第四章半導(dǎo)體中載流子的統(tǒng)計分布

1、第四章 半導(dǎo)體中載流子的統(tǒng)計分布前章已講過，完整半導(dǎo)體中的電子能級構(gòu)成能帶，有雜質(zhì)和缺陷的半導(dǎo)體，在禁帶中存在局域化能級。實驗證明，半導(dǎo)體的導(dǎo)電性強(qiáng)烈地隨溫度和雜質(zhì)含量變化。這主要是因為半導(dǎo)體中的載流子數(shù)目對溫度和雜質(zhì)是非常敏感的。本章討論熱平衡情況下，載流子在各種能級上的分布，計算導(dǎo)帶電子和價帶空穴的密度，分析它們與半導(dǎo)體中雜質(zhì)含量及溫度的關(guān)系。§ 4-1 狀態(tài)密度大家已知道，在周期性勢場中運動的電子，其波函數(shù)為布洛赫函數(shù)。對于一個確定的能級，電子的運動狀態(tài)可用一個波矢來標(biāo)志。在周期性邊界條件限制下，波矢只能取一系列間斷值，這些允許的在倒空間是均勻分布的，其密度為?？紤]到電子自旋的

2、兩種取向后，在倒空間單位體積內(nèi)電子的狀態(tài)數(shù)（即密度）為 （4-1）式中，V是晶體的體積。上式為一個普適公式，對任何晶體都適用。在討論具體問題時，通常使用以能量為尺度的狀態(tài)密度N（E），其定義為單位晶體體積、單位能量間隔中的狀態(tài)數(shù)。對于半導(dǎo)體來說，導(dǎo)帶中的電子一般集中在導(dǎo)帶底附近的狀態(tài)中，而價帶中的空穴一般集中在價帶頂附近的狀態(tài)中。因此，只需考慮導(dǎo)帶底和價帶頂附近的情況。一 導(dǎo)帶狀態(tài)密度 Ge、Si是最重要的半導(dǎo)體，它們的導(dǎo)帶都屬于多能谷情況。設(shè)想導(dǎo)帶有M個彼此對稱的能谷，在每個能谷處，能量作為的函數(shù)可表示為 （4-2）式中，為導(dǎo)帶底能量，（i=1，2，3）為導(dǎo)帶底附近的波矢與導(dǎo)帶底處波矢的坐標(biāo)

3、分量之差。在空間中，由能量相等的波矢所構(gòu)成的曲面稱等能面。因此，（4-2）式表示，在半導(dǎo)體的導(dǎo)帶底附近，等能面為橢球面。橢球中心在能量極小處，相應(yīng)的能量為導(dǎo)帶底Ec。式中的m1，m2和m3為沿橢球主軸方向上的有效質(zhì)量分量。橢球的三個半軸長分別為 ，和對于那些能量在Ec到E范圍內(nèi)的電子態(tài)，其波矢都在該橢球里面。從而在M個能谷附近能量在Ec到E范圍內(nèi)的電子態(tài)數(shù)目為 = （4-3）式中，M是能谷數(shù)，是倒空間單位體積中的狀態(tài)數(shù)，其余因子是能量橢球的體積。將（4-3）式對能量取微分，并除以晶體體積V，便得到在單位晶體體積中，能量在E到E+dE范圍內(nèi)的電子態(tài)數(shù) （4-4）式中，Nc(E)即為電子的狀態(tài)密度

4、，它表示單位體積晶體中，單位能量間隔內(nèi)的電子態(tài)數(shù)。若令 （4-5）則Nc(E)可表示為 （4-6）mdn稱導(dǎo)帶電子狀態(tài)密度有效質(zhì)量。（4-6）式與自由電子的狀態(tài)密度表示式類似，只是這里用電子狀態(tài)密度有效質(zhì)量mdn代替了電子的慣性質(zhì)量。 如果導(dǎo)帶極小值發(fā)生在布里淵中心（GaAs等一些直接帶隙半導(dǎo)體材料常常屬于這種情況），則導(dǎo)帶只能有一個能谷，M=1。對于立方晶系材料，根據(jù)能帶的對稱性，在處的能谷附近，等能面為球面。既有 （4-7）在式（4-2）中，只需令m1=m2=m3=m*和M=1，便可直接得到球形等能面的狀態(tài)密度 （4-8） 二價帶狀態(tài)密度NV(E) 一些主要的半導(dǎo)體材料，其價帶頂都位于布里

