線性代數(shù)CH行列式PPT課件

1、0平時(shí)成績(jī)（共計(jì)平時(shí)成績(jī)（共計(jì)30%） 0 1、 考勤（考勤（10%）0 2、 作業(yè)（作業(yè)（20%）0期末理論考試（期末理論考試（70%） 第1頁(yè)/共146頁(yè) 第2頁(yè)/共146頁(yè)一、研究對(duì)象三、核心方法二、研究工具以討論線性方程組的解為基礎(chǔ)，研究線性空間的結(jié)構(gòu)、線性變換的形式. .線性代數(shù)線性代數(shù)研究對(duì)象與邏輯結(jié)構(gòu)概述研究對(duì)象與邏輯結(jié)構(gòu)概述利用矩陣?yán)碚? 求解線性方程組.通過(guò)初等(線性)變換，將方程組化為最簡(jiǎn)形式的同解方程組求解. .四、課程特點(diǎn)公式多，式子大，符號(hào)繁，但規(guī)律性強(qiáng)。內(nèi)容比較抽象。第3頁(yè)/共146頁(yè)五、邏輯結(jié)構(gòu)線性代數(shù)線性代數(shù)研究對(duì)象與邏輯結(jié)構(gòu)概述研究對(duì)象與邏輯結(jié)構(gòu)概述線性方程組

2、矩陣?yán)碚撔辛惺紺ramer法則矩陣對(duì)角化二次型的化簡(jiǎn)線性變換初等變換 第4頁(yè)/共146頁(yè) 基本理論基本理論 基本方法基本方法 第5頁(yè)/共146頁(yè)在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過(guò)二在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過(guò)二元、三元等簡(jiǎn)單的線性方程組元、三元等簡(jiǎn)單的線性方程組. .但是，從許多實(shí)踐或理論問(wèn)題里但是，從許多實(shí)踐或理論問(wèn)題里導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當(dāng)導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當(dāng)多的未知量，并且未知量的個(gè)數(shù)多的未知量，并且未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)也不一定相等與方程的個(gè)數(shù)也不一定相等. .第6頁(yè)/共146頁(yè)-1 0 1 2 3 4 xy-11234( (唯唯一一解解) )13yxyx(1)二元一次方程組二元

3、一次方程組第7頁(yè)/共146頁(yè)6223yxyx13yxyx無(wú)窮多組解無(wú)解第8頁(yè)/共146頁(yè) x + y z = 5 2x -3y +z = 3 -5x+2y - 2z= 0記作12312312352335220 xxxxxxxxx 三元一次方程組三元一次方程組第9頁(yè)/共146頁(yè)第10頁(yè)/共146頁(yè)例10043214321xxxxxxxx10021321321xxxxxxxx顯然，此方程組無(wú)解. . 例2顯然，此方程組有無(wú)窮多解. . a11x1a12x2 a1nxn b1a21x1a22x2 a2nxn b2am1x1am2x2 amnxnbm 例3第11頁(yè)/共146頁(yè)m個(gè)方程式n個(gè)未知數(shù)的線性

4、方程式系統(tǒng)mnmnmmmnnnnnnbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa332211333332321312232322212111313212111mnmmmnnnaaaaaaaaaaaaaaaaA321333323122322211131211mbbbb21nxxxx21bAx 以矩陣方式表示為第12頁(yè)/共146頁(yè)我們先討論未知量的個(gè)數(shù)與方程我們先討論未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相等的特殊情形的個(gè)數(shù)相等的特殊情形. .在討論這一類線性方程組時(shí)，我在討論這一類線性方程組時(shí)，我們引入行列式這個(gè)計(jì)算工具們引入行列式這個(gè)計(jì)算工具. .第13頁(yè)/共146頁(yè)第一章第一章

5、 行列式行列式內(nèi)容提要內(nèi)容提要1 1 二階與三階行列式二階與三階行列式2 2 n 階行列式的定義階行列式的定義 3 3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)4 4 行列式按行（列）展開(kāi)行列式按行（列）展開(kāi)5 5 克萊姆法則克萊姆法則行列式的概念行列式的概念. .行列式的行列式的性質(zhì)及計(jì)算性質(zhì)及計(jì)算. . 線性方程組的求解線性方程組的求解. . 行列式是線性代行列式是線性代數(shù)的一種工具！數(shù)的一種工具！學(xué)習(xí)行列式主要學(xué)習(xí)行列式主要就是要能計(jì)算行列就是要能計(jì)算行列式的值式的值. .第14頁(yè)/共146頁(yè)1 二階與三階行二階與三階行列式列式我們從最簡(jiǎn)單的二元線性方程組出發(fā)，探我們從最簡(jiǎn)單的二元線性方程組出發(fā)，探求其

