初中數學--折疊問題

1、折疊問題知識梳理折疊問題（對稱問題）是近幾年來中考出現頻率較高的一類題型，學生往往由于對折疊的實質理解不夠透徹，導致對這類中檔問題失分嚴重。本文試圖通過對在初中數學中經常涉及到的幾種折疊的典型問題的剖析，從中抽象出基本圖形的基本規(guī)律，找到解決這類問題的常規(guī)方法。其實對于折疊問題，我們要明白：1、折疊問題（翻折變換）實質上就是軸對稱變換.2、折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱.對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后 圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.3、對于折疊較為復雜的問題可以實際操作圖形的折疊，在畫圖時，畫出折疊前后的圖形， 這樣便于找到圖形之間的數量關系和位置關系.4、

2、在矩形（紙片）折疊問題中，重合部分一般會是一個以折痕為底邊的等腰三角形5、利用折疊所得到的直角和相等的邊或角，設要求的線段長為x,然后根據軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度， 選擇適當的直角三角形， 運用勾股定理列出方程求解例題解析一、矩形中的折疊【例1】將一張長方形紙片按如圖的方式折疊，其中BC, BD為折痕，折疊后 B陰口 BH在同一條直線上，/ CBD=度.二 田AB £【鞏固訓練】1.如圖所示，一張矩形紙片沿 BC折疊，頂點A落在點A處，再過點A折疊 使折痕D曰BC,若AB=4, AC=3貝ADE的面積是.小* * 4、 一， i C二 D B2 .如圖，矩形紙片

3、ABCD中，AB=4 , AD=3 ,折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，得折痕 DG,求AG的長.3 .把矩形紙片ABCD沿BE折疊，使得BA邊與BC重合，然后再沿著 BF折疊，使得折痕BE也與BC邊重合，展開后如圖所示，則/ DFB等于（）、紙片中的折疊【鞏固訓練】1.如圖，將一寬為2cm的紙條，沿BC,使/ CAB=45 ° ,則后重合部分的面積為()2.將寬2cm的長方形紙條成如圖所示的形狀，那么折痕PQ的長是()3.如圖a是長方形紙帶，/ DEF=20。，將紙帶沿EF折疊成圖b,再沿BF折疊成圖c,則圖c中的/CFE的度數是( )、三角形中的折疊【例3】如圖，把RtAABC(

4、/ C=90° ),使A, B兩點重合，得到折痕 ED,再沿BE折疊, C點恰好與 D點重合，則 CE AE=【鞏固訓練】1.在 ABC中，已知 AB=2a, / A=30° , CD是AB邊的中線，若將 ABCgCD E 1對折起來，折疊后兩個小 ACM BCD1疊部分的面積恰女?等于折疊前ABC的面積的-.4（1）當中線CD等于a時，重疊部分的面積等于 ;（2）有如下結論（不在“ C*于a”的限制條件下）： AC邊的長可以等于a;折疊前 的 ABC的面積可以等于 號a2 ;折疊后，以A B為端點的線段 AB與中線CD平行且相 等.其中，結論正確（把你認為正確結論的代號都

5、填上，若認為都不正確填“無”）.2 .在4ABC中，已知/ A=80° , /C=30° ,現把 CDE沿DE進行不同的折疊得 C' DE , 對折疊后產生的夾角進行探究：（1）如圖（1）把 CDE沿DE折疊在四邊形 ADEB內，則求/ 1 + /2的和；（2）如圖（2）把 CDE沿DE折疊覆蓋/ A,則求/ 1 + /2的和；（3）如圖（3）把 CDE沿DE斜向上折疊，探求/ 1、/ 2、/ C的關系.3 .觀察與發(fā)現：將三角形紙片 ABC （AB > AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD , 展開紙片（如圖）；在第一次折疊的基礎上第二

6、次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF,展平紙片后得到 AEF （如圖）.小明認為 AEF是等腰三角形，你同意嗎？ 請說明理由.實踐與運用：將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE （如 圖）；再沿過點E的直線折疊，使點 D落在BE上的點D'處，折痕為EG （如圖）；再展 平紙片（如圖）.求圖中/ a的大小.（2）將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF,折痕與AD邊交于點巳與BC邊交于點F;將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點A、點D都 與點F重合，展開紙片，此時恰好有 MP=MN=PQ （如圖），求/

