熱帶氣旋的運動規(guī)律研究——數(shù)學建模

1、熱帶氣旋的運動規(guī)律研究摘要近年來，隨著熱帶氣旋對我國東南沿海地區(qū)的影響日益增大，由熱帶氣旋造成的自然災害對我國沿海地區(qū)造成的巨大的經(jīng)濟損失甚至人員傷亡也逐年增加，對熱帶氣旋運動規(guī)律的了解以及對其發(fā)展方向的正確預測越來越受到大家的關注以及重視。本文圍繞西太平洋海域的熱帶氣旋進行了討論，對熱帶氣旋各指標之間的關系、熱帶氣旋發(fā)源地的分布規(guī)律及其運動特征、季節(jié)變化對氣旋強度的影響、熱帶氣旋最佳路徑的預測等問題分別建立了模型，并對求解結果進行了詳細的分析。針對問題一，由附錄給出的數(shù)據(jù)說明可知熱帶氣旋的強度是根據(jù)風速進行劃分的，所以包含的隱性條件即是強度與風速的關系可以不用求解。于是我們采用線性回歸的方式

2、分別對強度與氣壓以及風速與氣壓進行建模計算，得出兩組數(shù)值確實存在線性回歸的關系，并得出了兩兩之間的函數(shù)關系式。針對問題二，為了求得熱帶氣旋的發(fā)源地分布情況，先通過c+程序篩選出所有發(fā)源地的熱帶季風的數(shù)據(jù)。首先利用spass軟件繪制出發(fā)源地的經(jīng)緯度散點圖，接著利用地統(tǒng)計學中kriging插值法，對海域上未采樣點的熱帶氣旋的出現(xiàn)概率、氣壓以及風速進行插值，繪制出熱帶氣旋發(fā)源地的空間分布圖，結果顯示發(fā)源地的分布規(guī)律與氣象局發(fā)布的熱帶氣旋主要發(fā)源地分布相符。針對問題三，為了研究季節(jié)變化對熱帶氣旋強度的影響，首先根據(jù)國家氣象局的規(guī)定按月份劃分出春夏秋冬并篩選出不同季節(jié)的熱帶氣旋的強度數(shù)據(jù)，然后采用單因素

3、方差分析的方法，比較春夏秋冬四組的組內差異和組間差異。根據(jù)結果顯示，季節(jié)變化對熱帶季風強度變化的影響是顯著的。其次考慮到1949年到2011年時間跨度較長，為了檢驗時間變化是否會對測試結果產(chǎn)生影響，我們又分別對春夏秋冬四組數(shù)據(jù)分別進行單樣本t檢驗，從而優(yōu)化季節(jié)變化對熱帶氣旋強度影響的討論。根據(jù)結果顯示，春季，夏季，秋季，冬季各個組間差異不顯著，所以，單因素方差分析方法找出的季節(jié)間影響關系成立。關鍵詞：線性回歸分析 krging插值法 單樣本t檢驗 單因素方差分析一、問題重述熱帶氣旋(Tropical Cyclone)是發(fā)生在熱帶或副熱帶洋面上的低壓渦旋，是一種強大而深厚的熱帶天氣系統(tǒng)。熱帶氣旋

4、通常在熱帶地區(qū)離赤道平均3-5個緯度外的海面(如西北太平洋，北大西洋，印度洋)上形成，其移動主要受到科氏力及其它大尺度天氣系統(tǒng)所影響，最終在海上消散、或者變性為溫帶氣旋，或在登陸陸地后消散。登陸陸地的熱帶氣旋會帶來嚴重的財產(chǎn)和人員傷亡，是自然災害的一種。我國的東南沿海地區(qū)也常年遭受熱帶氣旋的影響，當?shù)鼐用竦纳a(chǎn)生活也遭受了嚴重的影響，因此掌握熱帶氣旋的運動規(guī)律對我們進一步監(jiān)控熱帶氣旋，做好相關防范措施等都有積極的作用。附件提供了自1949年至2011年西北太平洋(含南海, 赤道以北, 東經(jīng)180°以西) 海域熱帶氣旋每6小時的位置和強度, 按年份分別放在單獨的文本文件中。請利用這些數(shù)