6、求解公式，并設(shè)法化簡(jiǎn)此公式求其求解公式，并設(shè)法化簡(jiǎn)此公式. .第15頁(yè)/共146頁(yè)一、二元線性方程組與二階行列式一、二元線性方程組與二階行列式一元一次方程 ax = b 當(dāng) a0 時(shí)，bax1 10 x2x22x3x22121二元 （三元）線性方程組例 解二元線性方程組14x71 得于是2x1 6x2 42x72 類似地，可得于是第16頁(yè)/共146頁(yè)一、二元線性方程組與二階行列式一、二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組二元線性方程組 11112212112222a xa xba xa xb 由消元法，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 21222112112

7、2211)(baabxaaaa 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，該方程組有唯一解時(shí)，該方程組有唯一解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 第17頁(yè)/共146頁(yè)求解公式為求解公式為11112212112222a xa xba xa xb 二元線性方程組二元線性方程組 分母相同，分母相同，由方程組的四個(gè)系數(shù)確定由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.分子、分母都是分子、分母都是四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再 相減相減而得而得.122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa

8、a 此公式有什么特點(diǎn)？11122122aaaa記號(hào)記號(hào) 11122122aaaa數(shù)表數(shù)表 我們引進(jìn)新的符號(hào)來(lái)表示我們引進(jìn)新的符號(hào)來(lái)表示“四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再相減四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再相減”. .第18頁(yè)/共146頁(yè)記：記： 2112221122211211aaaaaaaa稱上式的左邊為二階行列式，右邊的式子為二階行列式的展開(kāi)式 。其中，其中， 稱為稱為元素元素. .(1,2;1,2)ijijai 為為行標(biāo)行標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 為為列標(biāo)列標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .第19頁(yè)/共146頁(yè)二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算 11122122aaaa11

9、221221a aa a主對(duì)角線主對(duì)角線 副對(duì)角線副對(duì)角線 即：主對(duì)角線上兩元素之積即：主對(duì)角線上兩元素之積副對(duì)角線上兩元素之積副對(duì)角線上兩元素之積 對(duì)角線法則對(duì)角線法則 例如29245) 3(8515831行列式的計(jì)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)。注意：注意：第20頁(yè)/共146頁(yè)例1：設(shè)231D 問(wèn)當(dāng) （1）為何值時(shí)，D = 0 （2）為何值時(shí)，D0解：23D(1) 0 3或或 時(shí)，D=0(2) 0 3或或 時(shí)，D 0第21頁(yè)/共146頁(yè)其求解公式為其求解公式為11112212112222a xa xba xa xb 1 2212 2111 22122111 21 21211 221221baa bxa a

10、a aa bbaxa aa a 二元線性方程組二元線性方程組 2112221122211211aaaaaaaa112222baba= D1D =111212abab= D2于是，當(dāng)D00時(shí)，方程組的解為第22頁(yè)/共146頁(yè)22211211aaaaD ; 2221211ababD 2211112babaD 第23頁(yè)/共146頁(yè)例例1.2 求解二元線性方程組求解二元線性方程組 1212232121xxxx解解 因?yàn)橐驗(yàn)?1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以 11142,7DxD222137DxD 第24頁(yè)/共146頁(yè)二、三階行列式二、三階行列式

11、定義定義 設(shè)有設(shè)有9個(gè)數(shù)排成個(gè)數(shù)排成3行行3列的數(shù)表列的數(shù)表原則：橫行豎列原則：橫行豎列引進(jìn)記號(hào)引進(jìn)記號(hào)稱為稱為三階行列式三階行列式. .111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主對(duì)角線主對(duì)角線 副對(duì)角線副對(duì)角線 二階行列式的對(duì)角線法則二階行列式的對(duì)角線法則并不適用！并不適用！第25頁(yè)/共146頁(yè)三階行列式的計(jì)算可用下面的對(duì)角線法則333231232221131211aaaaaaaaa33221

12、1aaa 312312aaa 322113aaa 312213aaa 332112aaa .322311aaa 注意注意: 2. 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)。1. 三階行列式包括3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列的三個(gè)元素的乘積。第26頁(yè)/共146頁(yè)12-4-221-34-2D 例例2 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 解解按對(duì)角線法則，有按對(duì)角線法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 0a0b0c0d0D = 0= ?第27頁(yè)/共146頁(yè)對(duì)于三元線性方程組 333323212123232221211313