5、淵區(qū)中心?？紤]自旋-軌道耦合作用后，有兩個能帶（重空穴帶和輕空穴帶）在處相接觸，等能面是扭曲的，但可近似地用球面表示，即有 和 （4-9）式中，mh和ml分別是重空穴和輕空穴的有效質(zhì)量。若用NV（E）表示價帶頂附近的狀態(tài)密度，則其應(yīng)為兩個能帶所引起的狀態(tài)密度之和。利用與前面類似的推導(dǎo)方法，容易得到 + （4-10）若令，稱價帶空穴狀態(tài)密度有效質(zhì)量，則（4-10）可簡化為 （4-11）圖4-1畫出了狀態(tài)密度與能量的關(guān)系曲線。表4-1列出了在4K溫度下，Si和Ge的狀態(tài)密度有效質(zhì)量。 §4-2 費米分布函數(shù)和費米能級電子在能態(tài)中的分布是一個量子統(tǒng)計問題。從大量電子的整體來看，在熱平衡狀態(tài)

6、下，電子按能量的大小具有一定的統(tǒng)計分布規(guī)律性，或者說電子在不同能量的電子態(tài)上的統(tǒng)計分布幾率是一定的。根據(jù)量子統(tǒng)計理論，服從泡利不相容原理的電子遵循費米統(tǒng)計律，即能量為E的一個量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率為 （4-12）式中，稱電子的費米分布函數(shù)，K0是玻耳茲曼常數(shù)，T為絕對溫度。Ef稱費米能級，它與溫度、半導(dǎo)體材料的導(dǎo)電類型、雜質(zhì)含量以及能量零點的選取有關(guān)。Ef是一個很重要的物理參數(shù)，在一定的溫度下，只要確定了Ef，電子在各能態(tài)上的統(tǒng)計分布就完全確定了。一 費米分布函數(shù)的性質(zhì)1當(dāng)溫度T=0K時，若E<Ef，則f(E)=1，若E>Ef，則f(E)=0。即在T=0K時，能量比Ef小的量子態(tài)被

7、電子占據(jù)的幾率為100%，而能量比Ef大的能態(tài)則占據(jù)幾率為0。故在絕對溫度零度時，費米能級是量子態(tài)是否被電子占據(jù)的界限。2當(dāng)T0K時，若E<Ef，則f(E)>1/2，若E=Ef，則f(E)=1/2，若EEf，則f(E)1/2。即在T0時，能量比Ef小的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率50%，反之，則小于50%，而能量等于Ef時，則其被占據(jù)的幾率為50%。作為一個例子，看一下能量比費米能級高和低5K0T的情況。 當(dāng)E-Ef>5K0T時，f(E)<0.007；當(dāng)E-Ef<-5K0T時，f(E)>0.993。可見，大5K0T的能態(tài)，幾乎被空著，而小5K0T的能態(tài)，幾乎被占據(jù)

8、。一般可以認(rèn)為，在溫度不是很高時，能量大于費米能級的量子態(tài)基本上沒有電子占據(jù)，而小于費米能級的量子態(tài)基本上被占據(jù)，且電子占據(jù)Ef能級的幾率在任何溫度下總為1/2。所以費米能級的位置比較直觀地標(biāo)志了電子占據(jù)量子態(tài)的情況。費米能級的位置越高，說明有越多的高能量子態(tài)被電子占據(jù)。 二 玻耳茲曼分布函數(shù)在（4-12）式中，當(dāng)E-Ef>>K0T時，由于，從而有1+，此時，費米分布函數(shù)轉(zhuǎn)化為 ，令：A=，則 （4-13）（4-13）式即為玻耳茲曼統(tǒng)計分布函數(shù)。在的條件下，泡利原理失去作用，因而費米統(tǒng)計律與玻耳茲曼統(tǒng)計律一致。三空穴占據(jù)幾率f（E）表示能量為E的能態(tài)被電子占據(jù)的幾率，因而1-f（E