7、 MNF的大小.圖四、圓中的折疊【例4】如圖，正方形 ABCD勺邊長為2,。的直徑為AD,將正方形的BC邊與gEC折疊，點 B落在圓上的F點，求BE的長【鞏固訓練】1.如圖，將半彳至為8的。O沿AB折疊，弧AB恰好經過與 AB垂直的半徑 OC的中點D,則折痕AB長為（2.如圖，將弧BC沿弦BC折疊交直徑AB于點D,若AD=55 DB=7,則BC的長是多少?D反思總結解題步驟歸納：1、標已知，標問題（邊長的問題一般有什么方法解決？），明確目標在哪個直角三角形中，設適當的未知數 x;2、利用折疊，找全等。3、將已知邊和未知邊（用含 x的代數式表示）轉化到同一直角三角形中表示出來。4、利用勾股定理，

8、列出方程，解方程，得解。隨堂檢測1.如圖，正方形紙片 ABCD勺邊長為8,將其沿EF折疊，則圖中四個三角形的周長之和為Br2.如圖，將邊長為 邊形BCFE勺面積4的正方形ABCD&著折痕EF折疊，使點B落在邊AD的中點G處，求四3將一張長為70 cm的長方形紙片 ABCD ,沿對稱軸EF折疊成如圖的形狀，若折疊后，AB與CD間的距離為60cm,則原紙片的寬 AB是()4.直角三角形紙片 ABC中，/ ACB=90 ° , AC < BC,如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點A落在直角邊BC上，記落點為D,設折痕與AB、AC邊分別交于點E、點F.探究：如果折疊后的 CDF與

9、BDE均為等腰三角形，那么紙片中/ B的度數是多少？寫 出你的計算過程，并畫出符合條件的后的圖形.6 . 一 .一 ,.5.如圖，雙曲線y= - (x>0)經過四邊形 OABC勺頂點A C, / ABC=90 , OCF分OAf xx軸正半軸的夾角，AB/ x軸，將 ABCgAC翻折后得到 AB'C, B'點落在OA上，則四邊課后練習1.如圖，將一個邊長為 1的正方形紙片 ABCD折疊，使點B落在邊AD上 不與A、D重 合.MN為折痕，折疊后 B'C'與DN交于P.(1)連接BB 那么BB'與MN的長度相等嗎？為什么?(2)設BM=y , AB &

10、#39;=x,求y與x的函數關系式；MNC 'B'面積最??？并驗證你的猜想.(3)猜想當B點落在什么位置上時，折疊起來的梯形2.一根30cm、寬3cm的長方形紙條，將其按照圖示的過程折疊 (陰影部分表示紙條的反面)， 為了美觀，希望折疊完成后紙條兩端超出點P的長度相等，則最初折疊時，求 MA的長 3.如圖，矩形紙片 ABCD, AB=/6 , BC標 .第一次將紙片折疊，使點 B與點D重合， 折痕與BD交于點Q； QD的中點為Di,第二次將紙片折疊使點 B與點D1重合，折痕與 BD 交于點Q;設QD的中點為C2,第三次將紙片折疊使點 B與點D2重合，折痕與BD交于點 Q,.按上

11、述方法，第 n次折疊后的折痕與 BD交于點Oi,則BO=, BQ=5.下列圖案給出了折疊一個直角邊長為2的等腰直角三角形紙片（圖 1）的全過程：首先對折，如圖2,折痕CD交AB于點D;打開后，過點 D任意折疊，使折痕 DE交BC于點E, 如圖3;打開后，如圖4;再沿AE折疊，如圖5;打開后，折痕如圖 6.則折痕DE和AE 長度的和的最小值是（）參考答案一、矩形中的折登【例1】將一張長方形紙片按如圖的方式折疊，其中BC, BD為折痕，折疊后 B陰口 BH在同一條直線上，/ CBD=度.BC、BD 是折痕，所以有/ ABC = /GBC, / EBD = Z HBD 則/ CBD = 90