13、212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD 記,3332323222131211aabaabaabD 則三元線性方程組的解為: :,11DDx ,22DDx .33DDx ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 第28頁(yè)/共146頁(yè)例例3 3 解線性方程組12312312322,231,0.xxxxxxxxx 由于方程組的系數(shù)行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 第29頁(yè)/共146頁(yè)同理可得1103111

14、221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程組的解為:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx第30頁(yè)/共146頁(yè) j = 1, 2, , n11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xaxba xa xaxbaxaxaxb ，時(shí)，當(dāng)DDxDjj 0111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa n階行列式其中Dj j為將D的第 j 列換為常數(shù)項(xiàng)后得到的行列式. .n元一次方程組系數(shù)行列式方程組的解:Cramer法則猜想猜想: 第31頁(yè)/共146頁(yè)2 n 階行列式階行列式的定義的定義第32頁(yè)/共14

15、6頁(yè)問(wèn)題問(wèn)題 把把 n 個(gè)不同的元素排成一列，共有多少種不同的個(gè)不同的元素排成一列，共有多少種不同的 排法？排法？定義定義 把把 n 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 n 個(gè)元素個(gè)元素的的全排列全排列. n 個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn 表示表示.(1) (2)3 2 1!nPnnnn 顯然顯然 即即n 個(gè)不同的元素一共有個(gè)不同的元素一共有n! 種不同的排法種不同的排法.一、全排列及其逆序數(shù)第33頁(yè)/共146頁(yè)所有所有6種不同的排法中，只有一種排法種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數(shù)字是按從小到大的自然）中的數(shù)字是按從

16、小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前數(shù)排在小的數(shù)之前. .因此大部分的排列都不是因此大部分的排列都不是“順序順序”，而是而是“逆序逆序”. . 3個(gè)不同的元素一共有個(gè)不同的元素一共有3! =6種不同的排法種不同的排法。123，132，213，231，312，321第34頁(yè)/共146頁(yè)對(duì)于對(duì)于n 個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序.n 個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.定義定義 當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不

17、同時(shí)，就就稱這兩個(gè)元素組成一個(gè)稱這兩個(gè)元素組成一個(gè)逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考題：思考題：還能找到其它逆序嗎？還能找到其它逆序嗎？答：答：2和和1，3和和1也構(gòu)成逆序也構(gòu)成逆序.第35頁(yè)/共146頁(yè)定義定義 排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù).排列排列 的逆序數(shù)通常記為的逆序數(shù)通常記為 . .1 2ni ii1 2()ni ii 奇排列：奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列. .偶排列：偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列逆序數(shù)為偶數(shù)的排列. .例如例如 排列32514 中， 3

18、2 5 1 4逆序數(shù)為逆序數(shù)為3。1010故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.第36頁(yè)/共146頁(yè)計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法 則此排列的則此排列的逆序數(shù)逆序數(shù)為為12n設(shè)設(shè) 是是 1, 2, , n 這這n 個(gè)自然數(shù)的任一排列，個(gè)自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序. 先看有多少個(gè)比先看有多少個(gè)比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ；再看有多少個(gè)比再看有多少個(gè)比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ;最后看有多少個(gè)比最后看有多少個(gè)比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ;12np pp1p1p1 2p2p2 npn

19、pn 3 4 2 143 2 1從而得 (3421)55. .5練習(xí)：求排列 32541 32541 的逆序數(shù). .答：(32541)66. .第37頁(yè)/共146頁(yè)例例4 4 計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論奇偶性.217986354解解453689712544310010 18 此排列為偶排列.54 0100134 第38頁(yè)/共146頁(yè)( (1)21) n n(1)(2)1nn1(1)2n n說(shuō)明說(shuō)明: : 一般說(shuō)來(lái), ,在n n個(gè)數(shù)碼的全排列中，奇偶排列各占一半. .(12)n 0思考題：思考題：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？ 偶排列偶排列第39頁(yè)

20、/共146頁(yè)111lmnaabbcb ca二、對(duì)換二、對(duì)換定義定義 在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的方法叫做素不動(dòng)，這種作出新排列的方法叫做對(duì)換對(duì)換將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換相鄰對(duì)換例如例如 11lma baabb11lmb aaabb111lmnaabbca cb第40頁(yè)/共146頁(yè)對(duì)換改變排列的奇偶性對(duì)換改變排列的奇偶性. .11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabb 11lmbaaabbrrr 注意到除注意到除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變外，其它元素的逆序數(shù)不改變.

21、 ., a b第41頁(yè)/共146頁(yè)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ， ， . . ab 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ， ， . . ab 因此相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性因此相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性. . 1aar bbr aar 1bbr 1r 1r 11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabb 11lmbaaabbrrr 第42頁(yè)/共146頁(yè)nmlccbbbaaa111ab次相鄰對(duì)換mnmlccbbabaa111次相鄰對(duì)換1 mnmlccabbbaa111ba,111nmlcbcbabaa次相鄰對(duì)換12 m,111nmlcacbbbaa所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性。ab（2）考

22、慮一般情形第43頁(yè)/共146頁(yè)三階行列式的定義333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 1.1.概念的引入概念的引入規(guī)律：規(guī)律：1.1.三階行列式共有三階行列式共有6項(xiàng)，即項(xiàng)，即3!項(xiàng)項(xiàng)2.2.每一項(xiàng)都是位于每一項(xiàng)都是位于不同行不同列不同行不同列的三個(gè)元素的乘積的三個(gè)元素的乘積3.3.每一項(xiàng)可以寫成每一項(xiàng)可以寫成 （正負(fù)號(hào)除外），其中（正負(fù)號(hào)除外），其中 是是1、2、3的某個(gè)排列的某個(gè)排列. .123123pppaaa123p p p三、n階行列式的定義第44頁(yè)/共1

23、46頁(yè)例如，例如，322113aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 , 211312 322311aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 , 101132 偶排列奇排列正號(hào)正號(hào) ,負(fù)號(hào)負(fù)號(hào) 333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 4.4.當(dāng)當(dāng) 是是偶排列偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)正號(hào)； 當(dāng)當(dāng) 是是奇排列奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào)負(fù)號(hào). . 123p p p123p p p第45頁(yè)/共146頁(yè)所以，三階行列式可以寫成所以，三階行列式可以寫成 其中其中 表示對(duì)表示對(duì)1、2

24、、3的所有排列求和的所有排列求和. 123p p p 二階行列式有類似規(guī)律二階行列式有類似規(guī)律.下面將行列式推廣到一般的情形下面將行列式推廣到一般的情形. 111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a第46頁(yè)/共146頁(yè)三、三、n 階行列式的定義階行列式的定義1. n 階行列式共有階行列式共有 n! 項(xiàng)項(xiàng)2.2.每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的 n 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積3.3.每一項(xiàng)可以寫成每一項(xiàng)可以寫成 （正負(fù)號(hào)除外），

25、其中（正負(fù)號(hào)除外），其中 是是1, 2, , n 的某個(gè)排列的某個(gè)排列. .4.4.當(dāng)當(dāng) 是是偶排列偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)正號(hào)； 當(dāng)當(dāng) 是是奇排列奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào)負(fù)號(hào). . 1212nppnpaaa12np pp12np pp12np pp1212121112121222()1212( 1)nnnnnp ppppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作 ，其中其中 為行列式為行列式D的的( (i, j) )元元det()ijaija第47頁(yè)/共146頁(yè)思考題：思考題： 成立嗎？成立嗎？答：答：符號(hào)符號(hào) 可以有兩種理解：可以有兩種理解：若

26、理解成絕對(duì)值，則若理解成絕對(duì)值，則 ；若理解成一階行列式，則若理解成一階行列式，則 . .11 1 11 11 注意：注意：當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，一階行列式時(shí)，一階行列式|a| = a，注意不要與，注意不要與絕對(duì)值的記號(hào)相混淆絕對(duì)值的記號(hào)相混淆. 例如：一階行列式例如：一階行列式 . 11 第48頁(yè)/共146頁(yè)111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 例：例：寫出四階行列式中含有因子寫出四階行列式中含有因子 的項(xiàng)的項(xiàng). . 2311aa例：例：計(jì)算行列式計(jì)算行列式解：解：11233244a a a a 11233442.a a a a和和142323241000

27、000000000aaDaa 112213344000000000000aaDaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 第49頁(yè)/共146頁(yè)解：解：112213344000000000000aaDaa 142323241000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)14233341( 1)a a a a 14233341a a a a (4321)0123 3 46.2 其中其中 第50頁(yè)/共146頁(yè)111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 112122432323341424344

