中考復(fù)習(xí)二次函數(shù)綜合題精選(教師版)

1、中考復(fù)習(xí)二次函數(shù)的綜合精選1如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，與x軸交于A、B兩點(diǎn)求的值；如圖，設(shè)點(diǎn)C為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的一點(diǎn)，直線AC將四邊形ABCD的面積二等分，試證明線段BD被直線AC平分，并求此時(shí)直線AC的函數(shù)解析式；設(shè)點(diǎn)P、Q為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試猜想：是否存在這樣的點(diǎn)P、Q，使AQPABP？如果存在，請(qǐng)舉例驗(yàn)證你的猜想；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（圖供選用）解： 拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D()c=6.過(guò)點(diǎn)D、B點(diǎn)分別作AC的垂線，垂足分別為E、F，設(shè)AC與BD交點(diǎn)為M，AC 將四邊形ABCD的面積二等分，即：SABC=SADC DE=BF 又DME=BMF， DEM=BF

2、EDEMBFMDM=BM 即AC平分BD c=6. 拋物線為A（）、B（）M是BD的中點(diǎn) M（）設(shè)AC的解析式為y=kx+b，經(jīng)過(guò)A、M點(diǎn)解得直線AC的解析式為.存在設(shè)拋物線頂點(diǎn)為N(0，6)，在RtAQN中，易得AN=，于是以A點(diǎn)為圓心，AB=為半徑作圓與拋物線在x上方一定有交點(diǎn)Q，連接AQ，再作QAB平分線AP交拋物線于P，連接BP、PQ，此時(shí)由“邊角邊”易得AQPABP2已知一次函數(shù)y的圖象與x軸交于點(diǎn)A與軸交于點(diǎn)；二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)y的圖象交于、兩點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)且點(diǎn)的坐標(biāo)為（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求四邊形BDEF的面積S；（3）在軸上是否存在點(diǎn)P，使得是以為直角頂點(diǎn)的直

3、角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮拷猓海?） 由題意知:當(dāng)x=0時(shí),y=1, B（0，1）,當(dāng)y=0時(shí),x=2, A（2，0）解得,所以（2）當(dāng)y=0時(shí), ,解得x1=1,x2=2, D(1,0) E(2,0) AO=3,AE=4. S=SCAESABD，S=，S=4.5, (3)存在點(diǎn)P(a,0),當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖,過(guò)C作CFx軸于F, RtBOPRtPFC,由題意得，AD6，OD1，易知，ADBE，即,整理得:a24a3=0,解得a=1或a=3,所以所求P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)或(3,0).綜上所述,滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有兩個(gè).3如圖（1），拋物線與y軸交于點(diǎn)A，E

4、（0，b）為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線與拋物線交于點(diǎn)B、C.（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2)當(dāng)b=0時(shí)（如圖（2），與的面積大小關(guān)系如何？當(dāng)時(shí)，上述關(guān)系還成立嗎，為什么？（3）是否存在這樣的b，使得是以BC為斜邊的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，說(shuō)明理由. 圖（1）圖（2）解：（1）將x=0，代入拋物線解析式，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4）（2）當(dāng)b0時(shí)，直線為，由解得， 所以B、C的坐標(biāo)分別為（2，2），（2，2） ，所以（利用同底等高說(shuō)明面積相等亦可） 當(dāng)時(shí)，仍有成立. 理由如下由，解得， 所以B、C的坐標(biāo)分別為（，+b），（，+b），作軸，軸，垂足分別為F、G，則，而和是同底的兩個(gè)三角形，所以

5、. （3）存在這樣的b.因?yàn)樗运?，即E為BC的中點(diǎn)所以當(dāng)OE=CE時(shí)，為直角三角形 因?yàn)樗?，而所以，解得，所以當(dāng)b4或2時(shí)，OBC為直角三角形. 4 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式（2）連結(jié)PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四邊形POPC， 那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 ABPC的面積最大并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形A

6、BPC的最大面積.【答案】解：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 解得： 所以二次函數(shù)的表達(dá)式為： （2）存在點(diǎn)P，使四邊形POPC為菱形設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），PP交CO于E若四邊形POPC是菱形，則有PCPO連結(jié)PP 則PECO于E，OE=EC= 解得=，=（不合題意，舍去）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）8分（3）過(guò)點(diǎn)P作軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P（x，），易得，直線BC的解析式為則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x3）.= 當(dāng)時(shí)，四邊形ABPC的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的面積 5如圖，已知在直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OAAB2，OC3，過(guò)點(diǎn)B作B

7、DBC，交OA于點(diǎn)D，將DBC繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸于E和F（1）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）當(dāng)BE經(jīng)過(guò)（1）中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求CF的長(zhǎng)；（3）連接EF，設(shè)BEF與BFC的面積之差為S，問(wèn)：當(dāng)CF為何值時(shí)S最小，并求出這個(gè)最小值. 【答案】由題意得：A（0，2）、B（2，2）、C（3，0），設(shè)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為，則，解得：，所以（2）由，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為G（1，），過(guò)G作GHAB，垂足為H，則AHBH1，GH2，EAAB，GHAB，EAGH，GH是BEA的中位線，EA3GH，過(guò)B作BMOC，垂足為M，則MBOAAB，EBFABM90

8、°，EBAFBM90°ABF，R tEBAR tFBM，F(xiàn)MEA，CMOCOM321，CFFMCM（3）設(shè)CFa，則FM a1或1 a，BF2FM2BM2(a1)222a22a5，又EBAFBM，BMBF，則，又，S ，即S，當(dāng)a2（在2a3）時(shí)，6如圖12已知ABC中，ACB90°以AB 所在直線為x 軸，過(guò)c 點(diǎn)的直線為y 軸建立平面直角坐標(biāo)系此時(shí)，A 點(diǎn)坐標(biāo)為（一1 ， 0）， B 點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0 ） （1）試求點(diǎn)C 的坐標(biāo)DGH（2）若拋物線過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，求拋物線的解析式（3）點(diǎn)D（ 1，m ）在拋物線上，過(guò)點(diǎn)A 的直線y=x1 交（2）中的拋物線

9、于點(diǎn)E，那么在x軸上點(diǎn)B 的左側(cè)是否存在點(diǎn)P，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與ABE 相似？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。【答案】（1）ACB90°，COAB，ACOCBO，CO=2，則C（0，2）；（2）拋物線過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，則，拋物線的解析式為；（3）點(diǎn)D（ 1，m ）在拋物線上，D（1，3），把直線y=x1與拋物線聯(lián)立成方程組，E（5，6）,過(guò)點(diǎn)D作DH垂直于x軸,過(guò)點(diǎn)E作EG垂直于x軸,DH=BH=3,DBH=45°,BD=,AG=EG=6, EAG=45°,AE=,當(dāng)P在B的右側(cè)時(shí),DBP=135°ABE,兩個(gè)三角形不相似,所以P

10、點(diǎn)不存在；當(dāng)P 在B的左側(cè)時(shí)) DPBEBA時(shí)，P的坐標(biāo)為（，0），) DPBBEA時(shí)， ，P的坐標(biāo)為（，0），所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）。7如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），C（0，）兩點(diǎn)，且與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B（1）求拋物線解析式； （2）若拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)M，點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與B重合），Q在線段MB上移動(dòng)，且MPQ=45°，設(shè)OP=x，MQ=，求于x的函數(shù)關(guān)系式，并且直接寫(xiě)出自變量的取值范圍；（3）如圖2，在同一平面直角坐標(biāo)系中，若兩條直線x=m，x=n分別與拋物線交于E、G兩點(diǎn)，與（2）中的函數(shù)圖像交于F、H兩點(diǎn)，問(wèn)四邊形EFHG能否為平行四邊形？若能，求

11、出m、n之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由圖 1圖 2【答案】（1）；（2）由頂點(diǎn)M（1，2）知PBM=45°，易證MBPMPQ得，得，即；（3）存在，設(shè)點(diǎn)E、G是拋物線分別與直線x=m，x=n的交點(diǎn)，則、，同理、，由四邊形EFHG為平行四邊形得EG=FH，即，由，因此，四邊形EFHG可以為平行四邊形，m、n之間的數(shù)量關(guān)系是m+n=2（0m2，且m1）8如圖，在ABC中，C45°，BC10，高AD8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H （1）求證：； （2）設(shè)EFx，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值；（3）當(dāng)矩

12、形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線QC勻速運(yùn)動(dòng)(當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng))，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，矩形EFFQ與ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式 【答案】解：（1） 四邊形EFPQ是矩形， EFQP AEFABC 又 ADBC， AHEF （2）由（1）得 AHx EQHDADAH8x， S矩形EFPQEF·EQx (8x) x28 x（x5）220 0， 當(dāng)x5時(shí)，S矩形EFPQ有最大值，最大值為20（3）如圖1，由（2）得EF5，EQ4圖1 C45°， FPC是等腰直角三角形 PCFPEQ=4，QCQPPC9分三種情況討論： 如