12、76;折疊前后的對應角相等【鞏固訓練】1.如圖所示，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點A落在點A處，再過點A折疊使折痕DE/ BC,若AB=4, AC=3貝ADE的面積是.沿BC折疊，頂點落在點 A'處，根據對稱的性質得到 BC垂直平分AA',即AF =義AA 又DE / BC,得到 ABC s AADE ,再根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求 出三角形ADE的面積=24對稱軸垂直平分對應點的連線2 .如圖，矩形紙片 ABCD中，AB=4 , AD=3 ,折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，得折痕 DG,求AG的長.由勾股定理可得 BD = 5,由對稱的性質得 ADG 色 A

13、'DG,由A'D = AD = 3,AG' = AG , 則A'B = 5 - 3 = 2,在RtAA,BG中根據勾股定理，列方程可以求出AG的值根據對稱的性質得到相等的對應邊和對應角，再在直角三角形中根據勾股定理列方程求解即可3 .把矩形紙片ABCD沿BE折疊，使得BA邊與BC重合，然后再沿著 BF折疊，使得折痕BE也與BC邊重合，展開后如圖所示，則/ DFB等于（）根據對稱的性質得到/ ABE= /CBE, / EBF=/CBF,據此即可求出/ FBC的度數，又知道 ZC=90° ,根據三角形外角的定義即可求出/DFB = 112.5 °

14、注意折疊前后角的對應關系二、紙片中的折疊【例2】如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則/ ”的度數等于（）CA:人 5 = Z2 .2/ a +/ABE=180 ° ,即 2/ a +30° =180° ,解得/ a =75° .題考查的是平行線的性質，同位角相等，及對稱的性質，折疊的角與其對應角相等，和平角為180度的性質，注意 EAB是以折痕AB為底的等腰三角形【鞏固訓練】1.如圖，將一寬為2cm的紙條，沿BC,使/ CAB=45 ° ,則后重合部分的面 積為作 CDXAB ,1. CE / AB , .1 = 7 2,根據翻折不變性，/ 1

15、 = /BCA,故/ 2=/ BCA .AB=AC .又. / CAB=45 ° ,在 RtAADC 中，AC = 2也 ,AB = 2也1Saab C = AB X CD = 2y2在折疊問題中，一般要注意折疊前后圖形之間的聯系，將圖形補充完整，對于矩形（紙片） 折疊，折疊后會形成“平行線 +角平分線”的基本結構，即重疊部分是一個以折痕為底邊的 等腰三角形ABC2.將寬2cm的長方形紙條成如圖所示的形狀，那么折痕PQ的長是如圖，作 QHL PA,垂足為 H,則QH=2cm 由平行線的性質，得/ DPA=/ PAQ=60 由折疊的性質，得/ DPA =/PAQ/ APQ=60 ,又.

16、 / PAQ=APQ=60 ,. APQ為等邊三角形， 人_ ./_ HQ在 RtAPQh, sin/HPQ =PQ32 皿 4 3 號=PQ'則 PQ = 3注意掌握折疊前后圖形的對應關系.在矩形(紙片)折疊問題中，會出現“平行線+角平分線”的基本結構圖形，即有以折痕為底邊的等腰三角形 APQ3.如圖a是長方形紙帶，/ DEF=20,將紙帶沿EF折疊成圖b,再沿BF折疊成圖c,則圖c中的/ CFE的度數是(圖a1. AD / BC,DEF=Z EFB=20° ,在圖 b 中，GE = GF, / GFC=180° -2/EFG=140° ,在圖 c 中

17、/ CFE=/GFC-/EFG=120° ,本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變.由題意知/ DEF=/EFB=20° 圖 bZGFC=140° ,圖 c 中的/ CFE= / GFC-/ EFG三、三角形中的折疊【例3】如圖，把RtAABC(/ C=90° ),使A, B兩點重合，得到折痕 ED,再沿BE折疊, C點恰好與 D點重合，則 CE AE=CD【鞏固訓練】1.在 ABC中，已知 AB=2a, Z A=30° , CD是AB邊的中線，若將 ABCgCD

