難點27求空間的角

1、難點27 求空間的角空間的角是空間圖形的一個要素，在異面直線所成的角、線面角、二面角等知識點上，較好地考查了學(xué)生的邏輯推理能力以及化歸的數(shù)學(xué)思想.難點磁場()如圖，l為60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角頂點P在l上，M,N,且MP與所成的角等于NP與所成的角. (1)求證：MN分別與、所成角相等；(2)求MN與所成角.案例探究例1在棱長為a的正方體ABCDABCD中，E、F分別是BC、AD的中點.(1)求證：四邊形BEDF是菱形；(2)求直線AC與DE所成的角；(3)求直線AD與平面BEDF所成的角；(4)求面BEDF與面ABCD所成的角.命題意圖：本題主要考查異面直線所成的

2、角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強(qiáng)，屬級題目.知識依托：平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角.錯解分析：對于第(1)問，若僅由BE=ED=DF=FB就斷定BEDF是菱形是錯誤的，因為存在著四邊相等的空間四邊形，必須證明B、E、D、F四點共面.技巧與方法：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法.求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法.(1)證明：如上圖所示，由勾股定理，得BE=ED=DF=FB=a,下證B、E、D、F四點共面，取AD中點G，連結(jié)AG、EG，由EGABAB知，BEGA是平行四邊形.BEAG,又AF DG,AGDF為平行四邊形.AGFD，B、

3、E、D、F四點共面故四邊形BEDF是菱形. (2)解：如圖所示，在平面ABCD內(nèi)，過C作CPDE，交直線AD于P，則ACP(或補(bǔ)角)為異面直線AC與DE所成的角.在ACP中，易得AC=a，CP=DE=a,AP=a由余弦定理得cosACP=故AC與DE所成角為arccos. (3)解：ADE=ADF,AD在平面BEDF內(nèi)的射影在EDF的平分線上.如下圖所示.又BEDF為菱形，DB為EDF的平分線，故直線AD與平面BEDF所成的角為ADB在RtBAD中，AD=a，AB=a,BD=a則cosADB=故AD與平面BEDF所成的角是arccos.(4)解：如圖，連結(jié)EF、BD，交于O點，顯然O為BD的中

4、點，從而O為正方形ABCDABCD的中心.作OH平面ABCD，則H為正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足為M，連結(jié)OM，則OMDE，故OMH為二面角BDEA的平面角.在RtDOE中，OE=a,OD=a,斜邊DE=a,則由面積關(guān)系得OM=a在RtOHM中，sinOMH=故面BEDF與面ABCD所成的角為arcsin.例2如下圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱AA1長為b,且AA1與AB、AD的夾角都是120°.求：(1)AC1的長；(2)直線BD1與AC所成的角的余弦值.命題意圖：本題主要考查利用向量法來解決立體幾何問題，屬級題目.知

5、識依托：向量的加、減及向量的數(shù)量積.錯解分析：注意=,=120°而不是60°,=90°.技巧與方法：數(shù)量積公式及向量、模公式的巧用、變形用.BD1與AC所成角的余弦值為.錦囊妙計空間角的計算步驟：一作、二證、三算1.異面直線所成的角 范圍：0°90°方法：平移法；補(bǔ)形法.2.直線與平面所成的角 范圍：0°90°方法：關(guān)鍵是作垂線，找射影.3.二面角方法：定義法；三垂線定理及其逆定理；垂面法.注：二面角的計算也可利用射影面積公式S=Scos來計算殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題1.()在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為DD1的中點

6、，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點，則直線OP與直線AM所成的角是( )A.B.C.D.2.()設(shè)ABC和DBC所在兩平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,CBA=CBD=120°,則AD與平面BCD所成的角為( )A.30°B.45°C.60°D.75°二、填空題3.()已知AOB=90°,過O點引AOB所在平面的斜線OC，與OA、OB分別成45°、60°，則以O(shè)C為棱的二面角AOCB的余弦值等于_.4.()正三棱錐的一個側(cè)面的面積與底面積之比為23,則這個三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為_.