13、圖2當(dāng)0t4時(shí)， 設(shè)EF、PF分別交AC于點(diǎn)M、N，則MFN是等腰直角三角形 FNMFtSS矩形EFPQSRtMFN=20t2t220；如圖3，當(dāng)4t<5時(shí)，則ME5t，QC9t SS梯形EMCQ（5t）（9t ）×44t28；如圖4，當(dāng)5t9時(shí)，設(shè)EQ交AC于點(diǎn)K，則KQ=QC9t SSKQC= (9t)2( t9)2 圖2 圖3 圖4綜上所述：S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=9已知拋物線頂點(diǎn)為C（1，1）且過(guò)原點(diǎn)O.過(guò)拋物線上一點(diǎn)P（x，y）向直線作垂線，垂足為M，連FM（如圖）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直線x1上有一點(diǎn)，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點(diǎn)的坐標(biāo)，

14、并證明此時(shí)PFM為正三角形；（3）對(duì)拋物線上任意一點(diǎn)P，是否總存在一點(diǎn)N（1，t），使PMPN恒成立，若存在請(qǐng)求出t值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）a1，b2，c0（2）過(guò)P作直線x=1的垂線，可求P的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為.此時(shí)，MPMFPF1，故MPF為正三角形.（3）不存在.因?yàn)楫?dāng)t，x1時(shí)，PM與PN不可能相等，同理，當(dāng)t，x1時(shí)，PM與PN不可能相等.10如圖，以A為頂點(diǎn)的拋物線與y軸交于點(diǎn)B已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，4) (1)求拋物線的解析式； (2)設(shè)M(m，n)是拋物線上的一點(diǎn)(m、n為正整數(shù))，且它位于對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)若以M、B、O、A為頂點(diǎn)的四邊形四條邊的

15、長(zhǎng)度是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)； (3)在(2)的條件下，試問(wèn)：對(duì)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的任意一點(diǎn)P，PA2+PB2+PM228是否總成立?請(qǐng)說(shuō)明理由11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（，）的拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）. 已知點(diǎn)坐標(biāo)為（，）.（1）求此拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)作線段的垂線交拋物線于點(diǎn)， 如果以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；（3）已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于，兩點(diǎn)之間，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大？并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和的最大面積.【答案】（1）解：設(shè)拋物線為.拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3），.拋物線為.3

16、分 (2) 答：與相交. 4分證明：當(dāng)時(shí)，. 為（2，0），為（6，0）.設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，則.，.又，.6分拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，點(diǎn)到的距離為2.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與相交. 7分(3) 解：如圖，過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn).可求出的解析式為.8分設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）. . , 當(dāng)時(shí)，的面積最大為. 此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，）. 10分12如圖, 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）.（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作DEx軸于點(diǎn)D，連結(jié)DC，當(dāng)DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在直線BC上是

17、否存在一點(diǎn)P，使ACP為等腰三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】解：（1）二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）C(0,1) 解得： b= c=1-2分二次函數(shù)的解析式為 -3分（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0） （0m2） OD=m AD=2-m由ADEAOC得， -4分DE=-5分CDE的面積=××m=當(dāng)m=1時(shí)，CDE的面積最大點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）-8分（3）存在 由(1)知：二次函數(shù)的解析式為設(shè)y=0則 解得：x1=2 x2=1點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0） C（0，1）設(shè)直線BC的解析式為：y=kxb 解得：k=-1 b=-1直線BC的解析式為: y=x1在

18、RtAOC中，AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=點(diǎn)B(1,0) 點(diǎn)C（0，1）OB=OC BCO=450當(dāng)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)且PC=AC=時(shí)，設(shè)P(k, k1)過(guò)點(diǎn)P作PHy軸于HHCP=BCO=450CH=PH=k 在RtPCH中k2+k2= 解得k1=， k2=P1（，） P2（，）-10分以A為頂點(diǎn)，即AC=AP=設(shè)P(k, k1)過(guò)點(diǎn)P作PGx軸于GAG=2k GP=k1在RtAPG中 AG2PG2=AP2（2k)2+(k1)2=5解得：k1=1,k2=0(舍)P3(1, 2) -11分以P為頂點(diǎn)，PC=AP設(shè)P(k, k1)過(guò)點(diǎn)P作PQy軸于點(diǎn)QPLx軸于點(diǎn)LL(k,0

19、)QPC為等腰直角三角形 PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=kAL=k-2, PL=k1在RtPLA中(k)2=(k2)2(k1)2解得：k=P4(,) -12分綜上所述： 存在四個(gè)點(diǎn)：P1（，） P2（-，） P3(1, 2) P4(,)13如圖1，已知拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為 (2,4)；矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3.（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0t3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖2所示）. 當(dāng)t=時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說(shuō)明理由； 設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S，試問(wèn)S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖2