綜合題組：一副三角板的旋轉(zhuǎn)

1、2015年06月01日liangwujun000529的初中數(shù)學(xué)組卷一解答題（共6小題）1（2004青島）把兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角滿足條件：0°90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖）（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH=x，GKH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）

2、在（2）的前提下，是否存在某一位置，使GKH的面積恰好等于ABC面積的？若存在，求出此時(shí)x的值；若不存在，說明理由2（2012秋渝北區(qū)校級月考）把兩個(gè)直角邊長均為6的等腰直角三角板ABC和EFG疊放在一起（如圖），使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角滿足條件：0°90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖）（1）探究：在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK的數(shù)量關(guān)系以及四邊形CHGK的面積的變化情況（直接寫出探究的結(jié)果，不必寫探究及推理過程）；（2）利用（1）中你得到的結(jié)論，解決下面問題：連接HK，在上述旋

3、轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一位置，使GKH的面積恰好等于ABC面積的？若存在，求出此時(shí)BH的長度；若不存在，說明理由3（2013秋邵武市校級期中）有兩個(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長均為6）如圖1所示疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角滿足0°90°，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩塊三角板的重疊部分（如圖2）（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積是否發(fā)生變化？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論（2）如圖3，連接KH，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一位置使GKH的面積恰好等于ABC

4、面積的？若存在，請求出此時(shí)KC的長度；若不存在，請說明理由4（2011秋富源縣校級期末）把兩個(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角滿足條件：0°90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖2）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論5（2013無錫模擬）如圖1，把兩個(gè)全等的三角板ABC、EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角邊FG經(jīng)過三角板ABC的直角頂點(diǎn)C，垂直AB

5、于G，其中B=F=30°，斜邊AB和EF均為4現(xiàn)將三角板EFG由圖1所示的位置繞G點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（090°），如圖2，EG交AC于點(diǎn)K，GF交BC于點(diǎn)H在旋轉(zhuǎn)過程中，請你解決以下問題：（1）GH：GK的值是否變化？證明你的結(jié)論；（2）連接HK，求證：KHEF；（3）設(shè)AK=x，請問是否存在x，使CKH的面積最大？若存在，求x的值；若不存在，請說明理由6（2007哈爾濱模擬）把兩個(gè)全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中B=F=30°，斜邊AB和EF長均為4（1）當(dāng)EGAC于點(diǎn)K，GFBC于點(diǎn)H時(shí)（

6、如圖），求GH：GK的值；（2）現(xiàn)將三角板EFG由圖所示的位置繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角滿足條件：0°30°（如圖），EG交AC于點(diǎn)K，GF交BC于點(diǎn)H，GH：GK的值是否改變？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（3）在下，連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)GH=x，GKH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（4）三角板EFG由圖所示的位置繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，0°90°，是否存在某位置使BFG是等腰三角形？若存在，請直接寫出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角；若不存在，說明理由2015年06月01日liangwujun000529的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一

7、解答題（共6小題）1（2004青島）把兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角滿足條件：0°90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖）（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH=x，GKH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使GKH的面積恰好等于ABC面積的

8、？若存在，求出此時(shí)x的值；若不存在，說明理由考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；壓軸題分析：（1）可將四邊形CHGK分成兩部分，然后通過證三角形全等，將四邊形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換來求解連接CG，可通過證明三角形CGK與三角形BGH全等來得出他們的面積相等，進(jìn)而將四邊形CHGK的面積轉(zhuǎn)換成三角形CGB的面積也就是三角形ABC面積的一半，由此可得出四邊形CHGK的面積是4，所以不會改變；（2）連接HK后，根據(jù)（1）中得出的四邊形CHGK的面積為4，可根據(jù)三角形GHK的面積=四邊形CHGK的面積三角形CHK的面積來求，如果BH=x，那么根據(jù)（1

9、）的結(jié)果CK=x，有BC的長，那么CH=4x，由此可得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式x的取值范圍應(yīng)該大于零小于4；（3）只需將y=×8代入（2）的函數(shù)式中，可得出x的值然后判斷x是否符合要求即可解答：解：（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH=CK，四邊形CHGK的面積不變證明：連接CG，KH，ABC為等腰直角三角形，O（G）為其斜邊中點(diǎn)，CG=BG，CGAB，ACG=B=45°，BGH與CGK均為旋轉(zhuǎn)角，BGH=CGK，在BGH與CGK中，BGHCGK（ASA），BH=CK，SBGH=SCGKS四邊形CHGK=SCHG+SCGK=SCHG+SBGH=SABC=××4&

