級數(shù)定義性質(zhì)

1、級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)學(xué)分析的研究對象研究對象:函數(shù)函數(shù).(一)數(shù)學(xué)分析研究函數(shù)所用的方法方法：極限極限.(二)數(shù)學(xué)分析的研究研究主要主要對象對象:連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù).(三)實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集關(guān)于極限運(yùn)算是封閉的. (四) 這個(gè)性質(zhì)就是實(shí)數(shù)集的完備性(連續(xù)性)研究函數(shù)性態(tài)的重要工具工具:導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)和微分.(五)微積分的基本定理:中值定理中值定理(六)導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算:不定積分不定積分(七)定積分定積分(八)級數(shù)級數(shù)理論是分析學(xué)的一個(gè)分支；理論是分析學(xué)的一個(gè)分支；它與另一個(gè)分支它與另一個(gè)分支微積分學(xué)微積分學(xué)一起一起作為作為基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識和和工具工具出現(xiàn)在其余出現(xiàn)在其余各分支中。各分支中。二者共同以二

2、者共同以為基本工具，為基本工具，分別從分別從離散離散與與連續(xù)連續(xù)兩個(gè)方面，兩個(gè)方面，結(jié)合起來研究分析學(xué)的結(jié)合起來研究分析學(xué)的對象對象，即變量之間的依賴關(guān)系即變量之間的依賴關(guān)系函數(shù)函數(shù)。級數(shù)分為:數(shù)項(xiàng)級數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級數(shù).數(shù)項(xiàng)級數(shù)是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的特殊情況，他又是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基礎(chǔ).級數(shù)是逼近理論的基礎(chǔ)，是研究函數(shù)、進(jìn)行近似計(jì)算的一種有用的工具. 級數(shù)理論的主要內(nèi)容是研究級數(shù)的收斂性以及級數(shù)的應(yīng)用.9.1數(shù)項(xiàng)級數(shù)一 收斂與發(fā)散的概念二 收斂級數(shù)的性質(zhì)三 同號級數(shù)四 變號級數(shù)五 絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)一 收斂與發(fā)散的概念 我們已經(jīng)在初等數(shù)學(xué)中知道: 有限個(gè)實(shí)數(shù) 相加, 其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù). 本節(jié)將討論“無限個(gè)實(shí)數(shù)

3、相加”所可能出現(xiàn)的情形及其特征.如,莊子天下篇“ 一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,萬世不竭萬世不竭”的例中,把每天截下那一部分的長度“加”起來:這就是“無限個(gè)數(shù)相加”的一個(gè)例子.nuuu,21 12(1)nu uu定義定義 給定一個(gè)給定一個(gè)數(shù)列數(shù)列un, 即即將其各項(xiàng)依次用將其各項(xiàng)依次用“+ +”號號連接起來的表達(dá)式連接起來的表達(dá)式 ,321nuuuu稱為稱為數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)或或無窮級數(shù)無窮級數(shù)( (也常簡稱也常簡稱級數(shù)級數(shù)),),其中其中 un 稱為數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)的的通項(xiàng)通項(xiàng)或或一般項(xiàng)一般項(xiàng)或或第第n n項(xiàng)項(xiàng). . 1nnu.nu常記為常記為. 在不致誤解時(shí)可簡記為在不致誤解

4、時(shí)可簡記為由于式中的每一項(xiàng)都是由于式中的每一項(xiàng)都是常數(shù)常數(shù)，(無窮多個(gè)數(shù)之和無窮多個(gè)數(shù)之和)上面級數(shù)稱為數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)的的 n 項(xiàng)項(xiàng)部分和部分和. .121,(2)nnknksuuuu數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)(1)的前的前n項(xiàng)之和記為項(xiàng)之和記為 部分和數(shù)列部分和數(shù)列 ,11us ,212uus 3123,suuu:ns部分和數(shù)列部分和數(shù)列 :ns,21nnuuus .s,sn, nn分和數(shù)列級數(shù)對應(yīng)一個(gè)已知的部于是都是已知的項(xiàng)部分和其任意對給定級數(shù)顯然定義定義:部分和部分和設(shè)設(shè),limssnn 1 nnu則稱級數(shù)則稱級數(shù) 級數(shù)的級數(shù)的和和. s 稱為稱為,1 nnus并記為并記為 這時(shí)也稱