9、）就是E被空著的幾率，用在價帶上，就是E被空穴占據(jù)的幾率。從而有空穴的占據(jù)幾率 （4-14）當(dāng)時，上式分母中的1可略去，若設(shè)B=，則有 （4-15）上式稱空穴的玻耳茲曼分布函數(shù)。它表明，當(dāng)E遠(yuǎn)小于Ef時，空穴占據(jù)E的幾率很小。在半導(dǎo)體中最常見的情況是Ef位于禁帶中，而且與導(dǎo)帶底或價帶頂?shù)木嚯x遠(yuǎn)大于K0T。因此，導(dǎo)帶電子分布和價帶空穴分布一般情況下均可用玻耳茲曼分布函數(shù)描述。通常把電子和空穴分布服從玻耳茲曼統(tǒng)計律的半導(dǎo)體稱非簡并半導(dǎo)體，而把服從費米統(tǒng)計律的半導(dǎo)體稱簡并半導(dǎo)體。§4-3 導(dǎo)帶電子密度和價帶空穴密度一 導(dǎo)帶電子密度。利用導(dǎo)帶的狀態(tài)密度Nc（E）和電子的分布函數(shù)f（E）， 可

10、直接得到單位體積中能量在EE+dE范圍內(nèi)導(dǎo)帶的電子數(shù)n（E）dE為 （4-16）要計算導(dǎo)帶中的電子密度，只需對上式積分即可。由于f（E）隨能量增加迅速減小，因而可把積分范圍由導(dǎo)帶底Ec一直延伸到+，并不會引起明顯誤差。于是，導(dǎo)帶電子密度為 （4-17）在非簡并情況下，將（4-6）和（4-13）式代入（4-17）式，可得 （4-18）引入變量，則（4-18）式可改寫為 由于積分，從而有 （4-19）式中，稱導(dǎo)帶電子有效狀態(tài)密度。二 價帶空穴密度。計算價帶空穴密度的方法與導(dǎo)帶電子的完全類似。單位體積內(nèi)，能量在范圍內(nèi)的價帶空穴數(shù)為 （4-20）積分上式可得價帶空穴密度為 (4-21)在非簡并情況下，

11、將（4-11）式和（4-15）式代入（4-21）式，得 （4-22）式中，稱價帶空穴有效狀態(tài)密度。 在分析載流子統(tǒng)計分布問題時，有效狀態(tài)密度是一個很重要的量，由它可衡量能帶中量子態(tài)的電子填充情況。表4-2列出了三種主要半導(dǎo)體在300K時的Nc和Nv值。 表4-2 導(dǎo)帶和價帶有效狀態(tài)密度（300K）SiGeGaAsNc(cm-3)2.8010191.0410194.701017Nv(cm-3)1.0410196.0010187.001018三載流子密度積np。在一定溫度下，同一種半導(dǎo)體材料由于雜質(zhì)含量和種類不同，費米能級的位置也是不同的。因此，電子和空穴的密度可以有很大的差別。但是，如果將（4-

12、19）和（4-22）式相乘，則有 （4-23）式中，Eg=Ec-Ev為半導(dǎo)體的禁帶寬度。上式表明，載流子密度之積與費米能級無關(guān)，只依賴于溫度和材料本身的性質(zhì)。（4-23）式是一個常用的重要公式。§4-4 本征半導(dǎo)體一本征半導(dǎo)體及其電中性條件。所謂本征半導(dǎo)體就是完全沒有雜質(zhì)與缺陷的半導(dǎo)體。本征半導(dǎo)體的能級分布特別簡單，只有導(dǎo)帶與價帶，沒有雜質(zhì)能級。在完全未激發(fā)（0K）時，價帶被電子充滿，導(dǎo)帶則完全空著。當(dāng)溫度升高時，電子可以從價帶激發(fā)到導(dǎo)帶，這種激發(fā)稱本征激發(fā)。顯然，此時每激發(fā)一個電子到導(dǎo)帶，必然在價帶中留下一個空穴。因此，導(dǎo)帶電子密度等于價帶空穴密度，即 n=p (4-24)上式稱本

