高中數(shù)學(xué)培訓(xùn)資料2三角形的四心

1、高中數(shù)學(xué)培訓(xùn)資料（二）三角形的“四心”一. 重心的主要性質(zhì)及其應(yīng)用三角形三邊中線相交于一點(diǎn)，叫做三角形的重心比例關(guān)系：重心分中線為等積關(guān)系：若為的重心，則重心是到三角形三頂點(diǎn)的距離的平方和為最小的點(diǎn)例如圖，設(shè)為的重心，且，求的面積.例如圖，在中，為三中線，為重心，求證：.例如圖，已知為的重心，不過(guò)三角形頂點(diǎn)的直線過(guò)點(diǎn)，從三點(diǎn)向直線引垂線，為垂足，求證：.例如圖，為的重心，分別為的重心，求證：是的重心.例如圖，設(shè)為的重心，求證：.例如圖，在中，為重心，為內(nèi)部一點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求證：練習(xí)：已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊上的中線長(zhǎng)分別為和，那么這個(gè)三角形的斜邊長(zhǎng)為（ ）a.10 b.4 c. d.

2、是的中線，交于，若，則（ ）a.14 b.12 c.10 d.8在中，已知和分別是兩邊上的中線，并且，那么的面積等于（ ）a.12 b.14 c.16 d.18在中，是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)分別是和的重心，連結(jié)交于點(diǎn)，則（ ）a. b. c. d.在中，和的中線互相垂直，則（ ）a. b. c. d. 在中，和是的兩條中線，且，那么（ ）a. b. c. d.若的重心為，則的面積為 如圖，中，是中線，平分，且平行于，已知將分成六個(gè)部分的面積依次是，則 ， ， ， ， 已知凸四邊形的面積為1，其對(duì)角線交于點(diǎn)，的重心分別為，則四邊形的面積等于 已知平行四邊形中，是的中點(diǎn)，求平行四邊形的面積如圖，在中，分別

3、是邊上的中線，是邊上的一點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，作交于，分別交于，求證：如圖，在中，是中線，且求的長(zhǎng)；若存在，討論的取值范圍如圖，已知為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，求證：三點(diǎn)在一條直線上；二、內(nèi)心的主要性質(zhì)及其應(yīng)用三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，點(diǎn)稱(chēng)為此三角形的內(nèi)心，它也是該三角形內(nèi)切圓的圓心，內(nèi)心有以下性質(zhì)：若是的內(nèi)心，則到三邊的距離相等，這個(gè)相等的距離是內(nèi)切圓的半徑，；三角形內(nèi)角張角定理：若是的內(nèi)心，則，；若是的內(nèi)心，延長(zhǎng)線交的外接圓于，則；若在中的的平分線上（在的外接圓上），且，則為的內(nèi)心；中，為高，分別為內(nèi)切圓的半徑，則例證明三角形內(nèi)角張角定理：設(shè)是的內(nèi)心，則，例

4、如圖，在中，是重心，是內(nèi)心，且，求證：例中，的平分線交于點(diǎn)，作于，設(shè)，求的值例如圖，是的內(nèi)心，直線交的外接圓分別于求證：例已知是等腰的底上的高，且，延長(zhǎng)到，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，求證：點(diǎn)是的內(nèi)心例如圖，在中，點(diǎn)是內(nèi)心，垂足為，垂足為，垂足為，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求證：三點(diǎn)都在以為圓心的同一個(gè)圓上練習(xí)：為的內(nèi)心，則（ ）a. b. c. d.為兩直角邊分別為7和24的直角三角形的內(nèi)心，則到直角三角形斜邊的距離等于（ ）a.1 b.2 c.3 d.4圓切三邊于點(diǎn)，那么是（ ）a.銳角三角形 b.直角三角形 c.鈍角三角形 d.以上都有可能等腰中，內(nèi)切圓的半徑是1，則腰長(zhǎng)為（ ）a. b. c. d.4的

5、周長(zhǎng)為25，為三角形的內(nèi)心，線段過(guò)點(diǎn)分別交于，且，則的周長(zhǎng)為 如圖，在中，點(diǎn)是三等分線的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為 已知中，與的平分線相交于點(diǎn)，又于，若，則的值是多少？如圖，中，分別為和的內(nèi)心，求證：中，高，分別為內(nèi)切圓的半徑，求的值三、垂心的主要性質(zhì)及其應(yīng)用三角形三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心的三條高交于點(diǎn)，則垂心是三垂足三角形（）的內(nèi)心；三角形垂心張角定理：設(shè)是非直角的垂心，為最大角若，則若，則證明：例為內(nèi)一點(diǎn)，求證：為的垂心例在半徑為的圓中作一銳角，為垂心，求證：例在中，如圖，于，于，于，且交于，求證：為的中心例設(shè)是等腰的垂心，如圖，在底邊保持不變的情況下，讓頂點(diǎn)至底邊的距離變小，這時(shí)乘積的值變

6、小，變大還是不變？試證明你的結(jié)論例的外接圓上任意一點(diǎn)，過(guò)作三邊所在直線的垂線，求證：此三垂足共線已知：為外接圓上的一點(diǎn)，為垂足求證：三點(diǎn)共線練習(xí)：三邊的長(zhǎng)分別為，這三邊的高依次為，若，則這個(gè)三角形為（ ）a.等邊三角形 b.等腰非直角三角形 c.直角非等腰三角形 d.等腰直角三角形在中，為的垂心，且不與重合，則的度數(shù)是 不等邊的兩條高長(zhǎng)度為4和12，若第三條高的長(zhǎng)也是整數(shù)，試求它的長(zhǎng)內(nèi)接于圓，垂足為，圓的半徑為，求的長(zhǎng)如圖，在正方形的對(duì)角線上任取一點(diǎn)，過(guò)作的垂線與交于，求證：如圖，是的高，過(guò)作于，并與交于，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于，求證：如圖，分別與圓相切于，連結(jié)與相交于點(diǎn)，連結(jié)，求證：把銳角的三條高延長(zhǎng)和的外接圓分別交于，證明：的垂心是的內(nèi)心設(shè)是的垂心，且，求證：四、外心的主要性質(zhì)及其應(yīng)用三角形三邊中垂線交于點(diǎn)，點(diǎn)稱(chēng)為此三角形的外心，它也是該三角形外接圓的圓心.外心具有以下性質(zhì)：外心到三角形三頂點(diǎn)的距離相等；三角形外心張角定理：設(shè)是的外心，且為最大角若，則若，則證明：例在的邊上有一點(diǎn)，為銳角，各是的外心，且四邊形與等積，求的度數(shù)例如圖，已知于，在上，求證：例在中，在邊上，作交于，作交于，又作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)求證：； 五、“四心”