高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式單元整合素材 新人教A版選修45

1、第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式單元整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一正確使用數(shù)學(xué)歸納法同學(xué)們?cè)趧傞_始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，常常會(huì)遇到兩個(gè)困難，一是數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)不容易理解，二是歸納步驟的證明有時(shí)感到難以入手本專題將對(duì)兩種常見的錯(cuò)誤進(jìn)行討論、整理，以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，弄清它的實(shí)質(zhì)，從而明確如何正確地使用數(shù)學(xué)歸納法(1)缺少數(shù)學(xué)歸納法的第二步有人覺得如果一個(gè)命題對(duì)于開頭的一些自然數(shù)都成立，那么由p(k)成立導(dǎo)出p(k1)成立是必然的，因此第二步歸納步驟是流于形式，證與不證似乎一樣，顯然這是不正確的產(chǎn)生這種錯(cuò)誤想法的原因在于沒有認(rèn)識(shí)到歸納步驟所起的遞推作用，如果沒有遞推性，那么一個(gè)命題可能

2、對(duì)于開頭的許多自然數(shù)都成立，但是一般的并不成立，我們舉幾個(gè)例子來看看十七世紀(jì)法國(guó)卓越的數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪考查了形如的數(shù)，n0,1,2,3,4時(shí)，它的值分別為3,5,17,257,65 537.這5個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)因此費(fèi)爾瑪就猜想：對(duì)于任意的自然數(shù)n，式子22n1的值都是質(zhì)數(shù)但是在十八世紀(jì)另一位卓越的數(shù)學(xué)家歐拉指出n5時(shí)，4 294 967 297641×6 700 417.是個(gè)合數(shù)，費(fèi)爾瑪?shù)牟孪脲e(cuò)了這就充分說明我們不能把不完全歸納法當(dāng)成證明，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)第二步不可缺少(2)缺少數(shù)學(xué)歸納法的第一步也有人覺得既然第二步歸納步驟中有遞推作用，而且k又可以任意取值，這樣就夠了，有沒有第一步p(1

3、)無關(guān)緊要這種認(rèn)識(shí)也是錯(cuò)誤的，它忽視了第一步的奠基作用，因?yàn)槿绻麤]有p(1)成立，歸納假設(shè)p(k)成立就沒有了依據(jù)，因此遞推性也就成了無源之水，無本之木，下面我們看一個(gè)這樣的例子【例】如果不要奠基步驟，我們就可以證明(n1)2(n2)2一定是偶數(shù)(nn)剖析：假設(shè)nk時(shí)命題成立，即(k1)2(k2)2是偶數(shù)當(dāng)nk1時(shí)，(k1)12(k1)22(k2)2(k1)24(k1)4(k1)2(k2)24(k2)由假設(shè)(k1)2(k2)2是偶數(shù)，又4(k2)也是偶數(shù)，所以上式是偶數(shù)，這就是說nk1時(shí)命題也成立由此，對(duì)于任意的正整數(shù)n，(n1)2(n2)2一定是偶數(shù)這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，原因就在于證明中缺

4、少第一步奠基步驟，實(shí)際上，n1時(shí)，(11)2(12)24913不是偶數(shù)，這說明使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)缺第一步不可用數(shù)學(xué)歸納法證明，對(duì)于nn，.證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，所以等式成立(2)假設(shè)nk時(shí)等式成立，即，當(dāng)nk1時(shí)，.由(1)(2)可知，對(duì)于任意的nn，所證等式都成立專題二數(shù)學(xué)歸納法證題的幾種技巧在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，一般說來，第一步驗(yàn)證比較簡(jiǎn)明，而第二步歸納步驟情況較復(fù)雜因此，熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的，其實(shí)歸納步驟可以看作是一個(gè)獨(dú)立的證明問題，歸納假設(shè)“p(k)”是問題的條件，而命題p(k1)成立就是所要證明的結(jié)論，因此，合理運(yùn)用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵，下

5、面簡(jiǎn)要分析一些常用技巧1分析綜合法用數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)證明關(guān)于正整數(shù)n的不等式，從“p(k)”到“p(k1)”，常常可用分析綜合法求證：對(duì)任意正整數(shù)n，有132333n3(12n)2成立提示：這是一個(gè)等式證明問題，它涉及全體正整數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式，關(guān)鍵是第二步要用上假設(shè)，證明nk1時(shí)，原等式成立證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，左邊右邊，所以原等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn，k1)時(shí)，等式成立，即1323k3(12k)2.當(dāng)nk1時(shí)，1323k3(k1)3(12k)2(k1)32(k1)32k24(k1)212k(k1)2，即當(dāng)nk1時(shí)，原等式也成立綜合(1)(2)可知

6、，對(duì)任何nn，原等式都成立設(shè)a，b為正數(shù)，nn，求證：n.提示：這是一個(gè)不等式證明問題，它涉及全體正整數(shù)n，用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn，k1)時(shí)，不等式成立，即k.則nk1時(shí)，要證明不等式成立，即證明k1.在k的兩邊同時(shí)乘以，得k1.要證明k1，只需證明.因?yàn)?(ak1bk1)(ab)(akbk)2(ak1bk1)(ak1abkbakbk1)0ak1abkbakbk10(ab)(akbk)0.又ab與(akbk)同正負(fù)(或同時(shí)為0)，所以最后一個(gè)不等式顯然成立，這就證明了當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立綜合(1)(2)可知，對(duì)任何nn，不等式n成立2放縮法涉及關(guān)

7、于正整數(shù)n的不等式，從“k”過渡到“k1”，有時(shí)也考慮用放縮法求證：1(nn)提示：利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式關(guān)鍵是利用放縮、湊假設(shè)、湊結(jié)論但要注意從nk變化到nk1時(shí)增加了多少項(xiàng)，減少了多少項(xiàng)，一般用f(k1)f(k)研究增加或減少的項(xiàng)的多少證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊，左邊右邊，不等式成立(2)假設(shè)nk(kn，k1)時(shí)，不等式成立，即1.當(dāng)nk1時(shí)，12k1×.nk1時(shí)，不等式成立由(1)(2)可知：1(nn)3遞推法用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的問題時(shí)，有時(shí)要利用an與an1的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從“k”到“k1”的過渡設(shè)0a1，定義a11a，an1a，求證：對(duì)一切正整數(shù)n，有1an.

8、提示：數(shù)列類問題用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，一般先用遞推公式，后用歸納假設(shè)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，a11，a11a，顯然命題成立(2)假設(shè)nk(kn，k1)時(shí)，命題成立，即1ak.當(dāng)nk1時(shí)，由遞推公式，知ak1a(1a)a1.同時(shí)，ak1a1a，故當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立，即1ak1.綜合(1)(2)可知，對(duì)一切正整數(shù)n，有1an.4拼湊法用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)的命題(尤其是整除)時(shí)，從“k”過渡到“k1”常用拼湊法對(duì)于任意正整數(shù)n，求證：anbn能被ab整除(對(duì)于多項(xiàng)式a，b，如果存在多項(xiàng)式c，使得abc，那么稱a能被b整除)提示：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，關(guān)鍵在于弄清n由k到k1時(shí)，問題的變化情況

9、，創(chuàng)造條件一定要用上歸納假設(shè)證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，anbnab能被ab整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn，k1)時(shí)，akbk能被ab整除，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak1bk1ak1akbakbbk1ak(ab)b(akbk)因?yàn)?ab)和akbk都能被ab整除，所以上面的和ak(ab)b(akbk)也能被ab整除這也就是說當(dāng)nk1時(shí)，ak1bk1能被ab整除根據(jù)(1)(2)，由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)一切正整數(shù)n，anbn都能被ab整除5幾何法“幾何類”命題的證題關(guān)鍵是先要從證nk1時(shí)命題成立的結(jié)論中，分解出nk時(shí)命題成立的部分，然后去證余下的部分在同一平面內(nèi)有n條直線，每?jī)蓷l不平行，任意三條不共點(diǎn)，求證：它們將此平面分成個(gè)部分(nn)提示：利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題，關(guān)鍵是找出由nk到nk1時(shí)所增加的項(xiàng)證明：設(shè)f(n).(1)當(dāng)n1時(shí)，一條直線將平面分成兩部分，f(1)2，故命題成立(2)假設(shè)nk(kn，k1)時(shí)，k條直線將平面分成個(gè)部分當(dāng)nk1時(shí)，第(k1)條直線與前k條直線交于k個(gè)點(diǎn)，使平面增加(k1)個(gè)部分，即將平面分成k1個(gè)部分，所以nk1時(shí)命題成立由(1)(2)得原命題成立6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc31