高等數(shù)學(xué)：第1節(jié) 微分方程的基本概念（新）

1、1微分方程的基本概念7.1 一、問題的提出二、微分方程的相關(guān)定義2引例引例1 一曲線通過點(diǎn)(1,2)，在該曲線上任意點(diǎn)處的切線斜率為 2x ，求該曲線的方程 . 解解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:xxdyd2xdxy2Cx 2(C為任意常數(shù))由 得 C = 1 ,21.yx故，所求曲線方程為：21xy由 得322.00.4m sam s 列車在平直線路上以的速度行駛，制動(dòng)時(shí)獲得加速度求制動(dòng)后列車的運(yùn)律，動(dòng)規(guī)引引例例2 2：解解: 設(shè)列車在制動(dòng)后 t 秒行駛了s 米，即求 s = s (t) .由題意知220.4d sdt ，00ts ，200dstdt由第一式兩次

2、積分，可得2122 . 0CtCts( 為任意常數(shù) )21, CC利用后兩式可得12200CC，所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為20.220stt 說明說明: 利用此規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住 , 以及制動(dòng)后行駛了多少路程 . 4微分方程：微分方程：含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分的方程.微分方程的階：微分方程的階：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù). 2yxy 如，22()0yxxyy二階4()0yxyy三階常微分方程：常微分方程：只含有一個(gè)自變量的微分方程.若一個(gè)函數(shù)代入微分方程能使方程成為恒等式 ，則稱此函數(shù)為該微分方程的解微分方程的解. .微分方程的解微分方程的解: :0 xdyydx5.不含任意常數(shù)的

3、解稱為特解( (2 2) ) 特特解解：(1)(1)000000()()()nny xyy xynxyny，對(duì)于一個(gè) 階微分方程而言，一般有 個(gè)初始條件，即，說說明明：.的圖形就是；而的圖形就是 積分曲線族特中通解積分解一條確曲線的族定的曲線說說明明：微分方程解的圖形稱為方方程程的的積積分分曲曲線線. .解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù) 相同，這樣的解稱為微分方程的通解(1)(1) 通通解解：.用來確定特解的條件稱為初始條件初初始始條條件件：6121222020cossin(1).,00ttxCktCkt C Cd xdxk xxAdtdt例驗(yàn)證為常數(shù) 是微分方程的解,并求滿足初始，條

4、件的特解12sincosdxC kktC kktdt 解：222122(sincos)d xkCktCktk xdt 12cossin.xCktCkt這說明是微分方程的解12,C C顯然，是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，故，它是方程的通解.120.CAC利用初始條件，易得：cos.xAkt故，所求特解為：7PQxyox1()YyXxy 0YQXxyy令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)xyyx 20yyx即，2( , ).P x yxQPQy例已知曲線上點(diǎn)處的法線與 軸交點(diǎn)為，且線段被 軸平分，求該曲線滿足的微分方程( , )P x y解：如圖所示，點(diǎn)處的法線方程為8思考題思考題1. 1. 通解是不是微分方程的全部解嗎？通解是不是微分方程的全部解嗎？0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一個(gè)解 .例如, 方程 y = x 及 y = C 不一定！9,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxe