第04講機(jī)械能

1、第四講 機(jī)械能動(dòng)能定理 1，2，3，4，5，6機(jī)械能守恒 7，8，9，10天體運(yùn)動(dòng)、引力勢(shì)能 MmEGr 11，12，13，14，15 1。水桶中有深度為H的水，水桶的底部有半徑為r的圓孔，把孔塞拔掉后，圓孔處水流初速v是多少？解：研究厚度為x的薄層水，設(shè)221vxsxsgHgHv2（同落體）2.rs由動(dòng)能定理 2。跳水運(yùn)動(dòng)員從高于水面H=10 m的跳臺(tái)落下假如運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量為m=60kg其體形可等效為長(zhǎng)度L=1.0m，直徑d = 0.30m的圓柱體，不計(jì)空氣阻力運(yùn)動(dòng)員入水后，水的等效阻力F作用于圓柱體的下端面，F(xiàn)的數(shù)值隨入水深度y變化的函數(shù)圖像如圖所示，該曲線可近似地看作為橢圓的一部分，該橢圓的

2、長(zhǎng)、短軸分別與坐標(biāo)軸oy和oF重合橢圓與y軸相交于y = h與F軸相交于F = (52)mg處了確保運(yùn)動(dòng)員的安全，試計(jì)算水的深度至少應(yīng)為多深?(水的密度=1.0l03kgm3)y解：設(shè)運(yùn)動(dòng)員起跳時(shí)為初狀態(tài)，入水后到達(dá)最深處時(shí)為末狀態(tài)初、末狀態(tài)動(dòng)能都是零，整個(gè)過(guò)程中有三個(gè)力做功，重力做功為WG，水的浮力做功為Wf，水的阻力做功為WF，由動(dòng)能定理可知GfFWWW0（1）GWmg(Hh)（2）222f11d1WL ( ) gLL d g228 （3）運(yùn)動(dòng)員從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，水的浮力均勻增大，做的功為設(shè)水深為h，則BCD10mhLd將（2）、（3）、（4）、(5)式代入（1）式，可解得222mH(1 8

3、)L dh4.9(m)(5 8) m(1 4)Ldm從C到D，浮力做的功為2f21WLd (hL)g4 （4）F1 55Wmghmgh4 28 （5）水的阻力做功為圖中曲線下的面積 3。如圖，繩長(zhǎng)l，將小球拉至繩水平狀態(tài)后讓其自由下落，求小球能獲得的最大的豎直速度解1：cos21sin2vvmvmgly22cossin2glvy求極值。用高等數(shù)學(xué)0sincos2cos,cossin232zz21tan2,)22(tan1也可以用初等數(shù)學(xué)來(lái)求極值，請(qǐng)同學(xué)們考慮。解2：當(dāng) 0yF時(shí)yv有極大值.mgTlmvmgTmvmglsin/sin21sin22,vTcosmax vvy 4軸的質(zhì)量為m、半徑

4、為r的輕輪，其軸上系有繩子，在輪子所在的平面內(nèi)沿水平方向拉繩，輪子沿柵欄無(wú)跳動(dòng)地滾動(dòng)，柵欄由彼此間距為l的平行的水平細(xì)桿構(gòu)成，（ lnkmg。 2112Fkmg dmv212vFf dm解：機(jī)車啟動(dòng)后經(jīng)d路程，有：令 f = kmg得：222012011222vvvFf dm22220222vvFf dm車廂被帶動(dòng)可視為完全非彈性碰撞，車廂1被帶動(dòng)的速度記為v20，有：故于是223023022439vvvv222021222221211nvFf dFf dnmnmnFnf dnnm2222222212121212nFdnfdmmnnnnnn以此類推，得：故011213nnFvdnkgnm評(píng)析評(píng)

5、析：倒車啟動(dòng)的好處不言而喻，大家可以試一試若F=30kmg，那么倒車后可拉動(dòng)多少車廂？(開(kāi)動(dòng)后阻力迅速減小) 10玩具列車由許多節(jié)車廂組成，它以恒定速度沿水平軌道行駛，進(jìn)入“死圈”，列車全長(zhǎng)為L(zhǎng)，圈半徑為R，但L2R，問(wèn)列車應(yīng)具有多大初速度，才能不讓任何一節(jié)車廂脫軌。(1)設(shè)列車的“線密度”為，則由機(jī)械能守恒有(2)不難判斷軌道頂部的車廂最容易脫離軌道該車廂受力如圖所示，兩個(gè)T是兩邊其它車廂對(duì)它的拉力將代入，有(3)用虛功原理求T對(duì)左半側(cè)或右半側(cè)的列車來(lái)說(shuō)，移動(dòng)一小段s，T做的功是Ts，效果是使s長(zhǎng)的車廂升高2R高度，因而有g(shù)RT2Tss 2R g gRv32LRgRv430可解得評(píng)析：本題有