5、據(jù)建立數(shù)學模型，回答以下問題：（1）探討熱帶氣旋強度、氣壓與風速之間的關系；（2）給出熱帶氣旋發(fā)源地的空間分布，并評價不同發(fā)源地產(chǎn)生的熱帶氣旋的運動特征；（3）研究季節(jié)變化對熱帶氣旋強度的影響；（4）提出一種能預測熱帶氣旋最佳路徑的方法，并驗證其有效性。二、問題分析隨著極端天氣對人類日常生活的影響越來越大，對各種極端天氣的科學研究正越來越得到人們的重視。西北太平洋上的熱帶氣旋對我國一直有著較大的影響，對該片海域上的氣旋的研究也成為我國氣象科學中不可缺少的一部分。熱帶氣旋是發(fā)生在熱帶或副熱帶洋面上的低壓渦旋，是一種強大而深厚的熱帶天氣系統(tǒng)，登陸陸地的熱帶氣旋會帶來嚴重的財產(chǎn)和人員傷亡，是自然災害

6、的一種。本文旨在對建國以來出現(xiàn)在我國東南海域的熱帶氣旋的指數(shù)及運動規(guī)律進行研究，主要包含了四個相關性問題。這四個問題分別為熱帶氣旋指數(shù)之間的關系問題、發(fā)源地分布規(guī)律及運動特征問題、季節(jié)變化對熱帶氣旋強度影響問題和對熱帶氣旋最佳路徑的預測問題。2.1 問題一：探討熱帶氣旋強度、氣壓與風速之間的關系問題一要求探討出熱帶氣旋多個指標之間的內在關系。能夠猜測，熱帶氣旋的指標之間應該存在一定的可以量化的函數(shù)關系，為了達到這樣一個目的，本文考慮采取線性回歸的方式進行研究。但應當注意到，在附錄所給的數(shù)據(jù)解釋中，熱帶氣旋的強度是根據(jù)熱帶氣旋的風速進行分級的，即本題的隱藏條件便是熱帶氣旋的強度與風速之間的關系是

7、不需要進行討論的，所以本文著重討論的是熱帶氣旋強度與氣壓以及氣壓與風速之間的關系。對于數(shù)據(jù)的選取問題，附件所給的數(shù)據(jù)表中給出了兩種風速，即近中心最大風速和平均風速，通過對附件所給的數(shù)據(jù)的初步瀏覽可知，只有近中心最大風速測量得比較全面，平均風速缺測比較嚴重，所以采用的是近中心最大風速；對于強度數(shù)據(jù)，由于我們要預測以及預防的是熱帶氣旋是否有可能演變?yōu)榕_風進而對沿海地區(qū)造成影響，而對一個氣旋危害程度研究最需要的即是其最大強度，一旦最大強度超過了5，即達到了臺風的強度，我們就有必要對其進行預防以及檢測，這也是我們氣象工作的核心目的所在，所以本文采用的是每一個熱帶氣旋的最大強度進行研究。要想探討兩個因素

8、直接的關系，本文采用了線性回歸的研究方式，通過spss中的線性回歸方程工具對附件所給的數(shù)據(jù)進行分析，從而得到本問題所需要的結果。2.2 問題二：熱帶氣旋的發(fā)源地分布問題二要求確定熱帶氣旋發(fā)源地的分布，傳統(tǒng)統(tǒng)計學方法不考慮測定參數(shù)和測定位置之間的關系，只根據(jù)空間不同位置的測定數(shù)據(jù)，無法估計未測定區(qū)域所考察的熱帶氣旋的相關特性的空間分布。所以本文考慮采用地統(tǒng)計學方法。Kringing插值法是地統(tǒng)計學中一種重要的數(shù)據(jù)處理方法。本文通過Kriging空間插值法，對未采樣的地區(qū)進行模擬，利用MATLAB工具繪制出土壤重金屬的空間分布規(guī)律圖，得出不同區(qū)域出現(xiàn)熱帶季風概率的分布圖，并分析了其空間分布特征及其

9、變異規(guī)律。2.3 問題三：研究季節(jié)變化對熱帶氣旋的影響首先，我們按照國家氣象局的規(guī)定，按月份劃分成春夏秋冬。春季：3月5月，夏季：6月8月，秋季：9月11月，冬季：12月2月。對春夏秋冬四組數(shù)據(jù)進行單因素方差分析，比較春夏秋冬四組的組內差異和組間差異。從而比較出季節(jié)變化對熱帶氣旋強度的影響。其次，我們考慮到附件數(shù)據(jù)是從1949年2011年的，時間跨度較長，氣候變化對熱帶氣旋也會產(chǎn)生影響，所以，我們采用單樣本t檢驗的方法，檢驗春夏秋冬組內是否有顯著性差異，從而優(yōu)化季節(jié)變化對熱帶氣旋強度影響的討論。三、條件假設與符號說明3.1 條件假設1、 不考慮外部其他因素對熱帶氣旋各指標的相互關系的影響；2、

10、 假設只有季節(jié)變化會對熱帶氣旋的強度產(chǎn)生影響；3、 假設附件所給的統(tǒng)計數(shù)據(jù)能夠反映西北太平洋海域熱帶氣旋的產(chǎn)生及運動狀況。3.2 符號說明符號 解釋與說明r(h) 變異函數(shù) C0 塊金效應 C1 基臺值減去C0的值 Ck 第個k個點的擴散函數(shù)四、模型準備4.1 數(shù)據(jù)的篩選首先對數(shù)據(jù)進行預處理，由附件可知，當WND=0時，表示數(shù)據(jù)缺測。用spss刪除WND=0的相關數(shù)據(jù)。模型假設中，風速取兩分鐘平均近中心最大風速而不取兩分鐘的平均風速，是因為對建筑物或者是船只產(chǎn)生影響時，要考慮在最大風速下產(chǎn)生的最壞的結果，而不能用平均風速來衡量。篩選條件見附件對篩選完成的數(shù)據(jù)進行線性回歸分析4.2 熱帶季風發(fā)源

11、地分布概率及各項指標檢驗4.2.1起源地空間圖利用C+C程序提取1949到2011年每一種熱帶氣旋的發(fā)源地的數(shù)據(jù)再對所得數(shù)據(jù)進行坐標投影變換，用MATLAB軟件分別繪制出散點分布圖,如圖所示： 空間分布散點圖結合PS把散點圖和地圖進行處理得到熱帶氣旋發(fā)源地的經(jīng)緯度在地圖上空間分布的。 有地圖的空間分布散點圖 臺風源地分布在西北太平洋廣闊的洋低緯洋面上。西北太平洋熱帶擾動加強發(fā)展為臺風的初始位置，在經(jīng)度和緯度方面都存在著相對集中的地帶。在東西方向上，熱帶擾動發(fā)展成臺風相對集中在4個海區(qū)：南海中北部的海面、菲律賓群島以東和琉球群島附近海面、 馬里亞納群島附近海面、馬紹爾群島附近海面。所以我們按照經(jīng)

12、度的分布給熱帶氣旋的發(fā)源地進行劃分。所以100°E119°E、126°E140°E、144°E146°E、150°E180°E。 4.2.2熱帶氣旋各元素概率分布檢驗 Kriging空間插值法是以變異函數(shù)為基礎的，其參數(shù)設置和變異函數(shù)模型的選擇對內插值效果影響很大3。變異函數(shù)的計算一般要求數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布，否則可能存在比例效應，比例效應的存在會使實驗變異函數(shù)產(chǎn)生畸變，抬高基臺值和塊金值，增大估計誤差，變異函數(shù)點的波動大，甚至會掩蓋其固有的結構，消除比例效應主要是通過原始數(shù)據(jù)取對數(shù)來消除，所以本文先對5個影響因素進行

13、分布檢驗。 檢驗數(shù)據(jù)的正態(tài)分布性有多種方法：頻率分布直方圖法、2法檢驗法、Q-Q圖、P-P圖、Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗法等。本文利用SPSSl9.0統(tǒng)計軟件中的P-P圖對數(shù)據(jù)集5個影響因素進行了正態(tài)分布檢驗，若樣點在正態(tài)分布P-P圖上呈直線散布，則被檢驗數(shù)據(jù)基本上成一條直線。由上圖可見，對5中因素進行正態(tài)分布檢驗后，5中因素的正態(tài)分布P-P圖大致是一條直線，所以其均服從正態(tài)分布五、模型的建立與求解5.1 問題一：探討熱帶氣旋強度、氣壓與風速之間的關系回歸分析方法，是研究要素之間具體的數(shù)量關系的一種強有力的工具，能夠建立反映地理要素之間具體的數(shù)量關系的數(shù)學模型，即回歸模

14、型。本小結利用線性回歸的分析方法，對熱帶氣旋的強度與氣壓以及風速與氣壓之間的關系進行探究，從而得出待求的兩組數(shù)據(jù)之間的相互關系。1、模型的建立回歸分析方法，是研究要素之間具體的數(shù)量關系的一種強有力的工具，能夠建立反映地理要素之間具體的數(shù)量關系的數(shù)學模型，即回歸模型。一元線性回歸模型的基本結構形式：假設有兩個地理要素（變量）x和y，x為自變量，y為因變量。則一元線性回歸模型的基本結構形式：a和b為待定參數(shù)；=1,2,n為各組觀測數(shù)據(jù)的下標； a為隨機變量。如果記a和b 分別為參數(shù)a與b的擬合值，則得到一元線性回歸模型。2、模型的求解 本小節(jié)利用spass軟件對上述兩組數(shù)據(jù)進行線性回歸分析，結果如

15、下：系數(shù)a模型非標準化系數(shù)標準系數(shù)tSig.B標準 誤差試用版1(常量)63.993.315203.399.000中心最低氣壓-.062.000-.629-194.466.000a. 因變量: 強度強度：y，中心氣壓：xY=-0.062x + 63.993由強度的標準化殘差直方圖可以看出，殘差大致符合正態(tài)分布。系數(shù)a模型非標準化系數(shù)標準系數(shù)tSig.B標準 誤差試用版1(常量)632.86853.93411.734.000中心最低氣壓-.615.055-.047-11.233.000a. 因變量: 風速風速：y，中心氣壓：x Y=-0.615x + 632.868 由上述結果可以看出，所選取的

16、兩組數(shù)據(jù)確實存在相應的函數(shù)關系。5.2 問題二：熱帶氣旋的發(fā)源地分布熱帶季風的發(fā)源地具有空間分布的特點，有效地對熱帶季風發(fā)源地出現(xiàn)概率進行統(tǒng)計能幫助我們更科學地預測以及預防熱帶季風所造成的災害。熱帶季風發(fā)源地的空間變異性研究是對西北大西洋海域熱帶季風的變化特征、趨勢走向及不同方向差異性等空間結構特征的探討?？臻g插值方法是分析熱帶季風發(fā)源地的空間分布特征及其變異規(guī)律的有效工具。因此，本文先對熱帶季風發(fā)源地的空間變異性進行討論。1 模型的建立 利用Kriging插值法進行空間插值 時，均要求變量具 有符合本征假設的 規(guī)定。所謂本征假設課表示為以下公式：（1） 假設 x 表示采樣點的位置坐標。同一重

17、金屬元素濃度均值存在并且不取決于x，任意距離為 h 的兩點間的差值的數(shù)學期望為0： EZ(x)= m，對于任意x；EZ(x)- Z(x+h)=0 (1)(2 ) 式中，E表示數(shù)學期望；Z(x)和Z(x+ h)表示空間區(qū)域內距離為h的兩個位置的觀測值。（2） 對于任何距離 h ，變量 Z ( x) - Z ( x + h) 具有有限方差，此方差不取決于 x ，即對于任何 x 和 h ，下式成立： VarZ ( x + h) - Z ( x)=EZ ( x + h ) - Z ( x) - EZ ( x + h) - Z ( x) =E Z x+h-Z ( x)2=2g (h)式中，g (h) 稱