10、#215;4=4，即：S四邊形CHGK的面積為4，是一個(gè)定值，在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化；（2）AC=BC=4，BH=x，CH=4x，CK=x由SGHK=S四邊形CHGKSCHK，得y=4x（4x），y=x22x+4由0°90°，得到BH最大=BC=4，0x4；（3）存在根據(jù)題意，得x22x+4=×8，解這個(gè)方程，得x1=1，x2=3，即：當(dāng)x=1或x=3時(shí)，GHK的面積均等于ABC的面積的點(diǎn)評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識點(diǎn)，通過構(gòu)建全等三角形將面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵2（2012秋渝北區(qū)校級月考）把兩個(gè)直角邊長均為6的等腰直角三角板A

11、BC和EFG疊放在一起（如圖），使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角滿足條件：0°90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖）（1）探究：在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK的數(shù)量關(guān)系以及四邊形CHGK的面積的變化情況（直接寫出探究的結(jié)果，不必寫探究及推理過程）；（2）利用（1）中你得到的結(jié)論，解決下面問題：連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一位置，使GKH的面積恰好等于ABC面積的？若存在，求出此時(shí)BH的長度；若不存在，說明理由考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用；三角形的面積；等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)

12、版權(quán)所有分析：（1）先由ASA證出CGKBGH，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BH=CK，根據(jù)全等得出四邊形CKGH的面積等于三角形ACB面積一半；（2）根據(jù)面積公式得出SGHK=S四邊形CKGHSCKH=x23x+9，根據(jù)GKH的面積恰好等于ABC面積的，代入得出方程，求出即可解答：解：（1）BH與CK的數(shù)量關(guān)系：BH=CK，理由是：連接OC，由直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出OC=BG，AC=BC，O為AB中點(diǎn)，ACB=90°，B=ACG=45°，COAB，CGB=90°=KGH，都減去CGH得：BGH=CGK，在CGK和BGH中，CGKBGH（ASA），CK=BH，

13、即BH=CK；四邊形CHGK的面積的變化情況：四邊形CHGK的面積不變，始終等于四邊形CQGZ的面積，即等于ACB面積的一半，等于9；（2）假設(shè)存在使GKH的面積恰好等于ABC面積的的位置設(shè)BH=x，由題意及（1）中結(jié)論可得，CK=BH=x，CH=CBBH=6x，SCHK=CH×CK=3xx2，SGHK=S四邊形CKGHSCKH=9（3xx2）=x23x+9，GKH的面積恰好等于ABC面積的，x23x+9=××6×6，解得（經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意） 存在使GKH的面積恰好等于ABC面積的的位置，此時(shí)x的值為點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形

14、的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，此題有一定的難度，但是一道比較好的題目3（2013秋邵武市校級期中）有兩個(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長均為6）如圖1所示疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角滿足0°90°，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩塊三角板的重疊部分（如圖2）（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積是否發(fā)生變化？并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論（2）如圖3，連接KH，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一位置使GKH的面積恰好等于ABC面積的？若存在，請求出此時(shí)KC的長度；若不存在，請

15、說明理由考點(diǎn)：幾何變換綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形的形狀和大小不變，可以得到角的度數(shù)沒有變化，進(jìn)一步可以得到BGH=CGK，得證BGHCGK，則全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的性質(zhì)得到：全等三角形的面積相等，則四邊形CHGK的面積等于BGC的面積，所以四邊形CHGK的面積不變；（2）根據(jù)面積公式得出SGHK=S四邊形CKGHSCKH=x23x+9，根據(jù)GKH的面積恰好等于ABC面積的，代入得出方程x23x+9=××6×6，求出即可解答：解：（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH=CK理由如下：如圖1，ABC為等腰直角三角形，G（O）為其斜邊中點(diǎn)，

16、CG=BG，CGAB，且SBCG=SABC如圖2，連接CGACG=B=45°，BGH與CGK均為旋轉(zhuǎn)角，BGH=CGK在BGH和CGK中，BGHCGK（ASA）BH=CK；在上述旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形CHGK的面積不變理由如下：由知，BGHCGK則SBGH=SCGKS四邊形CHGK=SCHG+SCGK=SCHG+SBGH=SBCG=SABC=××6×6=9即：旋轉(zhuǎn)過程中，BH=CK，S四邊形CHGK的面積為9，是一個(gè)定值，在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化；（2）假設(shè)存在使GKH的面積恰好等于ABC面積的的位置如圖3，設(shè)BH=x，由題意及（1）中結(jié)論可得，CK=BH=x，

