《線(xiàn)性代數(shù)》同濟(jì)大學(xué)版課后習(xí)題答案詳解

1、?線(xiàn)性代數(shù)?同濟(jì)大學(xué)版 課后習(xí)題答案詳解第一章 行列式i利用對(duì)角線(xiàn)法那么計(jì)算以下三階行列式1 1b cb2 c2bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2(a b)(b c)(c a)21121113048xy xy(4)y xyxx yxyxyxy解yx yxx yxyc abb c aa b cx(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3323333xy(x y) y 3x y x y x2(x3 y3)2按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序求以下各排列的逆序數(shù)a b c解 b c acabacb bac cba bbb aaa ccc3abc a3 b3 c3111

2、(3)ab ca2 b2 c2(1) 1 2 3 4解逆序數(shù)為0(2) 4 1 3 2解 逆序數(shù)為441 43 42 32(3) 3 4 2 1解逆序數(shù)為53 2 3 1 4 2 4 1,2 1(4) 2 4 1 3解逆序數(shù)為32 1 4 1 4 3(5) 1 3(2n 1) 2 4(2n)逆序數(shù)為n(n 1)23 2 (1 個(gè))5 2 5 4(2 個(gè))7 2 7 4 7 6(3 個(gè))(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6(2n 1)(2n 2) (n 1 個(gè))(6)1 3(2n 1) (2n) (2n 2)2解逆序數(shù)為n(n 1)3 2(1 個(gè))5 2 5 4 (2 個(gè))(2n 1)

3、2 (2n 1)4 (2n 1)64 2(1 個(gè))6 2 6 4(2 個(gè))(2n 1)(2n 2) (n 1 個(gè))(2n)2 (2n)4 (2n)6(2n)(2n 2) (n 1 個(gè))3寫(xiě)出四階行列式中含有因子ana23的項(xiàng)解 含因子ana23的項(xiàng)的一般形式為(1)tana23a3ra4s其中rs是2和4構(gòu)成的排列這種排列共有兩個(gè)即24和42所以含因子ana23的項(xiàng)分別是t1(1)ta11a23a32a44 ( 1)S1a23a32a44a11a23a32a44t2(1) ana23a34a42 ( 1) ana23a34a42 ana23a34a424計(jì)算以下各行列式420 7202 112

4、5 141100142072021125141001234 -IoT102T23T024c2Q1-29090T41100QcqT02 4202 1123 01O2MO11224236112023150202423611202 315Q cc 1122423611202315231202004 23 41121oo 2004 23011202 310acCMaadeefabacaebcea2abb2ca2 ab a2 b2 a2解bdcddeadfbce2aa b2b2ab a2b 2abfcfefbce111c3q10011adfbce 114abcdef(1)31abba2 ab22ba22

5、a(ba)(b(a b)3a 10 01 b 1 0ax by ay bz az bxx y z01 c 1(2)ay bz az bx ax by(a3 b3)y z x0 01 daz bx ax by ay bzz x y證明a 10 0r aro0 1 ab a 01 b 1 01 15 21 b 1 001 c 101 c 10 01 d001 d解1)(ab10C3dC21ab10adcd01)(1)3ab1ad1 cdabcd ab cd ad5證明:(1)a22a1aba b1b22b1(ab)3；證明axayazbybzbxxayza2ay bz az bx az bx ax

6、 by ax by ay bzayazaxayazaxbz az bx ax by aybzbxbybxbybzb2xyza3azaxayy zxay az ax1bt)2b42 41dd dX y z3 ay z X(a b)(a c)(a d)(b c)(b證明d)(c d)(a b c d);a2 (a1)2 (a2)2 (ab2(b儼(b2)2(bc2(c1)2(c2)2(cd2(d1)2(d2)2(do32 2 2 2 abedabed/ / rll2 2 2 2 x7 x7 1111abed2 2 2 2 Q2)刁2)得C1C21aa2a41bb24 2 4dd2 2 2 2 ab

7、 cd2a2b2c2d11112a2b2c2d33 3322 2222 221111ab cd22 222 2 2 2ab cd100 b(b0 b2(b2(b1 b a a) a2) c2(c2a)(ca)(d1 c c(c1 d d(d2aa)a2) d2(d1bb2(b a)aa)a2)1 c c2(ca)1dd2(d a)(b a)(c a)(d a)1 1 0c b1 d b(C4 C3 03 c得)0 c(c b)(c b a) d(db)(d b a)5 5 52a2b2c2d(b a)(c a)(d a)(c b)(d b)c(c b a) d(d a)=(a b)(a c)(

8、a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d)X10000X100(5)Xn a1xn 1an 1X an000X1anan 1an 2a2x a1證明用數(shù)學(xué)歸納法證明X 12當(dāng)n2時(shí) DX QX a2命題成立M2 X«iDn 1 xn 1 a1 xn 2an 2x an 1那么Dn按第一列展開(kāi)有1000DnXDn 1 an(1)n 1X10011X1XD n 1 an Xn a1Xn 1an1X an假設(shè)對(duì)于(n 1)階行列式命題成立即因此對(duì)于n階行列式命題成立D2Dian1aii1)n1(1)12同理可證n(n 1) Mu(1) 2a1nMnnM1n1)naii1 an

9、ia21a1nai1a2nMnn(n 2) (n 1)dan1annM1nannM2nn(n 1)(1)PDn(n 1)(1)T dtn(n 1)(1)D6設(shè)n階行列式D det(aj),把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90、或依副對(duì)角線(xiàn) 翻轉(zhuǎn)依次得an1annainannanna1nD1D2D3a11a1nal1an1an1a11n(n 1)證明 D1 D2 (1) 2 D D3 d證明 因?yàn)镈 det(aij)所以n(n 1)n(n 1)n(n 1)D3 ( 1)2 D2(1) 2 ( 1) 2 D ( 1)n(n 1)D D7計(jì)算以下各行列式(Dk為k階行列式)a1(1)Dn,其中對(duì)角線(xiàn)上元素

10、都是 a未寫(xiě)岀的元素都是01a解Dna000a000a0001000 10 00 0a 00 a按第n行展開(kāi)x a aa x x a 0a x 0 x aa x 000再將各列都加到第一列上得1OOoooooooo ao ao1n)a 0(n 1) (n 1)a(1)2n aa(n 1) (n 1)(1)n1 (1)nan an an 2 an 2(a2 1)(n 2)(n 2)解根據(jù)第Dn 1Dn解將第一行乘1分別加到其余各行得a a oX a a o X aan (a 1)nan 1 (a 1)n 1X (n 1)a(x a)n 1000 x a(a n)n(a n)n 1a a 1an1

11、 1 16題結(jié)果n(n 1)(1) 2此行列式為范德蒙德行列式n(n6 1 ( 1) 2an1an(a(a1)n 11)n(a(an)n1n)n(aj 1i 1)(a j1)n(n 1)(1)丁 (i j)n 1 i j 1n(n 1)n (n 1)(1) 2 ( 1)(i j)n 1 i j 11_ (i j)n 1 i j 1解bnq d1Jdnbna1 Qc1 d1dn按第1行展開(kāi)an 1bn 1 0a1 $anc1 d1Cn 1dn 1 000 dn0 an 1bn 1a1 b1(1)2n 1bnC1 d1Cn 1dnCn0再按最后一行展開(kāi)得遞推公式D2n andnD2n 2 bnCn

12、D2n 2 即卩 D2n (andn bnCn)D2n2n于是D2nGdj bGD?i 2D2c1n所以 D2n(qdjg)i 1(5) D det)其中 aj |i j|;解aij |i j|dnD4321 on3210 1n2101 2nX 012 3n123 4o n n n nC1 C2C2C3X1 114n3n2nX1m o02220022000Xn5n242n3n20000n)2ai還000anan0 0a20a3 a3110000 01 01 10 00 01a111(6) Dn11 a21,其中 a1a2an 0111an解1 a111Dn11 a21111an(罕2an)(1

13、8用克萊姆法那么解以下方程組001001001an 1 an 110an 1 an00a1100a2100a3111an1101 1 an100a1100a2100a3101an11n0 0 1 ai1i 100 06 51O OO106 51065 100510000 006 5o 06510 65106 51005 1000 為因 c075000 6 50065106510651001OOO1u0006500651065101OO06 500 6511O OO165 100510000X42X42X42655111451145TTTT284145TT7223XIX

14、2233T TT52242X1231123T145TT1123522123522TT112 3T T T112 341XX21141X2X321D2X231 1得 o D 令1OO O1006 51065 10651 oo51o oo02或 3于是當(dāng) 02或 3時(shí) 該齊次線(xiàn)性方程組有非零解第二章矩陣及其運(yùn)算1線(xiàn)性變換3 1507 x兒 665321145 266537032439524壽6656653322309問(wèn)取何值時(shí)齊次線(xiàn)性方程組323 0有非零解？32 x22 0解系數(shù)行列式為% 2yy2 y2X1X2X3求從變量21 22 23到變量:y1y2y3的線(xiàn)性變換

15、解由3221y1321y2232y2yi221121749y故Y231522637y2y232323324y31 1D1 11 2 1令D 0得0或1于是當(dāng) o或1時(shí)該齊次線(xiàn)性方程組有非零解(1)212x2 4x3 010問(wèn)取何值時(shí)齊次線(xiàn)性方程組221(3)x2 x30有非零22(1)23 0解？解系數(shù)行列式為2兩個(gè)線(xiàn)性變換X12y1y3y13弓 z2x22y13y22y3y22z1Z3x4%y2 5y3出Z2 3Z3求從Z1Z2 Z3 至 UX1 X2 x3的線(xiàn)性變換解由Ix120 1 *20 1310召X22 3 2 y223 2201Z2X341 5 *241 5013Z36 13 Z1

16、124 9 Z2101 16Z3x16ZZ2 3Zj所以有x212 4Z2 9ZjX310z1Z2 16z31 11 1233設(shè)A1 11 B124 求 3AB2A 及 AtB1 11 0511 1 112 3111解3AB 2A31 1112 421111 1 105 11110 5811113223 056211117'202 9011 1429211112 3058AT B 11112 405611105 12904計(jì)算以下乘積4 3 17(1) 12 325 7 014 3 1747 32 1135解 12 3217(2)2 3165 7 0157 72 01493(1 2 3

17、) 213解(1 2 3) 2(13 2 2 3 1) (10)12 1(1 2)322(i) 2224解i(i 2)i(i) i2i233(i) 3236i3i2i4 00i2ii3 4i3i402i3i2i4 00i2678解ii 3 4i3i2056402aiiai2ai3Xi(5)(XiX2 X3) ai2a22a23X2ai3a23a33X3解ai1 ai2 ai3X1(X1 X2 X3) ai2 a22 a23X2ai3 a23 a33X35 設(shè) A i2 B i(i)AB BA 嗎?解 AB BA因?yàn)锳B(A B)2 A234 BA2AB B2 嗎?解 (A B)2 A2 2AB

18、因?yàn)锳B2(AB)2A2 2ABB28ii所以(A B)2 A2(A B)(A B) A2 B2 嗎? 解(A B)(A B) A22AB B2B28i2所以AB8i4i429BAi0 i6i5 27X!(aiixiai2x2ai3x3ai2xia22x2a23x3ai3xia23x2a33x3)X2Xaiixi a22x2 a33x3 2ai2xix2 2ai3xi x3 2還3滄因?yàn)锳 B(A B)(AB)故(A B)(A B) A2 B26舉反列說(shuō)明以下命題是錯(cuò)誤的(1)假設(shè) A2 0 貝 U A 0解取A那么A2 0但A 0假設(shè)A2 A那么A 0或A E解取A那么A2 A但A 0且A

19、E假設(shè)AX AY且A 0那么X Y1 OYXo O1 OA那么AX AY且A 0但X Y7 設(shè) A 11 求 A2 A3Ak解A210 101 1A3 A2A10 102 1 1Ak1 08設(shè)A 01求Ak0 010102 2 1A201010 2 2000 00 0 23 3 23A3A2A0 33 20 03解首先觀察4 4 3 6 2A4 A3 A 04 4 30 0 4A5A4 A005 5 405kkk 1k(kD k 2Ak0k2 kk 100k用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)k 2時(shí)顯然成立5 5 4 10 354假設(shè)k時(shí)成立，那么k 1時(shí),Ak 1 A Ak(k 1) k211求以下矩陣的逆