6、二個(gè)要點(diǎn)：（1）分析頂點(diǎn)，（2）虛功 求力。 11從地球表面以第一宇宙速度朝著與豎直方向成角的方向發(fā)射一拋射體，忽略空氣阻力和地球轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，試問(wèn)拋射體能上升多高？設(shè)地球半徑為。解：第一宇宙速度 0GMvR，其機(jī)械能： 201022MmMmEmvGGRR 所以以 0v向任何方向都不可能飛離地球，只 能以地心為焦點(diǎn)作橢圓運(yùn)動(dòng)， 由開(kāi)普勒第二定律：0maxsinBv Rv r得： 0maxmaxsinsinBv RGMRvrr0maxmaxsinsinBv RGMRvrr2max1:22BMmMmCOEmvGGrR 代入 maxr上升高度 (1 cos )(1 cos )RR舍上升高度 maxco

7、srRR 12質(zhì)量為m1和m2的兩質(zhì)點(diǎn)相距為l，從靜止開(kāi)始，由于萬(wàn)有引力作用而相向運(yùn)動(dòng)，試求從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)直到相遇所需的時(shí)間。 解：在宇宙空間參照系中研究m1，在m1參照系中研究m2由此可見(jiàn)，m2相對(duì)m1的運(yùn)動(dòng)等同于一個(gè)質(zhì)量為m1+m2的力心不動(dòng)時(shí)的情況，可認(rèn)為m2運(yùn)動(dòng)的直線軌跡是一個(gè)退化的橢圓(a=c，b=0)，有2a=l由開(kāi)普勒第三定律有203023TrTa因?yàn)?，所以?評(píng)析：本題巧妙地利用了退化的思路，迂回解決了問(wèn)題。 13以第一宇宙速度發(fā)射(垂直向上發(fā)射)的導(dǎo)彈經(jīng)一段時(shí)間后在離發(fā)射點(diǎn)不遠(yuǎn)處返回地面，計(jì)算導(dǎo)彈在空中飛行的時(shí)間，地球半徑 R = 6400km。解：第一宇宙速度即環(huán)繞速度機(jī)械能守

8、恒：由上兩式可解得：因?yàn)槭秦Q直向上拋射，所以b很小，橢圓退化為一根直線，即a=R(焦點(diǎn)在地心O點(diǎn))。在物體拋射到返回地面的整個(gè)過(guò)程中，物體與地心O的連線掃過(guò)的面積為而面積速度(即單位時(shí)間里掃過(guò)的面積)因此22CABeC A 14某國(guó)發(fā)射一顆周期T0=1天的不用動(dòng)力飛行的衛(wèi)星，其軌道平面為赤道平面，容易理解，如圖，若衛(wèi)星取一橢圓軌道，那么它相對(duì)地心的角速度便不是定值，與地面上的參考點(diǎn)之間會(huì)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，假設(shè)該國(guó)僅擁有經(jīng)度范圍為2的赤道領(lǐng)空，那么發(fā)射者就必須將衛(wèi)星軌道的偏心率e限制在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，以保證衛(wèi)星不離開(kāi)本國(guó)領(lǐng)空，設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為A，半短軸為B，則有 ，試確定e的最大可能值。 解：如圖

9、所示，衛(wèi)星的角速度有時(shí)比地球快有時(shí)比地球慢，設(shè)衛(wèi)星在C和C點(diǎn)時(shí)和地球角速度相同，都為c，那么在C和C點(diǎn)右邊的軌道上衛(wèi)星的角速度都小于c(1)在1位置有將C=eA代人，并用(1一e)n=1ne的近似公式，可得，如果衛(wèi)星在C點(diǎn)時(shí)OC和地球上的OB重合，那么此后OA將追逐OC，直到衛(wèi)星到C時(shí)OA和OC重合只要AOB=2o，便符合題意C是地球的角速度2(2)由解析幾何的知識(shí)可知：從焦點(diǎn)到橢圓上橫坐標(biāo)為x的點(diǎn)的距離r = A+ex。再用開(kāi)普勒第三定律因?yàn)?故 ABCC 可看作矩形，圖中陰影部分面積1e衛(wèi)星從C經(jīng)過(guò)2到 C的時(shí)間，由上式可得地球從OB和OC重合轉(zhuǎn)到OA和OC/重合的時(shí)間故而可以解得3e8.

10、7 104此值即e的最大值。 15從北極發(fā)射一導(dǎo)彈，落在赤道上(經(jīng)歷緯度90o)。求能量最省的發(fā)射速度。引力常數(shù)6.6710-11 m3/(kgs2)，地球半徑Re =64106m，地球質(zhì)量Me=601024kg。忽略空氣阻力。分析與解分析與解 如圖所示，圖中A點(diǎn)是北極發(fā)射點(diǎn)，B點(diǎn)為導(dǎo)彈落地點(diǎn)，在赤道上。導(dǎo)彈在地球外部空間的軌道是橢圓軌道的一部分。根據(jù)對(duì)稱性，橢圓長(zhǎng)軸MN是直角的角平分線。導(dǎo)彈在地球引力場(chǎng)中按橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能為 amMGEe2 為使能量取最小值，應(yīng)取最小的半長(zhǎng)軸值。設(shè)橢圓軌道的兩焦點(diǎn)在F1和F2處，其中F1必在地球中心。因北極發(fā)射點(diǎn)A在橢圓軌道上，依橢圓的性質(zhì)，有關(guān)系aAFAF221其中 ，所以只有當(dāng) 取最小值時(shí)，才