5、該這時(shí)也稱該級數(shù)級數(shù)收斂于收斂于 若部分和數(shù)列的若部分和數(shù)列的極限極限不不存在存在（發(fā)散發(fā)散），）， 定義定義 若級數(shù)若級數(shù) 的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列 1nnu ns的的極限存在極限存在(收斂收斂)，1 nnu則稱級數(shù)則稱級數(shù)發(fā)散發(fā)散.收斂，收斂，收斂收斂與與發(fā)散發(fā)散定義定義級數(shù)的收斂或發(fā)散(簡稱斂散性),2111nnnkkkknnuuuussr稱差值稱差值為收斂級數(shù)的為收斂級數(shù)的n項(xiàng)余和項(xiàng)余和，簡稱，簡稱余和余和.顯然，級數(shù)收斂，總有顯然，級數(shù)收斂，總有l(wèi)im0.nnr 定義定義:余和余和即記其和是收斂若,s, 1nnnnssru級數(shù)級數(shù)0limlim)(limlimssssssrnnnnn

6、nn注注 由于級數(shù)由于級數(shù)(1)的的收斂收斂或或發(fā)散發(fā)散(簡稱簡稱斂散性斂散性), ,是由它是由它 的的部分和數(shù)列部分和數(shù)列ns來來確定確定, 因而也可把級數(shù)因而也可把級數(shù)(1)作為作為 數(shù)列數(shù)列ns的另一種的另一種表現(xiàn)形式表現(xiàn)形式. , 任給一個(gè)數(shù)列任給一個(gè)數(shù)列 na, 如果把它看作某一數(shù)項(xiàng)級數(shù)的如果把它看作某一數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列部分和數(shù)列, 則則 這個(gè)數(shù)項(xiàng)級數(shù)就是這個(gè)數(shù)項(xiàng)級數(shù)就是 1213211()()().(5)nnnnuaaaaaaana這時(shí)數(shù)列這時(shí)數(shù)列與級數(shù)與級數(shù) (5) 具有具有相同的相同的斂散性斂散性, 且當(dāng)且當(dāng)收斂時(shí)收斂時(shí), ,其極限值就是級數(shù)其極限值就是級數(shù)(5)的和的和.

7、 . na 12(1)nu uu1u2u3ununnuuua21的收斂部分和數(shù)列收斂級數(shù)1nnnsu的收斂部分和數(shù)列收斂級數(shù)1nnnsususnkknnn1limlim研究研究無窮級數(shù)無窮級數(shù)收斂問題收斂問題,實(shí)質(zhì)上實(shí)質(zhì)上就是研究就是研究部分和數(shù)列部分和數(shù)列的收斂問題的收斂問題1nnnnnnaqaqaqaaqaq2110例例1 討論討論等比級數(shù)等比級數(shù)（幾何級數(shù)幾何級數(shù)）的斂散性）的斂散性., 0是公比其中qa ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q0lim nnqs1limqasnn,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nnqlim nnslim因此幾何級數(shù)收斂收斂.其其和和是是因此幾何級數(shù)發(fā)散發(fā)散.解解12 nnaqaqaqasq

8、aqan 1,11qaqqan時(shí)時(shí)如果如果1 q) 1qqasqqaasqaannnnnn1)1 (11111qa1qaaqaqnnnn1110即時(shí)時(shí)如果如果1 q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q,nsna 發(fā)散發(fā)散. aaaa級級數(shù)數(shù)變變?yōu)闉閘imnns 不不存存在在, , 發(fā)散發(fā)散. 綜上綜上 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn)2是奇數(shù)是偶數(shù)nann,0saaaqas1例例2 證明級數(shù)收斂，并求其和證明級數(shù)收斂，并求其和) 15()45(1161111161611nn).)15(1)45(1(51)15()45(1nnnnuunn可改寫為通項(xiàng)證明：)15n11 (51