18、1對折起來，折疊后兩個小 ACM BCD1疊部分的面積恰女?等于折疊前ABC的面積的一.4(1)當中線CD等于a時，重疊部分的面積等于 ;(2)有如下結論(不在“ C*于a”的限制條件下)： AC邊的長可以等于a;折疊前 的 ABC的面積可以等于 坐a2 ;折疊后，以A B為端點的線段 AB與中線CD平行且相 等.其中， 結論正確(把你認為正確結論的代號都填上，若認為都不正確填“無”).1(1)CD = 2 AB/ ACB = 90. AB = 2a , BC = a , . AC =小aSa ABC= 1 x ACX BC =申a2，重疊部分的面積為:(2)若AC = a ,如右圖180&#

19、176; - 302=75ZBDC = 180 ° - 75 . B'DC = 105 °=1053 = 1051 = Z3-75=30.AC/ B'D四邊形AB'DC是平行四邊形，重疊部分 CDE的面積等于C的面積的若折疊前 ABC的面積等于過點C作CH LAB于點H,1 x AB x CH =乎a23CH = 2 a23a2則又 tan / 1 =CHAH.AH =32a.BH =1 2a則 tan / B =CH 一Q ,得/ B = 60BH. CBD等邊三角形，/2= /4 / 3 = Z4, AD / CB2又 CB2 = BC = BD

20、 = a ,. CB2 = AD，四邊形ADCB2是平行四邊形1則重疊部分 CDE的面積是 ABC面積的1 4如右圖，由對稱的性質得，/3 = Z4, DA1 = /2又3 + /4 = Z 1 +/2242E3121ED14CB'CADHBC=DB 31. Z 4 = Z 1 AB 3/ CD注意“角平分線+等腰三角形”的基本構圖，折疊前后圖形之間的對比，找出相等的對應角和對應邊2 .在4ABC中，已知/ A=80° , Z C=30 ° ,現把 CDE沿DE進行不同的折疊得 C' DE , 對折疊后產生的夾角進行探究：(1)如圖(1)把 CDE沿DE折疊

21、在四邊形 ADEB內，則求/ 1 + /2的和；(2)如圖(2)把 CDE沿DE折疊覆蓋/ A,則求/ 1 + /2的和；(1)根據折疊前后的圖象全等可知，/1=180° -2Z CDE, Z 2=180° -2Z CED ,再根據三角形內角和定理比可求出答案；(2)連接DG,將/ ADG+ /AGD作為一個整體，根據三角形內角和定理來求；(3)將/ 2看作180° -2/CED, / 1看作2/CDE-180。，再根據三角形內角和定理來求.解：(1)如圖(1)71+7 2=180° - 2/CDE +180° - 2/CED=360°

22、; - 2( / CDE+ / CED)=360° -2 (180° - /C)=2/ C=60°(2) 連接如圖(2)DG ,71+7 2=180° - /C' - (/ ADG + / AGD ) =180° -30° - (180° -80° )=50° ;(3)如圖(3)圖Z2-Z 1=180° - 2/CED - (2/CDE - 180 ° )=360° - 2( / CDE + ZCED)=360° - 2 (180° - /C)=2

23、/ C所以：/ 2 - Z1=2ZC.由于等腰三角形是軸對稱圖形，所以在折疊三角形時常常會出現等腰三角形3 .觀察與發(fā)現：將三角形紙片 ABC （AB > AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD , 展開紙片（如圖）；在第一次折疊的基礎上第二次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF,展平紙片后得到 AEF （如圖）.小明認為 AEF是等腰三角形，你同意嗎？ 請說明理由.實踐與運用：將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE （如 圖）；再沿過點E的直線折疊，使點 D落在BE上的點D'處，折痕為EG （如圖）；再展 平紙

24、片（如圖）.求圖中/ a的大小.在第一次折疊中可得到/EAD = / FAD在第二次折疊中可得到 EF是AD的垂直平分線，則 AD± EF AEF = / AFE. AEF是等腰三角形(1)由折疊可知/ AEB = / FEB, / DEG = / BEG而/ BEG = 45° + / a因為/ AEB + Z BEG + Z DEG = 180° 所以 45 ° + 2 (45° +/ a) = 180 ° / a = 22.5 °由于角平分線所在的直線是角的對稱軸，所以在三角形中的折疊通常都與角平分線有關。要抓住折疊前