28、000000aaaDaaaaaaa 11223344a a a a 14233341a a a a 第51頁(yè)/共146頁(yè)12,11nnnaaDa 1122nnaaDa 四個(gè)結(jié)論：四個(gè)結(jié)論：(1) (1) 對(duì)角行列式對(duì)角行列式 nnaaa2211 (2) (2) (1)212,11( 1)n nnnna aa 第52頁(yè)/共146頁(yè)nnnnaaaaaaD21222111000 nnnnaaaaaaD00022211211 (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主對(duì)角線下側(cè)元素都為（主對(duì)角線下側(cè)元素都為0 0）nnaaa2211 (4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主對(duì)角線上側(cè)

29、元素都為（主對(duì)角線上側(cè)元素都為0 0）nnaaa2211 第53頁(yè)/共146頁(yè)111212122212nnnnnnaaaaaaaaa第54頁(yè)/共146頁(yè)3 3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)第55頁(yè)/共146頁(yè)一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)111212212212, nnnnnnaaaaaaaaDa 行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式. . TDD若記若記 ，則，則 .det(), det()TijijDaDb ijjiba 記記性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等, ,即即 .TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa

30、 第56頁(yè)/共146頁(yè)121212()12( 1)nnnp ppTppnpp ppDbbb 證明證明根據(jù)行列式的定義，有根據(jù)行列式的定義，有若記若記 ，則，則det(), det()TijijDaDb ,1,2,ijjibai jn 1121221()2( 1)nnnppp ppp ppp naaa D 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位, ,行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立. .性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等, ,即即 .TDD 第57頁(yè)/共146頁(yè)性質(zhì)性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列）互換行

31、列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .驗(yàn)證驗(yàn)證于是于是175662358175358662196 196 175175662358358662 推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 ，所以，所以 . DD 0D 備注：交換第備注：交換第 行（列）和第行（列）和第 行（列），記作行（列），記作 . .ji()ijijrr cc第58頁(yè)/共146頁(yè)驗(yàn)證驗(yàn)證性質(zhì)性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)倍數(shù)以同一個(gè)倍數(shù) ，等于用數(shù)

32、，等于用數(shù) 乘以此行列式乘以此行列式. .kk111213212223313233,aaaDaaaaaa 我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 記記 根據(jù)三階行列式的對(duì)角線法則，有根據(jù)三階行列式的對(duì)角線法則，有1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 備注：第備注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，記作，記作 . .ki()iirk ck第59頁(yè)/共146頁(yè)1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 112233122331132132132231122133112332()()()()()()aaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaa

33、a112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aaaka Dk 推論推論 備注：第備注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，記作，記作 . .ki()iirk ck第60頁(yè)/共146頁(yè)212223242122232431323334111213141112311121314111213213333431141400aaaaakkkakaaaaaaaaaaaaaaaakakaaaaaaaaa驗(yàn)證驗(yàn)證我們以我們以4階行列式為例階行列式為例. . 性質(zhì)性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，行列式中如果有兩行（列

34、）元素成比例，則此行列式為零則此行列式為零第61頁(yè)/共146頁(yè)性質(zhì)性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和之和, ,如如：121222221113212331332323aaDaaabababaa 則則111311132123212331331212222232331323aaaaDaaaabababaaaaa第62頁(yè)/共146頁(yè)121222221113212331332323aaDaaabababaa 221231312322()13( 1)()ppp p pppp p pabaa 123123131312312223()()131322( 1)(

35、 1)p p pp p pppppp p pppp p paaaaab111311132123212331333131212222223332aaabaabaaaaaaabaaa驗(yàn)證驗(yàn)證我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 第63頁(yè)/共146頁(yè)性質(zhì)性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)倍把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)倍數(shù)然后加到另一列數(shù)然后加到另一列( (行行) )對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變則則1.DD 驗(yàn)證驗(yàn)證122211132123313323,aaDaaaaaaa 我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 記記 1112131

36、212213233323313233aaaDaaakakakaaaa 備注：備注：以數(shù)以數(shù) 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，記作行（列）上，記作 . .ki().ijijrkr ckc j1112131113212223212331323331323331331aaaaaDaaaaaaaaakakakaa第64頁(yè)/共146頁(yè)行列式的計(jì)算 方法一：利用性質(zhì)化成上（下）三角行列式。 方法二：利用性質(zhì)化簡(jiǎn)、降階。第65頁(yè)/共146頁(yè)上三角行列式: : 非零元素在主對(duì)角線及其上方。 nnnnaaaaaa22211211非零元素在主對(duì)角線及其下方。下三角行列式: : 上三角上三角 行

