2016年大題考前練第一部分：立體幾何部分解答題(解析版)

1、第一部分：立體幾何解答題一、平行冋題1. (2015北京，18)如圖，在三棱錐 VABC中，平面 VAB丄平面ABC,AVAB為等邊三角形，AC丄BC,且 AC= BC= .；2, O, M分別為AB，VA的中點.(1) 求證：VB/平面 MOC;(2) 求證：平面 MOC丄平面VAB;(3) 求三棱錐VABC的體積.解 (1)因為O，M分別為AB，VA的中點， 所以 OM / VB，又因為VB?平面MOC, 所以VB/平面MOC.因為AC= BC, O為AB的中點，所以O(shè)C丄AB.又因為平面 VAB丄平面ABC, 且 OC?平面ABC,所以O(shè)C丄平面VAB.所以平面MOC丄平面VAB.(3)

2、在等腰直角三角形 ACB中，AC= BC= 2,所以 AB = 2, OC= 1,所以等邊三角形VAB的面積 Svab= ；3. 又因為OC丄平面VAB 所以三棱錐CVAB的體積等于13 OC Savab=又因為三棱錐VABC的體積與三棱錐CVAB的體積相等, 所以三棱錐VABC的體積為專.2. (2015廣東，18)如圖，三角形PDC所在的平面與長方形 ABCD 所在的平面垂直，PD = PC = 4, AB= 6, BC= 3.(1) 證明：BC/平面PDA;(2) 證明：BC丄PD;求點C到平面PDA的距離.解(1)因為四邊形ABCD是長方形，所以BC/ AD,因為BC?平面PDA, A

3、D?平面PDA，所以BC /平面PDA.(2)因為四邊形 ABCD是長方形，所以BC丄CD，因為平面PDC丄平面ABCD, 平面PDC G平面ABCD = CD, BC?平面ABCD ,所以BC丄平面PDC,因為PD?平面PDC，所以BC丄PD.取CD的中點E,連接AE和PE.因為PD = PC,所以PE丄CD，在RtAPED 中，PE= jPD2 DE2= 42-32= .因為平面 PDC丄平面 ABCD，平面 PDCA 平面ABCD = CD , PE?平面PDC，所以PE丄平面 ABCD，由(2)知：BC丄平面 PDC,由知：BC/ AD，所以AD丄平面PDC，因為PD?平面PDC,所以

4、AD丄PD.1設(shè)點C到平面PDA的距離為h,因為V三棱錐CPDA = V三棱錐PACD，所以3&PDA h =3&ACD PE,8ACD PEPDA12x 3x 62_3百_ 2， 2X 3X 4所以點C到平面PDA的距離是327.3. (2015江蘇，16)如圖，在直三棱柱 ABCAiBiCi中，已知 AC 丄 BC，BC = CCi.設(shè) ABi 的中點為 D , BiCA BCi = E.求證：(i)DE /平面 AAiCiC;(2)BCi 丄ABi.證明(i)由題意知，E為BiC的中點，又D為ABi的中點，因此DE / AC.又因為DE?平面AAiCiC，AC?平面AAi

5、CiC，所以DE /平面AAiCiC.(2)因為棱柱ABCAiBiCi是直三棱柱，所以CCi丄平面ABC.因為AC?平面ABC，所以AC丄CCi.又因為 AC丄 BC，CCi?平面 BCCiBi，BC?平面 BCCiBi，BCA CCi = C，所以AC丄平面BCCiBi.又因為BCi?平面BCCiBi，所以BCi丄AC.因為 BC = CCi，所以矩形BCCiBi是正方形，因此BCi丄BiC.因為 AC，BiC?平面 BiAC，AC A BiC = C，所以BCi丄平面BiAC.又因為ABi?平面BiAC，所以BCi丄ABi.4. (20i4安徽，i9)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為8

6、的正 方形，四條側(cè)棱長均為2.17.點G，E，F(xiàn), H分別是棱PB，AB， CD，PC上共面的四點，平面 GEFH丄平面 ABCD，BC/平面 GEFH.(1)證明：GH / EF;若EB = 2,求四邊形GEFH的面積.(1)證明 因為BC/平面GEFH ,BC?平面PBC，且平面PBCA平面GEFH = GH，所以GH / BC.同理可證因此 GH / EF.解 連接AC, BD交于點O, BD交EF于點K,連接OP, GK. 因為PA= PC, O是AC的中點，所以PO丄AC,同理可得PO丄BD. 又BD A AC = O, 且 AC, BD都在底面內(nèi)，所以 PO丄底面ABCD.又因為平

