P(四章第四講)狄拉克符號(hào)

1、光電信息學(xué)院 李小飛第四章：表象與矩陣力學(xué)第四章：表象與矩陣力學(xué)第第四四講：講：狄拉克狄拉克(Dirac)(Dirac)符號(hào)符號(hào) 狄拉克：沉默寡言，追求精確。 劍橋大學(xué)同事定義了“一個(gè)小時(shí)說一個(gè)字”為一個(gè)“狄拉克”單位引入：引入：一對(duì)一對(duì)奇妙的組合海森堡與狄拉克海森堡：活潑開朗，喜唱歌跳舞，是團(tuán)隊(duì)中的開心果。 狄拉克（Dirac，1902年8月8日1984年10月20日），英國(guó)理論物理學(xué)家，量子力學(xué)的奠基者之一，因1928年發(fā)表相對(duì)論量子力學(xué)之狄拉克方程狄拉克方程獲1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。他的三篇科研論文奠定了“量子物理”“量子場(chǎng)論”以及“粒子物理”的基礎(chǔ)?！?狄拉克的文章給人以“秋水文章不

2、染塵”的感受，沒有任何渣滓，直達(dá)宇宙的奧秘”-楊振寧狄拉克“在所有的物理學(xué)家中，狄拉克擁有最純潔的靈魂。”-玻爾狄拉克其人狄拉克其人 他一生著作不少他的量子力學(xué)原理(1930年出版 )，一直是該領(lǐng)域的權(quán)威性經(jīng)典名著，甚至有人稱之為“量子力學(xué)的圣經(jīng)”。1、量子體系的狀態(tài)用波函數(shù)（態(tài)矢量）描述，所有態(tài)矢 量構(gòu)成一個(gè)Hilbert空間, 2、波函數(shù)可以在任一力學(xué)量本征函數(shù)系（表象）上展開， 要這么復(fù)雜嗎？我認(rèn)為量子力學(xué)的波函數(shù)，算符和定律等與具體表象無關(guān)。海森堡海森堡矩陣力學(xué)基本內(nèi)容：矩陣力學(xué)基本內(nèi)容：展開系數(shù)構(gòu)成坐標(biāo)矩陣狄拉克：狄拉克：3、描述量子力學(xué)的波函數(shù)、算符和定律等在不同表象中雖具有 不同

3、的矩陣形式，卻可相互轉(zhuǎn)換（幺正變換） 左矢左矢(bra(bra) )、右矢右矢( (ketket) ) （源于詞：（源于詞：bracketbracket） 態(tài)矢量態(tài)矢量用右矢表示：也可以在右矢內(nèi)填上具體力學(xué)量算符的本征值或量子數(shù)，以具體表示某個(gè)量子態(tài)，如：,.eg, , ,nExplm 共軛態(tài)矢量共軛態(tài)矢量（共軛波函數(shù)）用左矢表示：,.*eg 定義：定義：1. 1. 狄拉克狄拉克(Dirac)(Dirac)符號(hào)符號(hào)*A( )A ( )rr dr( ,A )A( ,)* d *()nnnnnnnnnn nn nn nnnnn nnnb a nb a n nb aa ba b n nna b nn

4、a b n |,|nnnna nb n標(biāo)積 展開式：2.2.狄拉克狄拉克(Dirac)(Dirac)符號(hào)表述的量子力學(xué)符號(hào)表述的量子力學(xué)1 本征矢的正交歸一化波函數(shù)歸一化23*3( ,)1d rd r |)(,)( )ppp ppp | (,)()xxx xxx （ -）q qq q （ -） | )(,)l mlmllmmlm l mYY (,)mnmnm nuu|nn|xx態(tài)矢量在具體表象中的表示( )xx*(,)nnnadn 本征態(tài)上的展開系數(shù)（投影）|nn*( ,)nnnadn ( )ppnnnnna nn ann 投影算符nnPnna n1nnnPnn定義：nPnnnnnna nP3

5、. 3. 應(yīng)用于計(jì)算應(yīng)用于計(jì)算 波函數(shù)的矩陣nnna nan 1212.natatatn 算符的矩陣F設(shè)態(tài)矢 經(jīng)算符 的作用后變成態(tài)矢 ,即F|1|nnnnmm F nnnF nnmmnnnbF a111121221222bFFabFFamnFm F n Schrdinger方程的矩陣形式iHti1nmm Htm Hm H nnimmnnnaHat平均值公式1的矩陣形式FF*mnmmnnmnmm F nna F a11F2|nnnFafn F nnmnn F mm nnmnm nn F m()nmnmnn F m2|nnnnnnnn annmmF m()nFtrF平均值公式2的的矩陣形式平均值

6、公式3概率密度矩陣概率密度矩陣GFGF兩算符之積的平均值111GF ,mmllnnn m lGF *mmllnnmlna G F a例例：算符：算符 x x 在在動(dòng)量中的動(dòng)量中的形式及其本征函數(shù)形式及其本征函數(shù)|p x p|xp xxx p12ipxpxex*()ppxipxxip*( )( )ppxx xx1()2ipxpiep|p ipp（1）. 算符：*()ppxip( )( )xxxpxp( )( )ipxpp1( )( )ipxpp ( )ipxpAe1( )2ip xxpe（2）. 本征函數(shù)：例例： 求求角動(dòng)量角動(dòng)量L Lx x和哈密頓算符和哈密頓算符 在在動(dòng)量中的動(dòng)量中的形式形式

