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1、1微分方程的基本概念7.1 一、問題的提出二、微分方程的相關(guān)定義2引例引例1 一曲線通過點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的切線斜率為 2x ,求該曲線的方程 . 解解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:xxdyd2xdxy2Cx 2(C為任意常數(shù))由 得 C = 1 ,21.yx故,所求曲線方程為:21xy由 得322.00.4m sam s 列車在平直線路上以的速度行駛,制動(dòng)時(shí)獲得加速度求制動(dòng)后列車的運(yùn)律,動(dòng)規(guī)引引例例2 2:解解: 設(shè)列車在制動(dòng)后 t 秒行駛了s 米,即求 s = s (t) .由題意知220.4d sdt ,00ts ,200dstdt由第一式兩次
2、積分,可得2122 . 0CtCts( 為任意常數(shù) )21, CC利用后兩式可得12200CC,所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為20.220stt 說明說明: 利用此規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住 , 以及制動(dòng)后行駛了多少路程 . 4微分方程:微分方程:含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分的方程.微分方程的階:微分方程的階:方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù). 2yxy 如,22()0yxxyy二階4()0yxyy三階常微分方程:常微分方程:只含有一個(gè)自變量的微分方程.若一個(gè)函數(shù)代入微分方程能使方程成為恒等式 ,則稱此函數(shù)為該微分方程的解微分方程的解. .微分方程的解微分方程的解: :0 xdyydx5.不含任意常數(shù)的
3、解稱為特解( (2 2) ) 特特解解:(1)(1)000000()()()nny xyy xynxyny,對(duì)于一個(gè) 階微分方程而言,一般有 個(gè)初始條件,即,說說明明:.的圖形就是;而的圖形就是 積分曲線族特中通解積分解一條確曲線的族定的曲線說說明明:微分方程解的圖形稱為方方程程的的積積分分曲曲線線. .解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù) 相同,這樣的解稱為微分方程的通解(1)(1) 通通解解:.用來確定特解的條件稱為初始條件初初始始條條件件:6121222020cossin(1).,00ttxCktCkt C Cd xdxk xxAdtdt例驗(yàn)證為常數(shù) 是微分方程的解,并求滿足初始,條
4、件的特解12sincosdxC kktC kktdt 解:222122(sincos)d xkCktCktk xdt 12cossin.xCktCkt這說明是微分方程的解12,C C顯然,是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),故,它是方程的通解.120.CAC利用初始條件,易得:cos.xAkt故,所求特解為:7PQxyox1()YyXxy 0YQXxyy令,得點(diǎn)的橫坐標(biāo)xyyx 20yyx即,2( , ).P x yxQPQy例已知曲線上點(diǎn)處的法線與 軸交點(diǎn)為,且線段被 軸平分,求該曲線滿足的微分方程( , )P x y解:如圖所示,點(diǎn)處的法線方程為8思考題思考題1. 1. 通解是不是微分方程的全部解嗎?通解是不是微分方程的全部解嗎?0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一個(gè)解 .例如, 方程 y = x 及 y = C 不一定!9,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxe
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