13、征半導(dǎo)體的電中性條件。二本征費米能級。將（4-19）和（4-22）式代入（4-24）式，得 =將上式兩邊取對數(shù)，并令Ef=Ei，則可得到本征半導(dǎo)體的費米能級 （4-25）如果Nc=Nv，則Ei恰好在禁帶中心。對大多數(shù)半導(dǎo)體材料，約為1，Ei在禁帶中心上下約為1K0T的范圍之內(nèi)。三本征載流子密度。將本征半導(dǎo)體的電中性條件（4-24）式代入（4-23）式，并用ni和pi表示本征載流子密度，則有 pi= （4-26）上式表明本征載流子密度只與半導(dǎo)體材料本身的能帶結(jié)構(gòu)和溫度有關(guān)。溫度一定時，禁帶寬度越窄，本征載流子密度越高。表4-3列出了三種主要半導(dǎo)體室溫下的禁帶寬度和本征載流子密度。表4-3 SiG

14、e和GaAs室溫禁帶寬度和本征載流子密度SiGeGaAsni(cm-3)1.510102.310131.1107Eg(eV)1.120.671.42比較（4-23）和（4-26）兩式，可得到一個重要關(guān)系式 (4-27)上式表明對任意半導(dǎo)體，熱平衡情況下，若已知ni和一種載流子密度，就可方便的求出另一種載流子密度。利用（4-25）和（4-26）式，可將（4-19）和（4-22）的載流子密度公式改寫為 （4-28）和 （4-29）§4-5 雜質(zhì)半導(dǎo)體 實際應(yīng)用的半導(dǎo)體，大都具有一定的雜質(zhì)或缺陷并且需要摻入一定量的雜質(zhì)。因此，了解這種半導(dǎo)體中載流子的統(tǒng)計分布規(guī)律是非常重要的。本節(jié)就討論這個

15、問題。§4-5-1 雜質(zhì)能級的占據(jù)幾率一雜質(zhì)能級與能帶能級的區(qū)別。能帶中的電子是作共有化運動的電子，與之對應(yīng)的每個能級，存在自旋相反的兩個量子態(tài)。由于電子之間的作用很弱，電子占據(jù)這兩個態(tài)是相互獨立的，在狀態(tài)中的分布服從費米分布。雜質(zhì)上的電子狀態(tài)與能帶中的不同，它們是束縛在雜質(zhì)周圍的局域化量子態(tài)。當(dāng)其未被電子占據(jù)時，由于電子自旋方向的不同可以有兩種占據(jù)狀態(tài)。但是，一旦有一個電子以某種自旋方式占據(jù)了該能態(tài)，就不再允許第二個電子占據(jù)另一種自旋態(tài)。因為此時，庫侖力將把另一個自旋態(tài)提高到很高的能量，從而費米分布律就不再適合描述電子占據(jù)雜質(zhì)能級的情況。二電子占據(jù)雜質(zhì)能級的幾率。對于簡單的雜質(zhì)（如

16、類氫雜質(zhì)），利用計算化學(xué)勢的方法可求出電子占據(jù)雜質(zhì)能級的幾率。1 施主能級Ed被電子占據(jù)的幾率fd為 （4-30）式中，gd為施主能級的自旋簡并度，通常為2。2 受主能級Ea被空著的幾率1-fa為 （4-31）式中，ga為受主能級的自旋簡并度，通常為4，這是因為一些重要半導(dǎo)體（如Si，Ge等）的價帶在k=0處是簡并的。由（4-31）式容易得出受主能級Ea被電子占據(jù)的幾率為 （4-32）三雜質(zhì)能級上的電子密度與空狀態(tài)密度。通常情況下可認(rèn)為施主密度Nd和受主密度Na就是雜質(zhì)能級上的量子態(tài)密度。所以由（4-30）和（4-31）式可寫出以下幾個公式1） 施主能級上的電子密度nd為 （4-33）施主上有

