)的輸出與輸入的傅里葉變換的比值。7 Matlab在解決汽車振動問題中的應(yīng)用7.1振動的合成y1=12sin(100x)y2=4sin(300x)y12=y1+y2程序：x=0:0.001:0.1;y1=sin(100*pi*x)*12/pi;y2=sin(300*pi*x)*4/pi;y12=y1+y2;subplot(3,1,1);plot(x,y1);title('y1=sin(100*pi*x)*1

41、2/pi');ylabel('Õñ·ù');subplot(3,1,2);plot(x,y2);title('y2=sin(300*pi*x)*4/pi');ylabel('Õñ·ù');subplot(3,1,3);plot(x,y12);title('y1,y2µÄºÏ³É');ylabel('Õñ·ù');xlabel(&#

42、39;x');合成如圖所示：圖7-1 振動的合成結(jié)論：頻率不同的簡諧振動的合成不再是簡諧振動，頻率之比是有理數(shù)時合成振動是周期振動，頻率比為無理數(shù)時，合成為非周期振動。x1=A1cos(1t+1)x2=A2cos(2t+2)12=mn=13，所以此合成為周期振動。7.2 求無阻尼多自由度強(qiáng)迫振系的固有頻率，主振型及其響應(yīng)。以圖7-2所示的三自由度振系為例進(jìn)行分析，設(shè)其質(zhì)量m1=2kg，m2=1.5kg，m3=1kg，彈簧剛度k1=3kN /m ，k2=2kN /m ，k3=1kN /m ，阻尼c1=c2=c3=5KN.sm，外部激勵f1=2sin5t(kN),f2= 3sin5t(kN),f3=4sin5t(kN)。求系統(tǒng)的固有頻率、主振型及其響應(yīng)。圖7-2 三自由度機(jī)械振動系統(tǒng)解：運用牛頓第二定律建立系統(tǒng)運動微分方程：m1x1+(c1+c2)x1-c2x2+k1+k2x1-k2x2=f1(t)m2x2+(c2+c3)x2-c2x1-c3x3+k2+k3x2-k2x1-k3x3=f2(t)m3x3+c3x3-c3x2+k3x3