7、面GEFH丄平面ABCD,且P0?平面GEFH，所以PO /平面GEFH.因為平面PBDA平面GEFH = GK,所以PO / GK, 且 GK丄底面ABCD, 從而GK丄EF.所以GK是梯形GEFH的高.由 AB = 8, EB= 2得 EB : AB= KB : DB = 1 : 4, 從而KB = 4-DB = 2oB,g卩K為0B的中點.再由PO / GK得GK = 1PO,即G是PB的中點，且 GH = 1BC = 4.由已知可得 0B = 4 2 P0= ,PB2-0B2=68 32 = 6,所以 GK = 3. 故四邊形 GEFH 的面積 S= GH；EF gk = 4j2-8x

8、 3= 18.a5. (2013新課標(biāo)全國II , 18)如圖，直三棱柱 ABCAiBiCi中，D, E分 別是AB, BB1的中點.(1)證明：BC1 /平面 A1CD;設(shè)AA1 = AC= CB= 2, AB= 2.2，求三棱錐 CA1DE的體積.(1)證明 連接AC1交A1C于點F，則F為AC1中點. 又D是AB中點，連接DF，則BC1 / DF.因為DF?平面A1CD , BC1?平面A1CD，所以BC1 /平面AQD. 解 因為ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 AA1丄CD.由已知AC= CB, D為AB的中點，所以CD丄AB.又AA1A AB = A,于是CD丄平面ABB1A1.

9、由 AA1 = AC = CB = 2, AB = 2 .；2得/ ACB= 90°, CD = .;2, A1D = .' 6, DE = .'3,A1E= 3,故 A1D2+ DE2=A1E2，即 DE 丄A1D. 所以 VCA1DE = |x 2x '6X ；'3X 2= 1.二、垂直部分5.(2015新課標(biāo)全國I , 18)如圖，四邊形ABCD為菱形，G是 AC與BD的交點，BE丄平面ABCD.(1) 證明：平面AEC丄平面BED;(2) 若/ ABC= 120°, AE丄EC,三棱錐 EACD的體積為 三，求該三棱錐的側(cè)面積.解(1

10、)因為四邊形ABCD為菱形，所以AC丄BD.因為BE丄平面ABCD ,所以AC丄BE.故AC丄平面BED.又AC?平面AEC,所以平面 AEC丄平面BED.設(shè)AB = x,在菱形ABCD中，由/ ABC= 120°,可得P3xAG= GC= _2x, GB = GD = q.因為AE丄EC,所以在Rt AEC中，可得EG23x.由BE丄平面ABCD，知 EBG為直角三角形， 可得BE #x.由已知得，三棱錐EACD的體積1AC GD BE=£x3=#1 Veacd 3X 故 x 2.從而可得 AE EC ED '6.所以 EAC的面積為3, EAD的面積與厶ECD的

11、面積均為;5. 故三棱錐EACD的側(cè)面積為3+ 2 ：5.6. (2015安徽，19)如圖，三棱錐 P-ABC中，PA丄平面ABC, PA 1, AB 1, AC 2,/ BAC 60° .(1) 求三棱錐P-ABC的體積；(2) 證明：在線段PC上存在點M ,使得AC丄BM ,并求MC的值.所以三棱錐(1)解 由題設(shè) AB 1, AC 2,/ BAC 60°,13可得 abc 2 AB AC sin 60°于.由PA丄平面ABC，可知FA是三棱錐P-ABC的高，又PA 1.PAC內(nèi)，過點證明 在平面ABC內(nèi)，過點B作BN丄AC,垂足為N,在平面N作MN / PA

12、交PC于點M，連接BM.由PA丄平面ABC知PA丄AC,所以MN丄AC. 由于BNP MN = N, 故 AC丄平面MBN , 又 BM?平面MBN，所以AC丄BM.13在 RtA BAN 中，AN = AB cos/ BAC = q,從而 NC = AC AN = q，由 MN / PA, f PM AN 1 得 MC NC 3.7. (2014新課標(biāo)全國I , 19)如圖，三棱柱ABCAiBiCi中，側(cè) 面BB1C1C為菱形，B1C的中點為O,且A0丄平面BB1C1C.(1)證明：B1C 丄 AB;若AC丄AB1 , / CBB1 60 ° , BC 1 ,求三棱柱ABCA1B1