9、)15n1451()11161()611 (51nsn51)15n11 (51limlimnnns51) 15)(45(1511nnn，即于是級數(shù)收斂，其和是, )1ln()( xxxf 令令,0)0( f則則由此知由此知 f (x) 為增函數(shù)為增函數(shù).證證x先證一個(gè)不等式先證一個(gè)不等式xx ()1ln( . )0 xxf 111)(.0nnn13121111例例3 證明調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)發(fā)散)( xf即即可得可得, )0(fx)1ln(x 1,31,21,1 代入上式得代入上式得令令nx 1) 11ln( 21)211ln( n1)11ln(n 相加得相加得nsn131211 )134232l

10、n(nn )1ln( n,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n,)1ln( n, ns所以所以 故級數(shù)故級數(shù).1 1發(fā)散發(fā)散 nnnn1ln34ln23ln2ln p10-1.(1)p10-1.(1) 討論數(shù)項(xiàng)級數(shù)討論數(shù)項(xiàng)級數(shù)111(4)1 22 3(1)n n的收斂性的收斂性. .1111223(1)nsn n1111112231nn11.1n1limlim 11,1nnnsn由于由于 因此級數(shù)因此級數(shù) (4) 收斂收斂, ,且其和為且其和為 1. 解解 級數(shù)級數(shù)(4)的的n項(xiàng)部分和為項(xiàng)部分和為 首頁首頁解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)12112

11、1(21)5131(21)311(21 nn)2.(1-p10首頁首頁)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和為和為級數(shù)收斂級數(shù)收斂二、收斂級數(shù)的性質(zhì)的收斂部分和數(shù)列收斂級數(shù)1nnnsususnkknnn1limlim研究研究數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂問題收斂問題,實(shí)質(zhì)上實(shí)質(zhì)上就是研究就是研究部分和數(shù)列部分和數(shù)列的收斂問題的收斂問題收斂的充分必要條件就是級數(shù)級數(shù)收斂的充分必要條件部分和數(shù)列1nnnus基于基于級數(shù)級數(shù)與與數(shù)列數(shù)列的關(guān)系的關(guān)系, ,不難根據(jù)不難根據(jù)數(shù)列數(shù)列的柯西準(zhǔn)則的柯西準(zhǔn)則得出下面關(guān)于得出下面關(guān)于級數(shù)級數(shù)的柯西收斂準(zhǔn)則的柯西收斂準(zhǔn)則定理1 (

12、柯西收斂準(zhǔn)則)收斂級數(shù)1nnu，有，n,n, 0pnnnpnnnuuu21發(fā)散級數(shù)1nnu，有，n,n, 0000pnnn0210000pnnnuuu推論推論1(級數(shù)收斂的級數(shù)收斂的必要必要條件條件)則, 1收斂收斂若數(shù)項(xiàng)級數(shù)若數(shù)項(xiàng)級數(shù)nnu. 0limnnu推論推論1的的等價(jià)命題等價(jià)命題是是:發(fā)散則級數(shù)若1, 0limnnnnuu證明證明: ，且設(shè)級數(shù)部分和數(shù)列為sssnnlim，由于1nnnssu. 0limlim1ssssunnn）（所以即收斂級數(shù)的通項(xiàng)必趨于即收斂級數(shù)的通項(xiàng)必趨于0.注注: : 推論是級數(shù)收斂的一個(gè)推論是級數(shù)收斂的一個(gè)必要必要條件條件: :通通項(xiàng)項(xiàng)不不趨于趨于零零, ,