18、為變異函數(shù)或半方差函數(shù)，變異函數(shù)可用于表征隨機變量的空間變異結構，或空間連續(xù)性。 Kriging 插值法的一般公式為： Z（x0）*=i=1niZ(xi) (3)式中，Z(xi)為位于區(qū)域內xi位置的觀測值（i=1,2,，n；n為樣本總數(shù)）；x0為某個未采樣點；Zx0* 表示采樣點的觀測值，即插值；i 為權，且滿足下式： i=1ni=1 (4)選取 li ，使Z*(x0)的估計無偏差，并使其方差 s 小于任意觀測值其他任意線性組合的方差。由于 li 值的在普通Kriging插值中是通過樣本半方差求得的故選擇一個較好的變異函數(shù)模型來擬合樣本的變異性對于Kriging插值的效果影響較大。常用的變異

19、函數(shù)模型有球形模型、指數(shù)模型，表達式如下：球狀模型 h=c0+c11.5ha-0.5ha3,0<h<ah=c0+c1, h>ah=0,h>0 (5)指數(shù)模型 h=0,h=0h=c0+c11-e-ha,h>0 (6) 其中h為分離距離，C0為塊金值，C1為部分基臺值，C0+C1為基臺值，a為變差距離，即曲線到達基臺值時所對應的分離距離。對于指數(shù)模型和高斯模型而言。變差距離，即曲線到達基臺值時所對應的分離距離。對于指數(shù)模型和高斯模型而言變差距離即為變異函數(shù)曲線達到95時的分離距離。一般認為塊金值代表隨機變異的量基臺值代表變量空間變異的結構性方差而塊金系數(shù)是塊金值與基臺

20、值的比值，用于反映變量的空間自相關程度。 2 模型求解 由前面分析可知，熱帶氣旋的5個元素均成對數(shù)正態(tài)分布狀態(tài)，適合于Kriging 法插值。變異函數(shù)模型的選取要比較兩個變異函數(shù)模型的優(yōu)劣，采用如下的一些統(tǒng)計指標。 1） 計算殘差 殘差值可用于定量估計源數(shù)據(jù)的 z 值與 Kriging 插值后的值之間的一致性。根據(jù)殘差結果可以計算平均殘差值和標準殘差等。 Zns=Zdat-Zgrd (7)式中，Zns為殘差值，Zdat為源數(shù)據(jù)的Z值，Zgrd為Kriging插值后的Z值。2） 均方根預測誤差 RMSPE 21nik=1nZi*xk-Zixk2=RMSPE （8）3） 相對均方差RMSE 1s2

21、nik=1niZi*xk-Zi(xk)2=RMSE (9)在計算RMSPE 和 RMSE 時，需要從采樣點中隨機預留出一定數(shù)量的點作為檢測點，而采用其他的采樣點作為插值的源數(shù)據(jù)，通過 Kriging 插值計算各監(jiān)測點的估計值，式（8）（9）中，Zi ( xk ) 和 Zi (xk ) 分別表示檢測點的Z觀測值和Z估計值。 對球狀模型和指數(shù)模型用MATLAB軟件的Kriging插值工具箱進行Kriging 插值，并對結果進行統(tǒng)計 ,這里使用 RMSPE 作為變異函數(shù)模型效果判別空間分布與氣壓的三維曲面圖 空間分布與風速的三維曲圖熱帶氣旋發(fā)源地空間頻率分布圖通過以上3圖可以看出西北太平洋熱帶氣旋發(fā)

22、源地分布規(guī)律，中國臺風網(wǎng)公布的主要發(fā)源地區(qū)域相符合，可以作為分析熱帶氣旋發(fā)源地分布以及移動規(guī)律的數(shù)據(jù)基礎。5.3 問題三：研究季節(jié)變化對熱帶氣旋的影響要求研究季節(jié)變化對熱帶氣旋強度的影響。首先，我們按照國家氣象局的規(guī)定，按月份劃分成春夏秋冬。春季：3月5月，夏季：6月8月，秋季：9月11月，冬季：12月2月。我們采用單因素方差分析的方法，比較春夏秋冬四組的組間差異。從而比較出季節(jié)變化對熱帶氣旋強度的影響。5.3.1 模型一：單因素方差分析單因素方差分析,用于完全隨機設計的多個樣本均數(shù)間的比較，其統(tǒng)計推斷是推斷各樣本所代表的各總體均數(shù)是否相等。1. 模型的建立完全隨機設計的單因素方差分析是把總變

23、異的離均差平方和SS及自由度分別分解為組間和組內兩部分，其計算公式如下。SS組間=離均平方和/組間自由度SS組內=離均平方和/組內自由度SS總=SS組間+SS組內單因素方差分析：核心就是計算組間和組內離均差平方和。兩組或兩組以上數(shù)據(jù)，大組全部在一組就是組內，以每一組計算一均數(shù)，再進行離均平方和的計算：SS組間=組間離均平方和，MS組間=SS組間/組數(shù)-1（注：離均就有差的意思了?。㏒S組內=組內離均平方和，MS組內=SS組內/全部數(shù)據(jù)-組數(shù)F值=MS組間/MS組內查F值，判斷見下面的分析步驟部份2. 模型的求解從表格中，我們看出，季節(jié)的變化對氣旋強度的影響是顯著的。5.3.2 模型二：單樣本t

24、檢驗t檢驗是用t分布理論來推論差異發(fā)生的概率，從而比較兩個平均數(shù)的差異是否顯著。它與Z檢驗、卡方檢驗并列。t檢驗是戈斯特為了觀測釀酒質量而發(fā)明的。戈斯特在位于都柏林的健力士釀酒廠擔任統(tǒng)計學家，基于Claude Guinness聘用從牛津大學和劍橋大學出來的最好的畢業(yè)生以將生物化學及統(tǒng)計學應用到健力士工業(yè)程序的創(chuàng)新政策。戈斯特于1908年在Biometrika上公布t檢驗，但因其老板認為其為商業(yè)機密而被迫使用筆名（學生）。實際上，跟他合作過的統(tǒng)計學家是知道“學生”的真實身份是戈斯特的。1、模型的建立單總體t檢驗是檢驗一個樣本平均數(shù)與一個已知的總體平均數(shù)的差異是否顯著。當總體分布是正態(tài)分布，如總體

25、標準差未知且樣本容量小于30，那么樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計量呈t分布。單總體t檢驗統(tǒng)計量為：    獨立樣本t檢驗統(tǒng)計量為：  S1 和 S2 為兩樣本方差；n1 和n2 為兩樣本容量。（上面的公式是1/n1 + 1/n2 不是減！）配對樣本t檢驗統(tǒng)計量為：2、模型的求解本文采用spss軟件含有的t檢驗函數(shù)進行模型的求解，結果如下：單個樣本統(tǒng)計量N均值標準差均值的標準誤春季49582.722.084.030夏季238362.652.077.013秋季247953.05

26、2.107.013冬季42282.581.773.027單個樣本檢驗檢驗值 = 0 tdfSig.(雙側)均值差值差分的 95% 置信區(qū)間下限上限春季91.7774957.0002.7162.662.77夏季197.13223835.0002.6522.632.68秋季228.27024794.0003.0543.033.08冬季94.4824227.0002.5772.522.63由單樣本t檢驗的結果可知，春季，夏季，秋季，冬季各個組內差異不顯著。所以，單因素方差分析方法找出的季節(jié)間影響關系成立。六、模型評價本文所建立模型的優(yōu)缺點主要體現(xiàn)在一下幾個方面：對問題二：優(yōu)點：通過地統(tǒng)計學而非傳統(tǒng)統(tǒng)

27、計學進行分析，增加了科學性； 缺點：kriging插值依賴于數(shù)據(jù)的分布，難以普遍適用。對問題三：優(yōu)點：采用單樣本t檢驗的方式驗證了不同年份的不同春季對熱帶季風強度的影響幾乎不大，進一步證明了是季節(jié)的變化很大程度地影響了熱帶季風的強度； 缺點：單樣本t 檢驗要求數(shù)據(jù)成正太分布，普遍使用的可能性不大。附錄附錄1 matlab畫二維圖clc; clear all; close all;filename = 'C:UsersAdministratorDesktop13Ä꽨ģ³õʼֵ.xls'num1, txt1, raw1 = xlsread(filename, '¸½¼þ1');A = num1(:, 2:3);x = A(:, 2);y = A(:, 1);figure; hold on; box on;plot(x, y, 'r.');view(2)colorbarcolormap(0 0 0; 0.1 0.5 0.4; 0.2 0.