（全國(guó)通用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第7節(jié) 拋物線學(xué)案 理 新人教B

1、1第第 7 7 節(jié)節(jié)拋物線拋物線最新考綱1.了解拋物線的實(shí)際背景，了解拋物線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).知 識(shí) 梳 理1.拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(Fl)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：M|MF|d(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離).2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離性質(zhì)頂點(diǎn)O(0，0)對(duì)稱軸y0 x0焦點(diǎn)Fp2，0Fp2，0F0

2、，p2F0，p2離心率e1準(zhǔn)線方程xp2xp2yp2yp2范圍x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0，xR R開(kāi)口方向向右向左向上向下常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于 2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦.22.拋物線y22px(p0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)Fp2，0的距離|PF|x0p2，也稱為拋物線的焦半徑.診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是a4，0，準(zhǔn)線方程是xa4.()(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖

3、形，又是軸對(duì)稱圖形.()(4)AB為拋物線y22px(p0)的過(guò)焦點(diǎn)Fp2，0的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2p24，y1y2p2，弦長(zhǎng)|AB|x1x2p.()解析(1)當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)， 軌跡為過(guò)定點(diǎn)F與定直線l垂直的一條直線， 而非拋物線.(2)方程yax2(a0)可化為x21ay，是焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是0，14a，準(zhǔn)線方程是y14a.(3)拋物線是只有一條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.答案(1)(2)(3)(4)2.以x1 為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y22xB.y22xC.y24xD.y24x解析由準(zhǔn)線x1 知，拋物線方程為：y22px(p0)且p2

4、1，p2，拋物線的方程為y24x.答案D3.(2018黃岡聯(lián)考)已知方程y24x表示拋物線，且該拋物線的焦點(diǎn)到直線xm的距離為4，則m的值為()A.5B.3 或 5C.2 或 6D.63解析拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1，0)，它與直線xm的距離為d|m1|4，m3或 5，故選 B.答案B4.(教材練習(xí)改編)已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).解析很明顯點(diǎn)P在第三象限，所以拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸負(fù)半軸上或y軸負(fù)半軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)方程為y22px(p0)，把點(diǎn)P(2，4)的坐標(biāo)代入得(4)22p(2)，解得p4，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

5、方程為y28x；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)方程為x22py(p0)，把點(diǎn)P(2，4)的坐標(biāo)代入得(2)22p(4)，解得p12，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y.綜上可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x或x2y.答案y28x或x2y5.已知拋物線方程為y28x，若過(guò)點(diǎn)Q(2，0)的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是_.解析設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，當(dāng)k0 時(shí)，顯然滿足題意；當(dāng)k0 時(shí)，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0 或 0k1，因此k的取值范圍是1，1.答案1，1考點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用【例 1】

6、(1)已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|BF|3，則線段AB的中點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為()A.34B.1C.54D.74(2)若拋物線y22x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3，2)，則|PA|PF|取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi).4解析(1)因?yàn)閽佄锞€y2x的準(zhǔn)線方程為x14.如圖所示，過(guò)點(diǎn)A，B，D分別作直線x14的垂線，垂足分別為G，E，M，因?yàn)閨AF|BF|3，根據(jù)拋物線的定義，|AG|AF|，|BE|BF|，所以|AG|BE|3，所以|MD|BE|AG|232，即線段AB的中點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為321454.(2)將x3 代入拋物線方程y22x，得y 6.

7、 62，A在拋物線內(nèi)部，如圖.設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x12的距離為d，由定義知|PA|PF|PA|d，當(dāng)PAl時(shí)，|PA|d最小，最小值為72，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為 2，代入y22x，得x2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2).答案(1)C(2)(2，2)規(guī)律方法應(yīng)用拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化.(2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|x0|p2或|PF|y0|p2.【訓(xùn)練 1】 (1)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1，0)，且與直線x1 相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_(kāi).(2)(2017全國(guó)卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，

8、FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|_.解析(1)設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1，0)的距離與到直線x1 的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y24x.(2)如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，PMOF.由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|AO|2.點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PMOF，|MP|12|FO|1.又|BP|AO|2，5|MB|MP|BP|3.由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.答案(1)y24x(2)6考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【例 2】 (1)已知

9、雙曲線C1：x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為 2.若拋物線C2：x22py(p0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為 2，則拋物線C2的方程為()A.x28 33yB.x216 33yC.x28yD.x216y(2)(2016全國(guó)卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn).已知|AB|4 2，|DE|2 5，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.2B.4C.6D.8解析(1)x2a2y2b21(a0，b0)的離心率為 2，ca2，即c2a2a2b2a24，ba 3.x22py(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，p2 ，x2a2y2b21(a0，b0)的漸近線方程為ybax，

10、即y 3x.由題意得p21（ 3）22，解得p8.故C2的方程為x216y.(2)不妨設(shè)拋物線C：y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2(r0)，|AB|4 2，|DE|2 5，拋物線的準(zhǔn)線方程為xp2，不妨設(shè)A4p，2 2，Dp2， 5，點(diǎn)A4p，2 2，Dp2， 5在圓x2y2r2上，16p28p245，解得p4(負(fù)值舍去)，故C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 4.答案(1)D(2)B規(guī)律方法1.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法， 其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、 開(kāi)口方向，在方程的類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以6確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.在解決與拋物線的性質(zhì)有

11、關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此.【訓(xùn)練 2】 (1)如圖，過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為_(kāi).(2)過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|AF|3，則AOB的面積為_(kāi).(1)解析設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，由于|BC|2|BF|2|BB1|，則直線的斜率為 3，故|AC|2|AA1|6，從而|BF|1，|AB|4，故p|AA1|CF|AC|12，即p32，從而拋物線的方程為y23x.(