7、ypzpLzyxxxipyyipzzipxyzzyLp ip ipp)(22xUpH)(22xUpH2()2xpU ipxyzLp zp y位置到動(dòng)量的形式變換i( )( ) tHtt1） Schrdinger繪景 在薛定諤的世界里，算符不是時(shí)間的函數(shù)，波函數(shù)是時(shí)間的函數(shù)。算符的平均值發(fā)生變化的原因是波函數(shù)隨時(shí)間在演化，波函數(shù)按薛定諤方程進(jìn)行演化：1 ,dAAA Hdtti4. 量子力學(xué)三種繪景00( , )( )( ) (1)U t ttt定義波函數(shù)演化算符：作用于 時(shí)刻的態(tài) 得到t時(shí)刻的態(tài)0( ) t0 t( ) t0000( , ) ( )( ), U t ttt分析： （1） 00(

8、, )I U t ti( )( ) tHtt0000 i( , )( )( , )( ) U t ttHU t ttt （2）求它的具體形式0i()/0( , ) (2) H t tU t te00 i( , )( , ) U t tHU t tt0i()/0( , ) H t tUt te0000( , )( , )( , )( , )Ut t U t tU t t Ut tI00i()/i()/0=eH t tH t te證畢00( )( ,)()tU t tt說明：波函數(shù)隨時(shí)間的演化只是一種幺正變換！說明：波函數(shù)隨時(shí)間的演化只是一種幺正變換?。?） 是幺正算符0i()/0( , ) H

9、t tU t te()()= S BA00( )( , )( , ) (3)A tUt tAU t t在海森堡的世界里，波函數(shù)不變，算符在隨時(shí)間變化2） Heishenberg繪景0( ) ( )( )( ) ( ) AtAttA tt00000( )( ,) ( )( ,) ( ) tUt tA t U t tt定義含時(shí)算符：說明：算符隨時(shí)間的演化也只是一種幺正變換！說明：算符隨時(shí)間的演化也只是一種幺正變換！00( )( )( ) tA ttFS FS1 ()i1( ( )( )( ) ( )iU HUU AUU AUU HUAtA t H tH t A tAt則d1( ) ( ),( )

10、(4)diA tA tH tAtt上式稱為Heisenberg方程。算符按Heisenberg 方程進(jìn)行演化0000ddd( )( , )( , )( , )( , )ddd1 ()iA tUt tAU t tUt tAU t tAttttHU AUU AHUAt1 ()iU HAUU AHUAt3）狄拉克（Dirac）繪景與狄拉克方程 也稱相互作用繪景（也稱相互作用繪景（I I繪景繪景），他把哈密頓量），他把哈密頓量分解成兩部分（比如：能精確求解的和含微擾的分解成兩部分（比如：能精確求解的和含微擾的哈密頓量；也稱不含時(shí)的和含時(shí)的哈密頓量）哈密頓量；也稱不含時(shí)的和含時(shí)的哈密頓量）0( )iHH

11、H t 在Dirac的世界里，波函數(shù) 和算符都隨時(shí)間演化，演化方式都是從S到I的幺正變換幺正變換 因此，有兩個(gè)方程：i( )( )( ) iIIItH tttDirac方程: 這就是相對(duì)論量子力學(xué)之Dirac方程: 負(fù)電子正電子反物質(zhì)理論建立 分析： 在海森堡繪景中，只是算符隨時(shí)間深化，現(xiàn)考察自由粒子的位置算符隨時(shí)間的演化mpempeempreHtrtrtHtHtHtHt/i/i/i2/i 2/,i1),(i1)(ddtmprtr)0()(解微分方程，得：( )(0)r trvt現(xiàn)令t0=0* *量子力學(xué)量子力學(xué)到經(jīng)典力學(xué)的過渡到經(jīng)典力學(xué)的過渡作業(yè)：作業(yè)： 1 .1 .試用試用DiracDirac符號(hào)證明以下不依賴了具體表符號(hào)證明以下不依賴了具體表象的薛定諤方程是成立的象的薛定諤方程是成立的 2. 2.試用試用DiracDirac符號(hào)求證動(dòng)量表象中的薛定諤方程為符號(hào)求證動(dòng)量表象中的薛定諤方程為 ( )續(xù)下頁總結(jié)：1、掌握態(tài)的表象的概念。、掌握態(tài)的表象的概念。3、掌握算符的矩陣表示；表示力學(xué)量算符的矩陣都是厄密矩陣。掌握算符的矩陣表示；表示力學(xué)量算符的矩陣都是厄密矩陣。 4、掌握算符在其自身表象中是一個(gè)對(duì)角矩陣，對(duì)角元即算符的本征值。掌握算符在其自身表象中是一個(gè)