25、后圖形之間的對應關系(2)將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對折得折痕 EF,折痕與AD邊交于點巳與 BC邊交于點F;將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點A、點D都 與點F重合，展開紙片，此時恰好有 MP=MN=PQ (如圖)，求/ MNF的大小.由題意得出：工m/ e p口ZNMF= / AMN= / MNF ,.MF=NF ,由對稱性可知，MF=PF ,.NF=PF ,而由題意得出：MP=MN ,/又 MF=MF ,7MNFA MPF,圖 ./ PMF=Z NMF ,而/ PMF+ / NMF+ / MNF=180 ° , 即 3/ MNF=180 &

26、#176; , ./ MNF=60 ° ,在矩形中的折疊問題，通常會出現“角平分線+平行線”的基本結構，即以折痕為底邊的等腰三角形四、圓中的折疊【例4】如圖，正方形 ABCD勺邊長為2,。的直徑為AD,將正方形的BC邊與才EC折疊，點 B落在圓上的F點，求BE的長連接 OC OF 則 OC四 OCD(SSS) ./ OFC = / ODC = 90° ,所以/ OFE = 180° ,即點 Q F、E在一條直線上設 BE = x ,貝U EF = x , AE = 2 - x , OE = 1 + x在 RtAAEO, AE2 + AO2 = OE 2所以(2 -

27、 x) 2 + 1 = (1 + x) 2解得：x =-3用對稱關系構造勾股定理，再用勾股定理列方程求解是在折疊問題中求線段長度的常用方法【鞏固訓練】1.如圖，將半彳至為8的。O沿AB折疊，弧AB恰好經過與 AB垂直的半徑 OC1DE =萬(8 X 2 - 4) = 6OE=6-4=2 ,在RtAOEB中，根據勾股定理可得：AB = 4質注意折疊過程中形成的對應邊，利用勾股定理求解2.如圖，將弧BC沿弦BC折疊交直徑 AB于點D,若AD=5, DB=7,則BC的長是多少?連接CA CD根據對稱的性質，得：弧 CB =弧BDC/ CAB=/ CBD吆 BCD / CDAh CBD吆 BCD丁./

28、 CAD=/ CDA即 CAD是等腰三角形；過 C作 CEL AB于 E,則 AE=DE=2.5; .BE=BD+DE=9.5在 RtACB中,CE±AB, ABS CBE 得： BG=BE?AB=9.5X 12=114;故BC=元此題考查的是對稱的性質、圓周角定理、以及相似三角形的判定和性質；能夠根據圓周角定理來判斷出 CAD是等腰三角形，是解答此題的關鍵隨堂檢測1 .如圖，正方形紙片 ABCM邊長為8,將其沿EF折疊，則圖中四個三角形的周長 之和為 四邊形BCFE與四邊形B' C' FE關于直線EF對稱，則這四個三角形的周長之和等于正方形折疊前后對應邊相等2 .如

29、圖，將邊長為 4的正方形ABCD替著折痕 中點G處，求四邊形 BCFE的面積設 AE = x ,則 BE = GE = 4 - x ,在RtAAEG中，根據勾股定理有：AE2 + AG2 = GE2即：x2 + 4 = (4 - x) 2解得 x = 1.5, BE = EG = 4 -1.5 = 2.5, / 1 + /2 = 90° , / 2 + Z3 = 90°./ 1 = Z3ABC曲周長EF折疊,G使點B落在邊AD的AEG s DGP,AE EGDG = GP2 5 .一籌，解得GP =GPio310PH = GH -GP = 4 -3Z 3 = /4, tan

30、/3 = tanZ 1 =GEPf '尸FHPH4 , FH =4 XPH = 4又. / A = / D = 90°1.CF = FH = 2二S 梯形 BCFE = 12(2 +52 )X4 = 6注意折疊過程中的變與不變，圖形的形狀和大小不變，對應邊與對應角相等3將一張長為70 cm的長方形紙片 ABCD ,沿對稱軸EF折疊成如圖的形狀，若折疊后，AB與CD間的距離為60cm,則原紙片的寬 AB是()FE60cm設 AB=xcm .右圖中，AF = CE = 35 , EF = x根據軸對稱圖形的性質，得AE=CF=35-x (cm).則有 2 (35-x) +x=60