12、2)如圖，由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，又|AF|3，由拋物線定義知，點(diǎn)A到準(zhǔn)線x1 的距離為 3，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 2，將x2代入y24x得y28， 由圖知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為y2 2， 所以A(2， 2 2)，所以直線AF的方程為y2 2(x1)，聯(lián)立直線與拋物線的方程y2 2（x1） ，y24x，解得x12，y 2或x2，y2 2，由圖知B12， 2，所以SAOB121|yAyB|3 22.答案(1)y23x(2)3 22考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系(多維探究)命題角度 1直線與拋物線的公共點(diǎn)(交點(diǎn))問(wèn)題【例 31】 (2016全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt(t0)

13、交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y22px(p0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.7(1)求|OH|ON|；(2)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由.解(1)如圖，由已知得M(0，t)，Pt22p，t，又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，故Nt2p，t，故直線ON的方程為yptx，將其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x22t2p，因此H2t2p，2t.所以N為OH的中點(diǎn)，即|OH|ON|2.(2)直線MH與C除H以外沒(méi)有其它公共點(diǎn)，理由如下：直線MH的方程為ytp2tx，即x2tp(yt).代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線M

14、H與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除H以外，直線MH與C沒(méi)有其它公共點(diǎn).命題角度 2與拋物線弦長(zhǎng)(中點(diǎn))有關(guān)的問(wèn)題【例 32】 (2017北京卷)已知拋物線C：y22px過(guò)點(diǎn)P(1，1)，過(guò)點(diǎn)0，12 作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn).(1)解把P(1，1)代入y22px，得p12，所以拋物線C的方程為y2x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為14，0，準(zhǔn)線方程為x14.(2)證明當(dāng)直線MN斜率不存在或斜率為零時(shí)， 顯然與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)不滿足題意， 所以直線MN(也就是

15、直線l)斜率存在且不為零.8由題意，設(shè)直線l的方程為ykx12(k0)，l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2).由ykx12，y2x，消去y得 4k2x2(4k4)x10.考慮(4k4)244k216(12k)，由題可知有兩交點(diǎn)，所以判別式大于零，所以k0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，則k()A.12B.110C.32D.2解析由題可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1， 0)， 由PFx軸知， |PF|2， 所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2)，代入曲線ykx(k0)得k2.答案D3.(2018張掖診斷)過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1x26，則

16、|PQ|()A.9B.8C.7D.6解析拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x1.根據(jù)題意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.答案B4.(2018鐵嶺質(zhì)檢)設(shè)拋物線C：y23x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A為C上一點(diǎn)，若|FA|3，則直線FA的傾斜角為()A.3B.4C.3或23D.4或34解析如圖， 作AHl于H， 則|AH|FA|3， 作FEAH于E， 則|AE|33232，在 RtAEF中，cosEAF|AE|AF|12，EAF3，即直線FA的傾斜角為3，同理點(diǎn)A在x軸下方時(shí)，直線FA的傾斜角為23.答案C5.(2018衡水調(diào)研)已知拋物線y24x， 過(guò)點(diǎn)P(4， 0)的直線

17、與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則y21y22的最小值為()A.12B.24C.16D.32解析當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為x4，由x4，y24x，得y14，y24，y21y2232.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為yk(x4)，由y24x，yk（x4） ，得ky24y16k0，11y1y24k，y1y216，y21y22(y1y2)22y1y216k23232，綜上可知，y21y2232.y21y22的最小值為 32.答案D二、填空題6.(2018廣東省際名校聯(lián)考)圓(x1)2y21 的圓心是拋物線y2px(p0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：yx的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

18、 8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過(guò)原點(diǎn)的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|PB|，求FAB的面積.解(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，8)，(8)22p8，2p8，拋物線方程為y28x.(2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M.由y28x，xym，得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2y21y2264m2.由題意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8 或m0(舍)，直線l2：xy8，M(8，0).故SFABSFMBSF

19、MA12|FM|y1y2|3 （y1y2）24y1y224 5.10.(2017全國(guó)卷)設(shè)A，B為曲線C：yx24上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為 4.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程.解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1x214，y2x224，x1x24.于是直線AB的斜率ky1y2x1x2x1x241.(2)由yx24，得yx2.設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知x321，解得x32，于是M(2，1).13設(shè)直線AB的方程為yxm，故線段AB的中點(diǎn)為N(2，2m)，|MN|m1|.將yxm代入yx2

20、4得x24x4m0.當(dāng)16(m1)0，即m1 時(shí)，x1，222m1.從而|AB| 2|x1x2|4 2（m1）.由題設(shè)知|AB|2|MN|，即 4 2（m1）2(m1)，解得m7.所以直線AB的方程為xy70.能力提升題組(建議用時(shí)：20 分鐘)11.(2018南昌模擬)已知拋物線C1：y12px2(p0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：x23y21 的右焦點(diǎn)的連線交C1于點(diǎn)M(M在第一象限)，若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p()A.316B.38C.2 33D.4 33解析由拋物線C1：y12px2(p0)得x22py(p0)，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，p2 .由x23y21 得a 3，b1，c2.所以雙曲線的右焦點(diǎn)為(2，0).則拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線所在直線方程為y0p20 x202.即px4y2p0.設(shè)Mx0，x202p(x00)，則C1在點(diǎn)M處的切線的斜率為x0p.由題意可知x0p33，解得x033p，14所以M33p，p6 ，把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入得3p2323p2p0.解得p4 33.答案D12.已知拋