37、列式行列式nnnnaaaaaa21222111下三角下三角 行列式行列式OO第66頁(yè)/共146頁(yè)例例2101044614753124025973313211 D二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值上三角形行列式，從而算得行列式的值ijrkr 3 第67頁(yè)/共146頁(yè)2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr第68頁(yè)/共146頁(yè)2101044614753140202010013211 210104461

38、4753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 第69頁(yè)/共146頁(yè)42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 第70頁(yè)/共146頁(yè)2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 第71頁(yè)/共146頁(yè)6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 第72頁(yè)/共146頁(yè)例例2 2計(jì)算 2810610

39、7511641253D思考思考: : 化為三角形行列式前怎樣變形可簡(jiǎn)化過(guò)程解解: :28106107511641253D6810250714161325141cc 1第73頁(yè)/共146頁(yè)6810250711110325112rr 12040022201110325113rr 142rr 2第74頁(yè)/共146頁(yè)232rr 04000000111032510例例3 3計(jì)算 6740151821256039D第75頁(yè)/共146頁(yè)解解: :分析分析: :求行列式的值時(shí),本著化繁為簡(jiǎn)的原則,有公因式時(shí)先提公因式。D31r21cc 67041581215220313 3 )2(142cc 123cc 27

40、12415111211200013第76頁(yè)/共146頁(yè)242cc 23cc 225124216111001200013 ) 6/21(34)6/21(cc 2/951240611100120001381第77頁(yè)/共146頁(yè)例例4 計(jì)算計(jì)算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2第78頁(yè)/共146頁(yè) 11(1)11bbbabbanbbabbba 1(1)bbbabanbabab 1(1) ().nanb a b 第79頁(yè)/共146頁(yè)例例5 設(shè)設(shè) 111111

41、1111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb ,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明 第80頁(yè)/共146頁(yè)證明證明1111110;kkkkkpDpppp對(duì)對(duì) 作運(yùn)算作運(yùn)算 ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 1Dijrkr 1D設(shè)為設(shè)為對(duì)對(duì) 作運(yùn)算作運(yùn)算 ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDqqqp設(shè)為設(shè)為第81頁(yè)/共146頁(yè)對(duì)對(duì) D 的前的前 k 行作運(yùn)算行作運(yùn)算 ，再對(duì)后，再對(duì)后 n 列作運(yùn)算列作運(yùn)算 ，把把 D 化為

42、下三角形行列式化為下三角形行列式,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 1111kknnDppqq12.D D ijrkr ijckc 故故第82頁(yè)/共146頁(yè)x4221;121211102001xxxDxxx x4( 1) (4321) a14a23a32a41=2x4第83頁(yè)/共146頁(yè)已知已知計(jì)計(jì)算算,111222333abcabcaabc111222333acbacbbacb112233123112233222333aaaaaaDbbbcbcbcb第84頁(yè)/共146頁(yè)112233123123222aaaaaabbbcccD 112233123123222aa

43、aaaabbbccc112233123123222333aaaaaabbbbbb第85頁(yè)/共146頁(yè)2ab123123123aaabbbccc123123123222aaabbbccc111222333abcabcabc1112223332acbacbacb第86頁(yè)/共146頁(yè) ( (行列式中行與列具有同行列式中行與列具有同等的地位等的地位, , 凡是對(duì)行成立的性質(zhì)對(duì)列也同樣成凡是對(duì)行成立的性質(zhì)對(duì)列也同樣成立立).). 計(jì)算行列式常用方法：計(jì)算行列式常用方法：(1)(1)利用定義利用定義; ; (2)(2)利用性質(zhì)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行

44、列式的值得行列式的值三、小結(jié)三、小結(jié)行列式的行列式的6 6個(gè)性質(zhì)個(gè)性質(zhì)第87頁(yè)/共146頁(yè)4 行列式按行(列)展開(kāi)對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式. .本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來(lái)表示高本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來(lái)表示高階行列式階行列式. .第88頁(yè)/共146頁(yè)例如例如 11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 11121423313234414244aaaMaaaaaa 2 32323231AMM 把把 稱為元素稱為元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式 1ijijijAM ija在在n 階行列式中，把

45、元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃后，列劃后，留下來(lái)的留下來(lái)的n1階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作 . ijijMijaija結(jié)論結(jié)論 因?yàn)樾袠?biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識(shí)行列式的元素，所以因?yàn)樾袠?biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識(shí)行列式的元素，所以行列行列式中每一個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式式中每一個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式. .第89頁(yè)/共146頁(yè)例如9248734167023915 94874131523 M 2332231MA .23M 注：注：以及其所在行、列的所有元素均無(wú)關(guān)。元素 的余子式及代數(shù)余子式與元素 本身ijaij

46、a第90頁(yè)/共146頁(yè)11121314212223243341424344000aaaaaaaaDaaaaa 1112143 3332122244142441aaaaaaaaaa 例如例如 3 3333333331a Aa M 11121433212224414244aaaaaaaaaa 引理引理 一個(gè)一個(gè)n 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都為零，那么這行列式等于外都為零，那么這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘與它的代數(shù)余子式的乘積，即積，即 ijijDa A iijaija第91頁(yè)/共146頁(yè)21222121100nnnnnaaaaaaaD 即有即有1

47、111.Da M 又又 1 11111111,AMM 從而從而1111.Da A 下面再討論一般情形下面再討論一般情形.分析分析 當(dāng)當(dāng) 位于第位于第1 1行第行第1 1列時(shí)列時(shí), ,ija第92頁(yè)/共146頁(yè) 再證一般情形，設(shè) 1111100jnnnjnnijaaaaDaaa 用互換相鄰兩行和相鄰兩列，把 aij 調(diào)到左上角，得行列式第93頁(yè)/共146頁(yè)11111111111 11111111 1111111110000j,j,jni,ji,i,ji,ji,ni,ji,i,ji,ji,nnjnn,jn,jnnijDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 利用前面的結(jié)果，得ijij1MaD

48、于是1ji11j1iDDD11)()()()( 所以引理成立.ijjiijMa1)( ijijAa 第94頁(yè)/共146頁(yè)11121314212223244142434434000aaaaaaaaaaaaa我們以我們以4階行列式為例階行列式為例. . 2334111213142122232441424344000( 1)rraaaaaaaaaaaaa12111213142122232441424334442000( 1)rraaaaaaaaaaaaa1112131421222324414243434(3 14)000( 1)aaaaaaaaaaaaa 思考題：思考題：能否以能否以 代替上述兩次行

49、變換？代替上述兩次行變換？13rr第95頁(yè)/共146頁(yè)231234234414243444142434411121212223314111213142421222324000( 1)000rrrraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa思考題：思考題：能否以能否以 代替上述兩次行變換？代替上述兩次行變換？133434411112142314111434441421222324212223221323414444000( 1)000rraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa答：答：不能不能. .13rr第96頁(yè)/共146頁(yè)二、行列式按行（列）展開(kāi)法則二、行列式按行（列）

50、展開(kāi)法則定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 11221,2,iiiiininDa Aa Aa Ain 或11221 2jjjjnjnjDa Aa Aa Aj, ,n 證 因?yàn)閚n2n1nin2i1in11211aaaa000a000aaaaD 第97頁(yè)/共146頁(yè)椐引理，就得到nn2n1ninn11211nn2n1n2in11211nn2n1n1in11211aaaa00aaaaaa0a0aaaaaa00aaaa .n,2 ,1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 類似地可得.n,

51、2 ,1jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1 第98頁(yè)/共146頁(yè)861504312例：將按第一行展開(kāi) 1 11 21 3054540681213811116 124405168 1 11 21 3054540111681816124 ? 第99頁(yè)/共146頁(yè)例例3112513420111533D 51111113100105530 312 cc 34cc 3 3511( 1)1111550 511620550 21rr 1 362( 1)55 8205 40. 第100頁(yè)/共146頁(yè) 證明證明 用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法21211Dxx 21()ijijxx 例例 證明范德蒙德證明范德蒙德

52、( (Vandermonde) )行列式行列式1222212111112111().nnnijn ijnnnnxxxxxxDxxxxx (1)所以所以n=2時(shí)時(shí)(1)式成立式成立.21xx第101頁(yè)/共146頁(yè)2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 假設(shè)假設(shè)(1)對(duì)于對(duì)于n1階范德蒙行列式成立，從第階范德蒙行列式成立，從第n行開(kāi)始，后行行開(kāi)始，后行減去前行的減去前行的 倍：倍：1x按照第按照第1列展開(kāi)，并提出每列的公因子列展開(kāi)，并提出每列的公因子 ，就有，就有1()ixx 第102頁(yè)

53、/共146頁(yè)213112()()()()nnijn ijDxxxxxxxx 1().ijn ijxx 232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxx n1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式第103頁(yè)/共146頁(yè)推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即11220,.ijijinjna Aa Aa Aij 111213212223AAaaa A212223313232122233aaaaaaaaa 分析分析 我們以我們以3階行列式為例階行列式為