7、三、解答題5.()已知四邊形ABCD為直角梯形，ADBC，ABC=90°,PA平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的長；(2)求異面直線PC與BD所成角的余弦值的大小；(3)求證：二面角BPCD為直二面角.6.()設(shè)ABC和DBC所在的兩個平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120°求：(1)直線AD與平面BCD所成角的大??；(2)異面直線AD與BC所成的角；(3)二面角ABDC的大小.7.()一副三角板拼成一個四邊形ABCD，如圖，然后將它沿BC折成直二面角.(1)求證：平面ABD平面ACD；(2)求AD與BC所成的角；(3)求二面角ABD

8、C的大小.8.()設(shè)D是ABC的BC邊上一點，把ACD沿AD折起，使C點所處的新位置C在平面ABD上的射影H恰好在AB上.(1)求證：直線CD與平面ABD和平面AHC所成的兩個角之和不可能超過90°；(2)若BAC=90°，二面角CADH為60°，求BAD的正切值.參考答案難點磁場(1)證明：作NA于A，MB于B,連接AP、PB、BN、AM，再作ACl于C，BDl于D，連接NC、MD.NA,MB,MPB、NPA分別是MP與所成角及NP與所成角，MNB，NMA分別是MN與,所成角，MPB=NPA.在RtMPB與RtNPA中，PM=PN，MPB=NPA，MPBNPA，

9、MB=NA.在RtMNB與RtNMA中，MB=NA，MN是公共邊，MNBNMA，MNB=NMA，即(1)結(jié)論成立.(2)解：設(shè)MNB=,MN=a,則PB=PN=a,MB=NA=asin，NB=acos,MB,BDl,MDl,MDB是二面角l的平面角，MDB=60°，同理NCA=60°,BD=AC=asin,CN=DM=asin,MB，MPPN，BPPNBPN=90°,DPB=CNP,BPDPNC,整理得，16sin416sin2+3=0解得sin2=,sin=，當(dāng)sin=時，CN=asin= aPN不合理，舍去.sin=,MN與所成角為30°.殲滅難點訓(xùn)

10、練一、1.解析：(特殊位置法）將P點取為A1，作OEAD于E，連結(jié)A1E，則A1E為OA1的射影，又AMA1E，AMOA1，即AM與OP成90°角.答案：D2.解析：作AOCB的延長線，連OD，則OD即為AD在平面BCD上的射影，AO=OD=a,ADO=45°.答案：B二、3.解析：在OC上取一點C，使OC=1，過C分別作CAOC交OA于A，CBOC交OB于B，則AC=1，OA=，BC=，OB=2，RtAOB中，AB2=6，ABC中，由余弦定理，得cosACB=.答案：4.解析：設(shè)一個側(cè)面面積為S1，底面面積為S，則這個側(cè)面在底面上射影的面積為，由題設(shè)得，設(shè)側(cè)面與底面所成二

11、面角為,則cos=,=60°.答案：60°三、5.(1)解：因為PA平面AC，ABBC,PBBC,即PBC=90°,由勾股定理得PB=.PC=.(2)解：如圖，過點C作CEBD交AD的延長線于E，連結(jié)PE，則PC與BD所成的角為PCE或它的補(bǔ)角.CE=BD=，且PE=由余弦定理得cosPCE=PC與BD所成角的余弦值為.(3）證明：設(shè)PB、PC中點分別為G、F，連結(jié)FG、AG、DF，則GFBCAD，且GF=BC=1=AD，從而四邊形ADFG為平行四邊形，又AD平面PAB，ADAG，即ADFG為矩形，DFFG.在PCD中，PD=，CD=，F(xiàn)為BC中點，DFPC從而D

12、F平面PBC，故平面PDC平面PBC，即二面角BPCD為直二面角.6.解：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過A作AHBC，垂足為H，則AH平面DBC，ADH即為直線AD與平面BCD所成的角.由題設(shè)知AHBAHD，則DHBH，AH=DH，ADH=45°(2)BCDH，且DH為AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD與BC所成的角為90°.(3)過H作HRBD，垂足為R，連結(jié)AR，則由三垂線定理知，ARBD，故ARH為二面角ABDC的平面角的補(bǔ)角.設(shè)BC=a,則由題設(shè)知，AH=DH=,在HDB中，HR=a，tanARH=2故二面角ABDC大小為arctan2.7.(1)證明：取B

13、C中點E，連結(jié)AE，AB=AC，AEBC平面ABC平面BCD，AE平面BCD，BCCD，由三垂線定理知ABCD.又ABAC，AB平面BCD，AB平面ABD.平面ABD平面ACD.(2)解：在面BCD內(nèi)，過D作DFBC，過E作EFDF，交DF于F，由三垂線定理知AFDF，ADF為AD與BC所成的角.設(shè)AB=m，則BC=m，CE=DF=m,CD=EF=m即AD與BC所成的角為arctan(3)解：AE面BCD，過E作EGBD于G，連結(jié)AG，由三垂線定理知AGBD，AGE為二面角ABDC的平面角EBG=30°，BE=m,EG=m又AE=m,tanAGE=2,AGE=arctan2.即二面角ABDC的大小為ar