20、矩陣(1)|A| 1故A 1存在因?yàn)?k1)(k 1)k廠(k 1)k 1A*A11 A21A2 A22由數(shù)學(xué)歸納法原理知k(k 1) k 2故 A1丄A*|A| cos sin(2).sin cosAk解 ACcOs|A| 1 0 故 A1 存在因?yàn)锳)1 A21cos sinA2 A22 sin cos所以A1 A*cossin|A|sincos121(3) 34241|A| 2故A 1存在因?yàn)?設(shè)A B為n階矩陣，且A為對(duì)稱(chēng)矩陣，證明 BtAB也是對(duì)稱(chēng)矩陣證明因?yàn)锳t A所以(BtAB)t Bt(BtA)t btatb btab從而btab是對(duì)稱(chēng)矩陣10設(shè)A B都是n階對(duì)稱(chēng)矩陣，證明AB

21、是對(duì)稱(chēng)矩陣的充分必要條件是 AB BA 證明 充分性 因?yàn)锳T A BT B且AB BA 所以(AB)T (BA)T ATBT AB即AB是對(duì)稱(chēng)矩陣必要性 因?yàn)锳T A BT B 且(AB)t AB 所以AB (AB)t BtAt BA3 5 4 62 2312 2 10 826m4133212 3 AAA12 3AAA12 3AAA12 1 12 1 01 1 1TT T12-3 O11 4 28- 3 X1- 34 2To 1TT T3 o4 2T TX1XX1 o11-4X1-2 113 7213216A*丄內(nèi)4A0(a1a2an 0)an0由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知a1a2(4)0ai a21

22、a1 10A1a20丄an12解以下矩陣方程3 1040 2 .12 1 o 1 o 001100X0011000100100011003 104 0212 1001100010X解0 10 1431002101 00 2010011340 01 12001010213利用逆矩陣解下列線(xiàn)性方程組X12x23x31(1)2占2x?5X323兇5x2X33解方程組可表示為2 3X2 5X25 1X3X112 3111故X222 520X335 130x 1從而有x2 0X30X1X2X3 2(2)2x1x2 3x313x(2x2 5x30解方程組.可表示為111 X2213 X21325 X30X

23、!1 11125故X22 1310X33 2503X5故有X20X3314設(shè)Ak O k為正整數(shù)證明(EA) 1E A A2A證明 因?yàn)锳k O 所以E Ak E又因?yàn)镋 Ak (E A)(E A A2Ak 1)所以 (E A)(E A A2Ak 1) E由定理2推論知(E A)可逆 且(E A) 1 E A A2Ak 1證明 一方面 有E (E A) 1(E A)另一方面由Ak O有E (E A) (A A2) A2Ak 1 (Ak 1 Ak)(E A A2Ak 1)(E A)故(E A) 1(E A) (E A A2Ak 1)(E A)兩端同時(shí)右乘(E A) 1就有(E A) 1(E A)

24、 E A A2Ak 115設(shè)方陣A滿(mǎn)足A2 A 2E O 證明A及A 2E都可逆 并求A 1及(A 2E) 證明由A2 A 2E O得A2 A 2E 即 A(A E) 2E或 A !(A E) e2由定理2推論知a可逆且A 11 (A E)2由A2 A 2E O得A2 A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E或 (A 2E) 4(3E A) E1由定理2推論知(A 2E)可逆 且4(A 2E) 1 f(3E A)16設(shè)A為3階矩陣解因?yàn)锳 1 A*所以|A|求 |(2A) 1 5A*|(2A) 1 5A*| |2a1 5|A|A1| |A1 |a1| 2A 1| ( 2)3A 1|8|

25、A| 18 21617設(shè)矩陣A可逆證明其伴隨陣 A*也可逆 且(A*) 1 (A 1)*證明 由A2 A 2E O得A2 A 2E兩端同時(shí)取行列式得|A2 A| 2即|A|A E| 2故|A| 0所以A可逆 而A 2E A2 |A 2E| A2| |A|2 0 故A 2E也可逆1證明 由A 1A*得A* |A|A 1所以當(dāng)A可逆時(shí) 有|A|A*| |A|n|A 11 |A|n 1 0從而A*也可逆因?yàn)锳* |A|A 1所以(A*) 1 |A| 1A由(A1)* |AKA1)(A*) 1 |A| 1A A| 1|A|(A 1)* (A 1)*所以18設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*證明由A2 A 2