31、 ,x=10 .4.直角三角形紙片 ABC中，/ ACB=90 ° , AC < BC,如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點A落在直角邊BC上，記落點為D,設折痕與AB、AC邊分別交于點E、點F.探究：如果折疊后的 CDF與 BDE均為等腰三角形，那么紙片中/ B的度數是多少？寫 出你的計算過程，并畫出符合條件的后的圖形.CDF中，/ C=90° ,且 CDF是等腰三角形, .CF=CD / CFD4 CDF=45 ,設/ DAE=x ,由對稱性可知， AF=FD AE=DE一 1 。,一。/ FDA=2 / CFD=22.5 , / DEB=2乂 ,分類如下：當 DE=

32、DB寸，/ B=Z DEB=2x ,由/ CDE=/ DEB吆 B,彳導 45° +22.5 ° +x=4x, 解得：x=22.5 ° .此時/ B=2x=45° ;見圖形（1）,說明：圖中 AD應平分/ CAB當 BD=BE寸，貝U/ B= (180° -4x ),由 / CDEh DEB+Z B得：45+22.5+x=2x+180-4x , 解得 x=37.5 ° ,此時/ B= (180-4x) ° =30° .圖形(2)說明：/ CAB=60 , / CAD=22.5° .180 - 2x DE=

33、BE時，貝U/ B= ，2L -cc C 180° - 2x由/ CDE=/ DEB+Z B的，45+22.5+x=2x+2此方程無解.DE=B環(huán)成立.綜上所述/ B=45或30先確定 CDF是等腰三角形，得出/ CFD=ZCDF=45° ,因為不確定 BDE是以那兩條邊 為腰的等腰三角形，故需討論， DE=DB ,BD=BE ,DE=BE ,然后分別利用角的關系 得出答案即可65.如圖，雙曲線y= (x>0)經過四邊形 OABC勺頂點 A C, / ABC=90 , OC¥分OAf xx軸正半軸的夾角，AB/ x軸，將 ABCgAC翻折后得到 AB'

34、;C, B'點落在OA上，則四邊形OABC勺面積是多少？設 C(m ,) m /根據對稱的性質有：CD = CB = CB'一一, 12 m 12所以 B(m，m), A( , m ), D(m, 0)m126AB = 2 , BD =m，CD = m , OD = m則四邊形OABC的面積為：11X (AB + OD) X BD X OD X CD=1x(m+ m) X12- - 1 x mx 2'2" m 2 m=6明白折疊中的對應邊就行課后練習1.如圖，將一個邊長為 1的正方形紙片 ABCD折疊，使點B落在邊AD上 不與A、D重 合.MN為折痕，折疊后

35、B'C'與DN交于P.(1)連接BB 那么BB'與MN的長度相等嗎？為什么？(2)設BM=y , AB -x,求y與x的函數關系式；(3)猜想當B點落在什么位置上時，折疊起來的梯形MNC 'B'面積最?。坎Ⅱ炞C你的猜想.(1)BB '= MN過點 N 作 NH / BC 交 AB 于點 H),證 ABB ' HNM(2)MB ' = MB = y , AM = 1 - y, AB ' = x在 RtAABB '中BB，-寸AB 2 + AB' 2 =巾 + x2因為點B與點B'關于MN對稱，所以BQ

36、 - B'Q,則 BQ = »1 + x2由 BMQA BB'A 得BM X BA = BQ X BB '1 y = 21 + x2 x 小 + x2 = % + x2)C'BC(3)梯形MNC' B'的面積與梯形 MNCB的面積相等由(1)可知，HM = AB ' = x,BH = BM - HM = y - x,貝U CN = y - x梯形MNCB的面積為：112 (y - x + y) x 1 = 2 (2y - x) =1 (2X1(1 + x2) x)(x - 2)2 + 8.1 3當x =2時，即B點落在AD的中點時，梯形 MNC'B'的面積有最小值，且最小值是 g2.一根30cm、寬3cm的長方形紙條，將其按照圖示的過程折疊 （陰影部分表示紙條的反面）， 為了美觀，希望折疊完成后紙條兩端超出點P的長度相等，則最初折疊時，求 MA的長 將折疊這條展開如圖，根據折疊的性質可知，兩個梯形的上底等于紙條寬，即 3cm,下