17、CH=CBBH=6x，SCHK=CH×CK=3xx2，SGHK=S四邊形CKGHSCKH=9（3xx2）=x23x+9，GKH的面積恰好等于ABC面積的，x23x+9=××6×6，解得x1=2，x2=4（經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意） 存在使GKH的面積恰好等于ABC面積的的位置，此時(shí)x的值為2或4點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，此題有一定的難度，但是一道比較好的題目4（2011秋富源縣校級期末）把兩個(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜

18、邊中點(diǎn)O重合現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角滿足條件：0°90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖2）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：探究型分析：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形的形狀和大小不變，可以得到角的度數(shù)沒有變化，進(jìn)一步可以得到BGF=BGE，得證BGHCGK，全等三角形的面積相等，則四邊形CHGK的面積等于BGC的面積，所以四邊形CHGK的面積不變解答：解：在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH=CK，四邊形CHGK的面積不變證明

19、：ABC為等腰直角三角形，G（O）為其斜邊中點(diǎn)，CG=BG，CGAB，且SBCG=SABCACG=B=45°BGH與CGK均為旋轉(zhuǎn)角，BGH=CGK在BGH和CGK中，BGHCGKBH=CK，SBGH=SCGKS四邊形CHGK=SCHG+SCGK=SCHG+SBGH=SBCG=SABC=××4×4=4即：旋轉(zhuǎn)過程中，BH=CK，S四邊形CHGK的面積為4，是一個(gè)定值，在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化點(diǎn)評：本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定的綜合運(yùn)用，難度中上5（2013無錫模擬）如圖1，把兩個(gè)全等的三角板ABC、EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角邊FG經(jīng)

20、過三角板ABC的直角頂點(diǎn)C，垂直AB于G，其中B=F=30°，斜邊AB和EF均為4現(xiàn)將三角板EFG由圖1所示的位置繞G點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（090°），如圖2，EG交AC于點(diǎn)K，GF交BC于點(diǎn)H在旋轉(zhuǎn)過程中，請你解決以下問題：（1）GH：GK的值是否變化？證明你的結(jié)論；（2）連接HK，求證：KHEF；（3）設(shè)AK=x，請問是否存在x，使CKH的面積最大？若存在，求x的值；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：相似形綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：（1）GH：GK的值沒發(fā)生變化，根據(jù)已知條件證明AGKCGH，由相似三角形的性質(zhì)可得：，又因?yàn)樵赗tACG中，tanA=，所以GH：GK的

21、比值是一個(gè)的值；（2）連接HK，由（1）可知在RtKHG中，tanGKH=，所以GKH=60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和證明，E=EGFF=90°30°=60°，即可證得GKH=E=60°，利用同位角相等兩線平行即可證明KHEF；（3）設(shè)AK=x，存在x=1，使CKH的面積最大，由（1）得AGKCGH，所以CH=AK=x，根據(jù)三角形的面積公式表示出SCHK=CKCH=（2x）x，再把二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式即可求出x的值解答：（1）解：GH：GK的值不變，GH：GK=證明如下：CGAB，AGC=BGC=90°B=30°，ACB

22、=90°，A=GCH=60°AGC=BGC=90°，AGK=CGHAGKCGH 在RtACG中，tanA=，GH：GK= （2）證明：連接HK，如圖2，由（1）得，在RtKHG中，tanGKH=，GKH=60°在EFG中，E=EGFF=90°30°=60°，GKH=EKHEF； （3）解：存在x=1，使CKH的面積最大理由如下：由（1）得AGKCGH，CH=AK=x，在RtEFG中，EGF=90°，F(xiàn)=30°，AC=EF=2，CK=ACAK=2x SCHK=CKCH=（2x）x，=（x1）2+，當(dāng)x=1時(shí)

23、，CKH的最大面積為點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、三角形的面積公式、二次函數(shù)的最值問題，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等6（2007哈爾濱模擬）把兩個(gè)全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中B=F=30°，斜邊AB和EF長均為4（1）當(dāng)EGAC于點(diǎn)K，GFBC于點(diǎn)H時(shí)（如圖），求GH：GK的值；（2）現(xiàn)將三角板EFG由圖所示的位置繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角滿足條件：0°30°（如圖），EG交AC于點(diǎn)K，GF交BC于點(diǎn)H，GH：GK的值是否改變？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（3）在下，連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)GH=x，GKH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（4）三角板EFG由圖所示的位置繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，0°90°，是否存在某位置使BFG