26、EOA(A E)2EA 1A(AE)2A 1EA1 2(A E)又由A2 A 2EO(A 2E)A3(A 2E) 4E(A 2E)(A3E)4 E所以(A 2E) 1(>A 2:E)(A 3E)4(A 2 E) 1(1) 假設(shè) A| 0 那么|A*| 0(2) |A*| A|n 1證明(1)用反證法證明假設(shè)A*| 0那么有A*(A*) 1 E由此得A A A*(A*) 1 A|E(A*) 1 O所以A* O這與|A*| 0矛盾，故當(dāng)A| 0時(shí) 有A*| 01 1由于A 1A*那么AA* |A|E取行列式得到|A|A|A*| A|n假設(shè) |A| 0 那么 A*| |A|n 1假設(shè)|A| 0

27、由(1)知|A*| 0此時(shí)命題也成立因此 |A*| |A|n 10 3 319 設(shè) A 11 0 AB A 2B 求 B1 2 3解由AB A 2E可得(A 2E)B A故2 33 10303B (A 2E)1A1 1011121 2112111 0120 設(shè) A 0 20且ABE A2 B求B解由AB E A2 B得(A E)B A2 E即(A E)B (A E)(A E)0 0 1因?yàn)?|A E| 0 1 01 0 所以(A E)可逆從而1 0 02 0 1BAE 0301 0 221 設(shè) A diag(1 2 1) A* BA 2BA 8E 求 B解由A*BA 2BA 8E得(A* 2E

28、)BA 8EB 8(A* 2E) 1A 18A(A* 2E) 18(AA* 2A) 18(|A|E 2A) 18( 2E 2A) 14(E A) 14diag(2 1 2) 11 14diag(；,1冷)2diag(1 2 1)10 0 00 10 0 22矩陣A的伴隨陣A10 1003 0 8且 ABA 1 BA 1 3E 求 B解由 |A*| A|3 8 得 A| 2由 ABA 1 BA 1 3E 得AB B 3AB 3(A E) 1A 3A(E A 1) 1A3(E A*) 1 6(2E A*) 16 0 0 00 6 0 06 0 6 00 3 0123設(shè)P 1AP其中P求A11得 A

29、 P P 1 所以 A11 A=P 11P 1|P| 3P*1 41 1亠11而1102故A1111411 0 0 211124設(shè)APp 其中P 11解由P 1APP1 114P 3111 00 2111433273127321168368433111021115求(A) A8(5E 6A A2)解()8(5E 62)diag(1 1 58)diag(5 5 5) diag( 6 6 30) diag(1 1 25) diag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 0 0)(A) P ( )P 1p 111.1門(mén) 210112 1000000100111411111125設(shè)

30、矩陣A、B及A B都可逆 證明A 1 B 1也可逆并求其逆陣證明因?yàn)锳 1(A B)B 1 B 1 A 1 A 1 B 1而A 1(A B)B 1是三個(gè)可逆矩陣的乘積所以A 1(A B)B 1可逆 即A 1 B 1可逆(A 1 B 1) 1 A 1(A B)B 1 1 B(A B) 1A12 10 103126計(jì)算1 2設(shè)A 12A20 3B1B2A1 E E B1O A O B2A| A| B1B2OA? B2求 A8|及 A4A8O101624 02點(diǎn)2。A8|A8| IA8l|A2l IAI8IA854 00 54A4 o o a4A428B都可逆求設(shè)n階矩陣A及s階矩陣29C2C4En

31、 OO Esac3 ac4BC1 BC2C1 C2C3 C4(1)式 O A解設(shè)B O2 45 23 3 3 92 0 4 02 4 3 92 4 3 95 2 4 05 2 4 02 10 02 10 01 o o o1000ibdiaiqB DA c證驗(yàn)4o 11 oo 22 o3 22 11 o艮B-A3 32 o1 32 oAAoeb2E oE A113 33 2 2 0010010000 11310 2 02 10 01000o 110DcBA取27000100100 2 02 0 0o 1O 1101001011010B DA c解oT Tdi di舊QAlclB D Alcll2