13、級數(shù)級數(shù)一定一定發(fā)散發(fā)散, , 但但通通項(xiàng)趨于零項(xiàng)趨于零, , 則級數(shù)則級數(shù)未必未必收斂收斂,但其推論但其推論, ,判斷級數(shù)判斷級數(shù)發(fā)散發(fā)散很有效很有效. . 如級數(shù)如級數(shù) 1( 1)1( 1)因?yàn)橐话沩?xiàng)因?yàn)橐话沩?xiàng)un=( )n-1不不趨于零，所以發(fā)散趨于零，所以發(fā)散. . 1 柯西收斂準(zhǔn)則在柯西收斂準(zhǔn)則在理論上理論上很重要很重要,但用它來判別一個(gè)具體級數(shù)的斂散性但用它來判別一個(gè)具體級數(shù)的斂散性,卻很麻煩卻很麻煩,甚至很困難甚至很困難發(fā)散則級數(shù)若1, 0limnnnnuupnnnuuu21，有，n,n, 0pnnn推論推論2 去掉、增加或改變級數(shù)的去掉、增加或改變級數(shù)的有限項(xiàng)有限項(xiàng)并并不不改變

14、改變 級數(shù)的級數(shù)的斂散性斂散性. . 注注 去掉、增加或改變級數(shù)的有限項(xiàng)雖不改變該級去掉、增加或改變級數(shù)的有限項(xiàng)雖不改變該級數(shù)的斂散性，但在收斂時(shí)，其數(shù)的斂散性，但在收斂時(shí)，其和和一般還是要一般還是要變變的的. . 根據(jù)根據(jù)數(shù)列數(shù)列極限極限運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì),可得可得級數(shù)級數(shù)運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì).s,0s11ccucunnnn也收斂，其和是則（常數(shù)），對收斂，其和是若級數(shù).11nnnnuccu即定理2結(jié)論結(jié)論:級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零不為零的常數(shù)的常數(shù),該級數(shù)的斂散性該級數(shù)的斂散性不變不變.結(jié)論結(jié)論 在在收斂收斂級數(shù)的項(xiàng)中級數(shù)的項(xiàng)中任意任意加括號加括號, , 既既不不改變改變

15、級數(shù)的級數(shù)的收斂性收斂性, ,也也不不改變改變它的它的和和. . 從級數(shù)從級數(shù)加括號加括號后的收斂后的收斂, ,不能不能推斷它在推斷它在未加未加括號括號 時(shí)也收斂時(shí)也收斂. . 例如例如 (11)(11)(11)0000,收斂收斂, , 但級數(shù)但級數(shù) 1 11 1 卻是卻是發(fā)散發(fā)散的的. .注注:對對有限和有限和來說來說,不但可以不但可以隨意隨意加加括號括號,而且可以而且可以隨意隨意去去括號括號.但在級數(shù)中但在級數(shù)中,對于對于收斂收斂級數(shù)來說級數(shù)來說,項(xiàng)與項(xiàng)項(xiàng)與項(xiàng)可以可以任意任意加加括號括號,但但不能不能任意任意去去掉掉(無限多個(gè)無限多個(gè))括號括號.推論推論如果如果加加括號后所成的級數(shù)括號后所

16、成的級數(shù)發(fā)散發(fā)散,則原來級數(shù)也則原來級數(shù)也發(fā)散發(fā)散.11也發(fā)散則原來級數(shù)，號后所得到的級數(shù)發(fā)散中的項(xiàng)不改變次序加括若把級數(shù)nnnnaa11-1-1131-1-31121-1-21,nn對于級數(shù)例如所以原級數(shù)發(fā)散是發(fā)散級數(shù)這是調(diào)和級數(shù)成為如果不改變次序加括號,1212)11-1-1(122nnnnnnn逆否命題逆否命題如果如果加加括號后所成的級數(shù)括號后所成的級數(shù)收斂收斂,不能不能推出則原來級數(shù)也推出則原來級數(shù)也收斂收斂.(*)()()(1111211kknnnnnuuuuuu定理4若級數(shù)若級數(shù)(*)中在中在同一同一括號中的項(xiàng)有括號中的項(xiàng)有相同相同的的符號符號,則從(*)的的收斂收斂便能推出便能推出原級數(shù)原級數(shù)收斂收斂,而且兩者有而且兩者有相同的和相同的和.證明.limlimlim,kn).nn(nnn(*).lim,:(*)1 -k1 -k1 -1 -1 -k1 -k21sss