13、C1 的高.(1)證明 連接BC1,則O為B1C與BC1的交點.因為側(cè)面BB1C1C為菱形，所以 B1C丄 BC1.A.BHi又AO丄平面BBiCiC,所以BiC丄AO,又因為BCi n AO = O,所以BiC丄平面 ABO.由于AB?平面ABO, 故 BiC丄AB.解 作OD丄BC,垂足為D，連接AD.作OH丄AD,垂足為H.由于BC丄AO, BC丄OD, AOn OD= O，故 BC丄平面 AOD，所以 OH 丄BC.又 OH 丄AD，所以 OH丄平面ABC.由于AC丄ABi，所以由 OH AD = OD OA,又O為BiC的中點, 的高為丄21.因為/ CBBi = 60°,

14、 所以 CBBi為等邊三角形, 又 BC= 1,可得 OD = ¥.i iOA= qBiC= 2且 AD= ；OD2 + OA2 = ¥，得 OH =畐.ABCAiBiCi所以點Bi到平面ABC的距離為.故三棱柱8. (20i3北京，i7)如圖，在四棱錐 FABCD中，AB/ CD, AB丄 AD, CD = 2AB,平面FAD丄平面ABCD, FA丄AD.E和F分別是 CD和PC的中點.求證：(1) FA丄底面 ABCD;(2) BE/平面 FAD;(3) 平面BEF丄平面PCD.證明(i)因為平面PAD丄底面ABCD，且FA垂直于這兩個平面的交線 AD，所 以PA丄底面

15、ABCD.(2)因為 AB/ CD , CD = 2AB, E 為 CD 的中點, 所以 AB/ DE , 且 AB= DE.所以ABED為平行四邊形，所以 BE/ AD.又因為BE?平面FAD, AD?平面PAD, 所以BE /平面PAD.因為AB丄AD,而且ABED為平行四邊形， 所以BE丄CD , AD丄CD.由(i)知FA丄底面ABCD,所以 PA丄CD.且 PAnAD = A,所以CD丄平面FAD.所以CD丄PD.因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PD / EF.所以CD丄EF.又 CD丄BE, EF n BE= E,所以CD丄平面BEF.且CD?平面PCD,所以平面BEF丄平面

16、PCD.9. (2015四川，18)個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所 示.(1) 請將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點處(不需說明理由)；(2) 判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并證明你的結(jié)論.證明：直線DF丄平面BEG.HAH(1)解點F, G, H的位置如圖所示.證明 平面BEG /平面ACH,證明如下：因為ABCDEFGH為正方體， 所以 BC/ FG，BC= FG， 又 FG / EH，F(xiàn)G = EH， 所以 BC / EH，BC= EH， 于是BCHE為平行四邊形， 所以BE / CH， 又CH?平面ACH, BE?平面ACH, 所以BE /平面ACH

17、, 同理BG /平面ACH , 又 BEG BG= B, 所以平面BEG /平面ACH.(3) 證明連接FH , 因為ABCDEFGH為正方體， 所以DH丄平面EFGH , 因為EG?平面EFGH , 所以DH丄EG, 又 EG丄FH , EGA FH = O, 所以EG丄平面BFHD , 又DF?平面BFHD , 所以DF丄EG, 同理DF丄BG, 又 EGA BG = G, 所以DF丄平面BEG.10. (2012天津，17)如圖，在四棱錐 PABCD中，底面 ABCD是矩形，AD丄PD, BC= 1, PC = 2 3, PD = CD = 2.(1)求異面直線FA與BC所成角的正切值；證明平面PDC丄平面ABCD;(3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.解 如圖，在四棱錐PABCD中，因為底面ABCD是矩形, 所以 AD = BC 且 AD / BC.又因為AD丄PD,故/ PAD為異面直線PA與BC所成的角.PD 又因為 AD丄 PD,在 Rt PDA 中，tan/ PAD =而=2.所以，異面直線PA與BC所成角的正切值為2.(2)證明 由于底面ABCD是矩形，故AD丄CD，又由于 AD 丄 PD，CDA PD = D，因此AD丄平面PDC，而AD?平面ABCD，所以平面PDC丄平面 ABCD.解 在平面PDC內(nèi)，過點P作PE丄CD交直線CD于點E,連接EB.