32、 5 0 012 0 00 0 3 20 0 8 52 10 0貝2 53 28 5 123 8B1 2 52 1 2 15 2 5 2A 1 3 2設(shè) A 8 5co 43 1Bo 20 0 40 3 12 12 A12 12 10 0oEs LJOA c 1B 1A o o B 3 4 12 c c c COA2 4D D1 3D DA o I B 12 3 4 D D D Dddeadcn ) s E o o E3 4 12 c c c c A A B B得匕止由o BA c設(shè)解2 4D D1 3D Dso E3 n) D D E o B B 12 12 D D D D A A c cA

33、 1c A1B得匕止由30求以下矩陣的逆陣10 0 01 2 0 0AO2 13 0C B12 14A1 OB 1CA1 B 12 11 o o o .loo11212801265240013112第三章矩陣的初等變換與線(xiàn)性方程組1把以下矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣102112031304331 (下一步 r2 ( 2)r1 r3 ( 3)r1 )(下一步 r2 ( 1) r3 ( 2)2 10 o o o1 o o13 0 133r步一下1 00 00 01 00 00 10 2310 3430 4710 231解 0 343(下一步 r2 2 ( 3)r1 r3 ( 2)r1 )0 4710 23

34、0 01(下一步 r3 r2 r1 3r2 )0 012110(下一步 ri ( 2)r2 ri r3 )0123r33 2 0 02 2 0 0nu 1 o o1 o o o1 o o o7 4 0 33 2 3 410 8 73 2 2 32 13 22才r步一下7 4 0 33 2 3 410 8 73 2 2 32 13 2解齊4rT3r才步一下14 212 9 810 8 712 8 7o 1 o o2rr步一下12 4 41 o 1 112 0 01 o o oo 1 o o3r步一下2 14 0o 1 1 o2 10 0o 1 o o1 o o o0 2 0 10 0 013 (

35、下一步 ri 2 )0 0 0 00 10 5 0 0 1 30 0 0 01134 3335412 23203 3421(下一步 r2 3r1 r3 2n r4 3n )1134 313430488止036(下一步 r2 ( 4) r3 ( 3) r4 ( 5)6051010(下一步 r1 3r2 r3 r2 r4 r2 )1134 310000100210000102340是初等矩陣E(1 2)其逆矩陣就是其本身2110031100解 3150100411023001021013203/201/23007/229/20101120101120021010011/201/2(1)是初等矩陣E

36、(1 2(1)其逆矩陣是1 O1 2X2 2 2引1/10 1E(1 2( 1)01 000 101 01 2 311A 10 04 5 60000 17 8 900145 6145212 3012278 90 017823試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q求以下方陣的逆矩陣故逆矩陣為3- 2 21_2-31 c7- 611_02321121124101故逆矩陣為.6131610412134 (1)設(shè) A221b22 求X使AX b31132 3 40 5 21 1 1o o 1o 1 o1 o o3 2 112 32 1112 14 2 3102所以Xa1b15312401設(shè)A23b123 求X使XA B

37、334231解考慮atxt bt因?yàn)?23 12r10024(At, Bt)213 23 0 1 017134 310 0 11424所以 XT (At) 1Bt1 714nu o o 1 nu o 1 o nu 1 o o1 o o o .112 1 0 2 3 22 2 2 1 3 0 10解o 1 o o 10 3 0 o o o 1 o o 1 o2 15 10 14 210 3 0 o o o 1 o o 1 o2 1110 14 0 X10 3 6o o o 10 0 122 1112 16 0X2 0 3 6XXXX10 123 2 9 22 14 23 2 122 10 03 2 102 10 0o o o 1 o o 1 o2 10 04 16 0di2 0 3 6x x x 1 10 12 o o o 1 o o 1 o o 1 o o1 o o o從而XBA12114741105設(shè)A011AX2X A 求 X101解原方程化為(A2E)XA因?yàn)?10 110