17、電子占據(jù)時是電中性的，所以nd就是中性施主密度，而電離施主密度則為 （4-34）2） 受主能級上的空狀態(tài)密度pa為 （4-35）受主能級上未接受電子時是電中性的，所以pa就是中性受主密度，而電離受主密度則為 （4-36） §4-5-2 只含一種雜質(zhì)的半導(dǎo)體一 n型半導(dǎo)體只含一種施主雜質(zhì)的n型半導(dǎo)體，其能級分布如圖4-2所示。在這種半導(dǎo)體中，除了電子由價帶躍遷到導(dǎo)帶的本征激發(fā)外，還存在施主能級上的電子向?qū)У募ぐl(fā)，即雜質(zhì)電離。本征激發(fā)和雜質(zhì)電離的激活能分別為禁帶寬度Eg和雜質(zhì)電離能EI，二者的數(shù)值一般相差兩個數(shù)量級。因此，雜質(zhì)電離和本征激發(fā)是發(fā)生在不同的溫度范圍的。低溫下，以雜質(zhì)電離為

18、主，只有在足夠高的溫度下，本征激發(fā)才成為載流子的主要來源。1 雜質(zhì)電離。對于只含一種施主雜質(zhì)的n型半導(dǎo)體，在溫度不太高的情況下，半導(dǎo)體處在雜質(zhì)電離范圍內(nèi)，導(dǎo)帶電子主要來自電離的施主，電中性條件為 （4-37）從而有 （4-38）由式（4-19）有 （4-39）將（4-39）代入（4-38）式，可得導(dǎo)帶電子密度方程： （4-40）這是一個關(guān)于n的二次方程，求解后可得 （4-41）或改寫為 （4-42）將（4-42）代入（4-39）式并把等式兩端取對數(shù)則得 （4-43）（4-42）和（4-43）式為一種施主雜質(zhì)情況下n型半導(dǎo)體的導(dǎo)帶電子密度和費米能級與半導(dǎo)體自身特性及溫度的關(guān)系。下面討論兩種極端情

19、況。 1) 弱電離區(qū)。在溫度很低情況下，滿足條件 （4-44）（4-43）式可簡化為 （4-45）由上式可知，當(dāng)T=0時，Ef位于導(dǎo)帶底與施主能級的中間，在足夠低的溫區(qū)，當(dāng)gdNc<Nd時，隨溫度的增加，Ef起初逐漸上升，并達(dá)到一個最大值，然后開始下降。當(dāng)gdNc=Nd時，Ef又重新下降到T=0時的值，即位于導(dǎo)帶底與施主能級的中間。溫度繼續(xù)上升，在gdNcNd的區(qū)間里，Ef繼續(xù)下降。此時，將（4-45）代入（4-19）式，則得雜質(zhì)弱電離區(qū)的導(dǎo)帶電子密度 （4-46）在弱電離區(qū)，利用實驗上測得的n(T)，作半對數(shù)圖，則由其直線斜率可確定施主電離能EI。2）飽和電離區(qū)。溫度繼續(xù)升高，當(dāng)滿足條

20、件時，（4-45）式可簡化為 （4-47）在通常的摻雜密度下，從而此時隨溫度升高，Ef與導(dǎo)帶底的距離增大。這時將（4-47）代入（4-19）式則得 （4-48）上式表明，此時施主雜質(zhì)已全部電離。故稱這種情況為飽和電離區(qū)。此時價帶空穴密度為 （4-49）在飽和電離情況下，電子密度與施主雜質(zhì)密度相等，遠(yuǎn)大于本征載流子密度，而空穴密度則遠(yuǎn)小于本征載流子密度。在雜質(zhì)飽和電離范圍內(nèi)，兩種載流子密度相差非常懸殊，多的稱多數(shù)載流子（多子），少的稱少數(shù)載流子（少子）。少子數(shù)量雖少，但在半導(dǎo)體器件中卻起著極其重要的作用。2本征激發(fā)。在溫度超過了飽和電離范圍后，導(dǎo)帶中的電子，除了一部分來自全部電離的施主外，還有一

