《高等數學》(專科升本科)復習資料

1、高等數學（?？粕究疲土曎Y料一、 復習參考書：全國各類?？破瘘c升本科教材高等數學（一）第3版 本書編寫組 高等教育出版社二、 復習內容及方法：第一部分 函數、極限、連續(xù)復習內容 函數的概念及其基本性質，即單調性、奇偶性、周期性、有界性。數列的極限與函數的極限概念。收斂數列的基本性質及函數極限的四則運算法則。數列極限的存在準則與兩個重要的函數極限。無窮小量與無窮大量的概念及其基本性質。常見的求極限的方法。連續(xù)函數的概念及基本初等函數的連續(xù)性。函數的間斷點及其分類與連續(xù)函數的基本運算性質，初等函數的連續(xù)性。閉區(qū)間上連續(xù)函數的基本性質，即最值定理、介值定理與零點存在定理。復習要求會求函數的定義域與

2、判斷函數的單調性、奇偶性、周期性、有界性。掌握數列極限的計算方法與理解函數在某一點極限的概念，同時會利用恒等變形、四則運算法則、兩個重要極限等常見方法計算函數的極限。掌握理解無窮小量與無窮大量的概念及相互關系，在求函數極限的時候能使用等價代換。理解函數連續(xù)性的定義，會求給定函數的連續(xù)區(qū)間及間斷點；能運用閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質證明一些基本的命題。重要結論1. 兩個奇（偶）函數之和仍為奇（偶）函數；兩個奇（偶）函數之積必為偶函數；奇函數與偶函數之積必為奇函數；奇（偶）函數的復合必為偶函數；2. 單調有界數列必有極限；3. 若一個數列收斂，則其任一個子列均收斂，但一個數列的子列收斂，該數列不一定收斂

3、；4. 若一個函數在某點的極限大于零，則一定存在該點的一個鄰域，函數在其上也大于零；5. 無窮?。ù螅┝颗c無窮小（大）量的乘積還是無窮?。ù螅┝浚珶o窮小量與無窮大量的乘積則有多種可能6. 初等函數在其定義域內都是連續(xù)函數；7. 閉區(qū)間上的連續(xù)函數必能取到最大值與最小值。重要公式1. 若則；。2. 兩個重要極限公式1）；2） ，。3. 在求極限的運算中注意使用等價無窮小量的代換，常見的等價無窮小量代換有：當時， 。第二部分 一元函數微積分復習內容導數的概念及其幾何、物理意義、基本求導公式與各種求導法則，微分的概念及計算，羅爾定理、拉格朗日中值定理，洛必達法則，函數增減性的判定，函數的極值與極值

4、點、最大值與最小值，函數的凹凸性及拐點，曲線的漸近線。復習要求理解導數的定義，同時掌握幾種等價定義，即；掌握導數的幾何意義，了解導數的物理意義；掌握連續(xù)與可導的關系，即連續(xù)不一定可導，而可導一定連續(xù)；熟練掌握基本初等函數的導數公式與導數的四則運算法則、反函數與復合函數、隱函數、由參數方程確定的函數的求導法則，掌握對數求導法與高階導數的求法；理解微分的定義，明確一個函數可微與可導的關系，即可微一定可導，反之一樣；熟練掌握微分的四則運算和復合函數的微分；理解羅爾中值定理與拉格朗日中值定理，了解其幾何意義；能熟練運用洛必達法則求極限，必須記住使用洛必達法則的條件，同時應注意以下幾個問題：1.如果使用

5、洛必達法則后，問題仍然是未定型極限，且仍滿足洛必達法則的條件，則可再次使用洛必達法則，2.如果在“0/0”型或“”型極限中含有非零因子，該非零因子可以單獨求極限，不必參與洛必達法則運算，以達到簡化運算的目的，3.如果能進行等價無窮小量代換或恒等變形配合使用洛必達法則，也可以達到簡化運算的目的；會利用導數的幾何意義求已知曲線的切線方程與法線方程，會利用導數的符號判斷函數的增減性，熟練掌握函數的極值與最值的求法即需掌握以下步驟：1.求出函數的定義域，2.求出，并在函數的定義域內求出導數等于零與導數不存在的點（駐點）3.判定駐點兩側導數的符號，4.如果駐點處函數的二階導數易求，可再次求導通過在該點的

6、符號來判斷極值，5.求最值時，只需求出所有的極值點與端點的值，最大（小）者即為最大（?。┲?；掌握判斷曲線的拐點、凹凸性的一般方法：1.求出該函數的二階導數，并求出其二階導數等于零的點，2.同時求出二階導數不存在的點，3.判定上述各點兩側，該函數的二階導數是否異號，如果在的兩側異號，則（）為曲線的拐點，4.在的的取值范圍內，曲線是弧是下凹的，在的的取值范圍內，曲線弧是上凸的.；了解漸近線的定義，并會求水平漸近線與鉛直漸近線，即，則為曲線的水平漸近線，若，則稱為曲線的鉛直漸近線；重要結論1. 如果函數在點的導數存在，則在幾何上表明曲線在點（）處存在切線，且切線的斜率為，且切線方程為，當時，法線方程

7、為，2. 若函數在點處可導，那么函數在點處必定連續(xù)，反之不一定；3. 函數在點可微的充分必要條件是在點處可導，且有；4. 羅爾定理：若函數滿足以下條件：1）在閉區(qū)間上連續(xù)，2）在開區(qū)間內可導，3），則在開區(qū)間內至少存在一點，使得；5. 拉格郎日中值定理：若函數滿足以下條件：1）在閉區(qū)間上連續(xù)，2）在開區(qū)間內可導，則在開區(qū)間內至少存在一點，使得。重要公式1. 設與在點可導，則 ， 2. 設復合函數，若點處可導，在相應的點可導，則復合函數在點處可導，且有鏈式法則3. 設是由所確定，其中都為可導函數，且，則，4. 在求導數時，有時要注意對數求導法的應用5. 洛必達公式：當滿足一定條件時，有， 同時應

8、注意可轉化為“0/0”型或“”型的極限第三部分 一元函數積分學復習內容 不定積分的概念與性質，不定積分的基本公式，積分第一換元法與第二換元法，分部積分公式與應用分部積分公式時應注意的一般原則，定積分的基本概念與基本性質，牛頓-萊布尼茨公式，定積分的換元積分法與分部積分法，無窮區(qū)間上的廣義積分，求平面圖形的面積，求旋轉體體積。復習要求理解原函數與不定積分定義，了解不定積分的幾何意義與隱函數存在定理；熟練掌握不定積分的性質與不定積分的基本公式，理解積分第一換元法，即設具有原函數存在連續(xù)導函數，則有換元公式了解積分第二換元法；掌握分部積分公式，同時應注意在使用時應遵循的一般原則；理解定積分的定義與定

9、積分的幾何意義；熟練掌握定積分的性質與牛頓-萊布尼茨公式；熟練運用定積分的換元積分法與分部積分法；了解無窮區(qū)間上的廣義積分的求法；會用定積分的性質求平面圖形的面積與旋轉體的體積。重要結論1. 若為在某區(qū)間上的一個原函數，則為的所有原函數，稱為的不定積分，記為；2. 定積分表示一個數值，它只取決于函數與積分區(qū)間，與積分變量無關，即；3. 如果函數在區(qū)間上連續(xù)，則定積分必定存在；4. 以及軸所圍成的曲邊梯形的面積等于；5. 如果在區(qū)間上連續(xù)，則在上至少存在一點，使得；6. 如果在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限函數在區(qū)間內可導，且；7. 若是區(qū)間上的連續(xù)函數，則。重要公式1. 先積分后求導，作用抵消，即先求

10、導后積分，相差一個常數，即2. 分部積分公式：3. 牛頓-萊布尼茨公式：1）如果在區(qū)間上連續(xù)，2）為在內的一個原函數，則。4. 定積分的換元公式：設在區(qū)間上連續(xù)，函數滿足以下條件：1）2）在上為單值、有連續(xù)導數的函數，則有。第四部分 空間解析幾何復習內容平面方程的基本概念、直線方程的基本概念，簡單的二次曲面。復習要求了解平面的點法式方程與一般式方程、了解特殊的平面方程、兩個平面之間的關系：垂直、平行、重合，會通過已知條件建立平面方程，掌握直線的標準式方程與一般方程，了解直線之間的關系以及直線與平面之間的關系，會根據已知條件建立直線方程，了解常見的二次曲面，即柱面方程、球面方程、橢球面方程、錐面