54、例. . 111213111112121313212223313233aaaa Aa Aa Aaaaaaa把第把第1行的元素?fù)Q成第行的元素?fù)Q成第2行的對(duì)應(yīng)元素，則行的對(duì)應(yīng)元素，則 0. 第104頁(yè)/共146頁(yè)定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 11221,2,iiiiinina Aa Aa AD in 推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即11220,.iji

55、jinjna Aa Aa Aij 1122,0,niinijjjDija Aa Aa Aij 1122,0,ijijinjnDija Aa Aa Aij 綜上所述，有綜上所述，有同理可得同理可得第105頁(yè)/共146頁(yè)例例 設(shè)設(shè) , , 的的 元的余子式和元的余子式和代數(shù)余子式依次記作代數(shù)余子式依次記作 和和 ，求，求分析分析 利用利用3521110513132413D D( , )i jijMijA11121314AAAA及及11213141.MMMM111213142122232411111212131314143132333441424344aaaaaaaaa Aa Aa Aa Aaaaa

56、aaaa第106頁(yè)/共146頁(yè)125202100 解解111213141111105134311321AAAA 43rr 31rr 1111110522021100 115222110 21cc 2502 4. 第107頁(yè)/共146頁(yè)1521110513131413 105105113 43rr 1521110513130100 121105113 132rr 0. 1121344111213141MMMMAAAA第108頁(yè)/共146頁(yè)拉普拉斯展開(kāi)定理拉普拉斯展開(kāi)定理1、行列式D的k階子式M： 任選D中k行k列，位于其交叉點(diǎn)元素按原來(lái)順序排列成的一個(gè)k階行列式叫做D的一個(gè)k階子式,記為Mnnn

57、nnnaaaaaaaaaD212222111211設(shè)第109頁(yè)/共146頁(yè)3、M的代數(shù)余子式A：在 N 之前冠以一個(gè)符號(hào)，符號(hào)由下式?jīng)Q定)()(21121) 1(kkjjjiii其中),(21,21kkjjjiii表示 M 在D中的行標(biāo)和列標(biāo)。2、M的余子式N： 劃去k k行、k k列后，余下的元素按原來(lái)順序排成的一個(gè)n-k階行列式, ,記為N第110頁(yè)/共146頁(yè)如：44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD33312321aaaaMD的一個(gè)二階子式：44421412aaaaNM的余子式為：NAM)31()32() 1(的代數(shù)余子式為：

58、第111頁(yè)/共146頁(yè)定理定理4.2（拉普拉斯定理）（拉普拉斯定理） 在n階行列式D中，任意取定k行(列)后，由這k行(列)元素所組成的一切k階子式與它的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式D的值。第112頁(yè)/共146頁(yè) 例例 計(jì)算 1111021220121101010120102D 解：解： 按1，2行展開(kāi)，不為零的二階子式為 1121111221MM第113頁(yè)/共146頁(yè)1111021220121101010120102D011121212111NM 的余子式0) 1(1311111NAM 的代數(shù)余子式011012021022NM 的余子式0) 1(2531122NAM 的代數(shù)余子式由拉普拉斯

59、定理0221. 1AMAMD第114頁(yè)/共146頁(yè)1.利用利用n階行列式的定義計(jì)算階行列式的定義計(jì)算;n第115頁(yè)/共146頁(yè)112211nnnnnababDabba n （）1121 21( 1)nnnnnDa aab bbb 1121 21( 1)nnnna aabbb b 第116頁(yè)/共146頁(yè)0121122000000nnnabbbcacaDca 012112122100010()001nnnnabbbcacDa aaaca )0,(21naaa其中解：例 計(jì)算行列式箭形行列式從第二行開(kāi)始，每一行提出對(duì)角線上的元素。第117頁(yè)/共146頁(yè)012112122100010()001nnnn

60、abbbcacDa aaaca 01111222000100()010001niiiinnnb caacaa aacaca 1201()()niiniib ca aaaa 第一行減去biri i=2,3,n第118頁(yè)/共146頁(yè)練習(xí)練習(xí)1 1nD001030100211111 箭形行列式ncnccc13121321 nini00003000020111112 )11( !2 niin第119頁(yè)/共146頁(yè)baaaaabaaaaabaaaaabaDnnnn 32132132132111312 rrrrrrn bbbbbbaaaban 000000321nccc 21練習(xí)練習(xí)2 2 （可化（可化為