21、部分來自電子由價帶到導(dǎo)帶的本征激發(fā)。此時電中性條件為 （4-50）將載流子密度公式（4-28）和（4-29）式代入上式，可得 （4-51）由上式可求出費米能級 （4-52）將（4-50）和（4-27）式聯(lián)立，通過解二次代數(shù)方程得到 （4-53） （4-54）在足夠高的溫度下，本征激發(fā)產(chǎn)生的載流子數(shù)可遠(yuǎn)大于雜質(zhì)電離產(chǎn)生的載流子數(shù)，即有niNd和p>>Nd。此時電中性條件成為n=p，與未摻雜的本征半導(dǎo)體類似。這時稱雜質(zhì)半導(dǎo)體進(jìn)入本征激發(fā)區(qū)。圖4-3為n型半導(dǎo)體的電子密度隨溫度變化示意圖 二 P型半導(dǎo)體1雜質(zhì)弱電離。對于只含一種受主雜質(zhì)的p型半導(dǎo)體，在雜質(zhì)電離的溫度范圍，價帶空穴來自電離

22、的受主，電中性條件為 （4-55）將（4-22）和（4-36）式代入上式得 = （4-56）在低溫弱電離情況下，電離的受主密度遠(yuǎn)小于受主密度，從而有 )>>1 (4-57)故（4-56）式等號右邊分母項中的1可略去，于是有 = （4-58）將上式兩端取對數(shù)，則得費米能級為 （4-59）將（4-59）式代入（4-22）式則得空穴密度 （4-60）2雜質(zhì)飽和電離。隨著溫度升高，電離的受主增多，當(dāng)溫度升高到受主基本上全部電離而由本征激發(fā)在價帶中產(chǎn)生的空穴還很少時，價帶空穴密度可認(rèn)為等于受主密度，即 p=Na （4-61）從而有 n= (4-62)此時由（4-61）和（4-22）式可解出

23、（4-63）3本征激發(fā)。采用與處理只含一種施主的n型半導(dǎo)體同樣的方法，可得 （4-64） （4-65） （4-66）三費米能級和溫度及雜質(zhì)密度的關(guān)系由以上討論可得出在整個溫度范圍內(nèi)，費米能級隨溫度的變化規(guī)律。圖4-4給出了雜質(zhì)密度一定時，Ef隨溫度的變化示意圖。表4-4中列出了室溫下SiGeGaAs的費米能級隨雜質(zhì)密度的變化。 Ef(n型) Ef(p型) 圖4-4 費米能級隨溫度的變化表4-4 室溫下SiGeGaAs的費米能級隨雜質(zhì)密度的變化Nd或Na(cm-3)(Ef-Ei)或（Ei-Ef）(eV)SiGeGaAs01014101510161017101800.240.300.360.420

24、.4800.040.100.160.220.2800.360.420.480.590.60Eg/2 (eV)0.560.340.72 四飽和電離區(qū)的范圍雜質(zhì)飽和電離區(qū)是雜質(zhì)已基本上全部電離，而本征激發(fā)又可以忽略的一個范圍。下面以n型半導(dǎo)體為例給予討論。1雜質(zhì)基本上全部電離的條件。施主雜質(zhì)基本上全部電離意味著中性施主密度遠(yuǎn)小于施主密度。即有，nd<<Nd，此時（4-33）式簡化為 （4-67）將（4-48）式代入上式則有 （4-68）式中，EI為施主的電離能，如果取施主基本上電離的標(biāo)準(zhǔn)是(Nd-nd)/Nd=9/10，則（4-68）式可寫為 （4-69）該式即為施主基本電離的判據(jù)。因

25、此若已知某溫度下的EI值，就可確定基本上電離的施主密度；同樣對于給定的Nd和EI，也可確定施主基本上電離的溫度下限。2 本征激發(fā)可忽略的條件 Nd>>ni (4-70)一般選取本征載流子密度等于施主密度的1/10為本征激發(fā)可以忽略的標(biāo)準(zhǔn)，即 ni=Nd/10 (4-71)不同溫度下的ni值可由（4-26）式計算。對于給定的施主密度，利用（4-71）式可求出可以忽略本征激發(fā)的溫度上限。在一定溫度下，由（4-71）式還可求出可以忽略本征激發(fā)的施主密度的下限。§4-5-3 存在雜質(zhì)補(bǔ)償?shù)陌雽?dǎo)體 以上討論了只含一種雜質(zhì)的半導(dǎo)體，但是一些半導(dǎo)體常常同時含有施主和受主兩種雜質(zhì)。本小節(jié)