11、方程、旋轉拋物面方程.重要結論1. 設有平面平面與相互垂直的充分必要條件是，平面與平行的充分必要條件是，平面與重合的充分必要條件是，2. 建立平面方程常用平面點法式：1） 過點作平行于的平面方程，取及即可，2） 過點作垂直于向量的平面方程，只需取平面法線向量及點即可，3） 過點，作平面方程，利用平面的一般式方程，設所求的平面為，將已給的三點的坐標代入平面方程，可以得到一個以為未知量的方程組，求出即可，3. 設有直線 直線與平行的充分必要條件為， 直線與垂直的充分必要條件為，4. 設直線與平面的方程為1） 直線與平面垂直的充分必要條件是2） 直線與平面平行的充分必要條件是3） 直線落在平面上的充

12、分必要條件是5. 建立直線方程，常用直線的標準式方程，只需確定直線上的一點及直線的方向向量，即1） 作過點，且垂直與平面的直線方程，取及方向向量即可，2） 作過點，的直線方程，取=及方向向量即可第五部分 多元函數微積分學復習內容二元函數的概念及幾何意義，多元函數的概念，二元函數的極限與連續(xù)性以及連續(xù)性的基本性質，偏導數的定義，全微分的概念與基本性質，二階偏導數，復合函數微分法、隱函數微分法，二元函數的極值與條件極值，二重積分的概念與基本性質，直角坐標系下二重積分的計算、極坐標系下二重積分的計算，二重積分的應用。復習要求了解二元函數的定義，會求二元函數的定義域，掌握二元函數的連續(xù)性與連續(xù)的基本性

13、質；理解二元函數偏導數的定義及幾何意義；掌握全微分的定義極其存在的基本性質，會求二元函數的二階偏導數與復合函數的鏈式法則。理解隱函數微分法；熟練掌握二元函數極值的求法，了解二元函數的條件極值；理解二重積分的概念，掌握二重積分的基本性質，熟練掌握在直角坐標系與極坐標系下二重積分的計算問題；了解二重積分的應用重要結論1. 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數，在區(qū)域上必能取得最大值與最小值，2. 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數，在區(qū)域上必能取得介于最大值與最小值之間的任何值，3. 如果在點處的偏導數為連續(xù)函數則在點處可微分，且，4. 設函數在點的某個鄰域內具有連續(xù)的一階和二階偏導數，又記，則（1）當時，在點處取得極值，

14、且當時，取得極大值，時取得極小值；（2）當時，不是極值點；（3）當，點是否為極值點需進一步判定。5. 在D上若，且D的面積為，則有，重要公式1. 鏈式法則：設，在一定條件下，有，2. 一元隱函數求導：設對存在連續(xù)偏導數，且，則由確定的函數對的導數為，3. 二元隱函數求導：設，其中為的二元函數，對存在連續(xù)偏導數，且，則，4. 直角坐標系下二重積分的計算：1）若，則，2）若，則3） 若，則，5. 極坐標系下二重積分的計算：1）若，則=。2） 若極點O在區(qū)域D的邊界上，積分區(qū)域可表為，則。3） 若極點O在區(qū)域D的內部，積分區(qū)域可表為，則二重積分可化為第六部分 無窮級數復習內容數項級數的概念，級數的收

15、斂與發(fā)散，級數的基本性質，級數收斂的必要條件，正項級數收斂性的判別法與任意項級數收斂性的判別法；冪級數的概念與基本性質。復習要求理解級數收斂、發(fā)散的概念，掌握級數收斂的必要條件，了解級數的基本性質，會熟練使用比較判別法與比值判別法判別正項級數的收斂性，掌握幾何級數、調和級數、與級數的收斂性，了解級數絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。了解冪級數的概念及在其收斂區(qū)間內的基本性質，會求冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間，會利用常見函數的麥克勞林公式，將一些簡單的初等函數展開為冪級數。重要結論1. 在一個級數的前面去掉或添加有限項，不改變級數的收斂性，2. 若收斂，則必有，但反之不一定，3. 冪級數在收斂區(qū)間內可以逐項積分（求導），且積分（求導）后所得到的冪級數的收斂半徑不變重要公式1. 三個常用的標準級數：1），2）發(fā)散（調和級數），3）級數2. 比值判別法：設為正項級數，且，則1）當時，收斂，2）當時，發(fā)散，3）當時，收斂性需進一步判定，3. 收斂半徑的求法：設冪級數的系數有，則1）當時，有，2）當時，定義，3）當，定義，第七部分 常微分方程復習內容微分方程的定義，初始條件，特解，可分離變量的方程，一階線性方程；二階線性微分方程解的結構，二階常系數齊次線性微分方程，二階常系數非齊次線性