26、就討論這種情況下的載流子統(tǒng)計分布。一 電中性條件半導(dǎo)體中空間電荷密度由導(dǎo)帶電子價帶空穴電離施主和電離受主密度決定。若半導(dǎo)體中雜質(zhì)是均勻分布的，電中性條件要求空間電荷必須處處為零。從而有 （4-72）（4-72）式就是同時含有兩種雜質(zhì)的電中性條件。將ndpan 和 p的表示式（4-33）（4-35）（4-19）和(4-22)代入（4-72）式，便可得到確定Ef的方程。由于（4-72）式比較復(fù)雜，在一般情況下需用圖解法或計算機(jī)求解。但在實際問題中常常有些項可忽略，使得方程得以簡化。存在雜質(zhì)補(bǔ)償?shù)陌雽?dǎo)體即使在極低的溫度下，密度小的雜質(zhì)也會全部電離。這種特性使得（4-72）式中的nd或pa項為零。在N

27、d>Na的半導(dǎo)體中，全部受主都是電離的，（4-72）式簡化為 （4-73）此時半導(dǎo)體呈n型，并稱Nd-Na為有效施主。同樣若Na>Nd，全部施主都是電離的，（4-72）式簡化為 （4-74）此時的半導(dǎo)體呈p型，Na-Nd稱有效受主。在Na=Nd時，全部施主上的電子剛好使所有受主電離，能帶中的載流子只能由本征激發(fā)產(chǎn)生，這種半導(dǎo)體稱完全補(bǔ)償半導(dǎo)體。二 n型補(bǔ)償半導(dǎo)體（Nd>Na）1雜質(zhì)電離。由于此時本征激發(fā)可忽略，（4-73）式簡化為 （4-75）將（4-34）式代入上式得 （4-76）或改寫為 （4-77）在非簡并情況下，將（4-39）式代入上式，則得電子密度方程 （4-78）

28、*討論：1） 低溫弱電離情況，假定Nd>>Na。l 在Na<<n<<Nd的溫度范圍內(nèi)，（4-78）式簡化為 （4-79）這恰好就是上小節(jié)中得到的（4-46）式。由于Na<<n，Na可忽略。所以電中性條件與只含一種施主雜質(zhì)情況相同 。此時，費米能級為 l 在更低的溫度下，n<<Na，此時（4-78）式簡化為 （4-80）這個結(jié)果與只含一種施主雜質(zhì)的（4-46）式類似，但指數(shù)因子上的能量是施主電離能，而不是其一半。因此在利用實驗測得的關(guān)系曲線確定施主電離能時，應(yīng)注意區(qū)分是否有少量受主雜質(zhì)存在。 將（4-80）式代入（4-19）式中，得到費

29、米能級表達(dá)式為 （4-81）此時當(dāng)溫度趨于0K時，Ef與Ed重合。在極低溫度范圍內(nèi)，隨溫度升高，費米能級線性上升。2）雜質(zhì)飽和電離情況。在這種情況下，施主全部電離，所提供的Nd個電子除了填充Na個受主外，全部激發(fā)到導(dǎo)帶，而本征激發(fā)此時又可忽略，因此有 n=Nd-Na （4-82）和 p= （4-83）利用（4-82）和（4-19）式，可求出費米能級 （4-84）由（4-83）和（4-84）式可見，有補(bǔ)償?shù)膎型半導(dǎo)體的載流子密度和費米能級公式與只含一種施主雜質(zhì)的n型半導(dǎo)體相應(yīng)的公式具有相同的形式，只是用有效施主密度取代了施主密度。2本征激發(fā)。根據(jù)以上分析，為了得到本征激發(fā)溫區(qū)內(nèi)的載流子密度和費米能級公式，只需在只含一種施主雜質(zhì)的各公式中用有效施主密度Nd-Na替代施主密度Nd即可。三 P型補(bǔ)償半導(dǎo)體（Na>Nd）分析方法與上面完全相同，