雅克比矩陣知識介紹

1、雅可比矩陣(Jacobi方法)Jacobi 方法Jacobi方法是求對稱矩陣的全部特征值以及相應(yīng)的特征向量的一種方法，它是基于以下兩個結(jié)論1)任何實對稱矩陣A可以通過正交相似變換成對角型，即存在正交矩陣Q,使得QT AQ = diag(入，”,入)(3.1)其中入(i=1,2,n)是A的特征值，Q中各列為相應(yīng)的特征向量2)在正交相似變換下，矩陣元素的平方和不變。即設(shè) A=(aj) n兀,Q交矩陣,記 B=QAQ=(b)n ,貝Unn耳尸1“尸1Jacobi方法的基本思想是通過一次正交變換,將A中的一對非零的非對角化成零并且使得非對角元素的平方和減小。反復(fù)進行上述過程，使變換后的矩陣的非對角元素

2、的平方和趨于零，從而使該矩陣近似為對角矩陣，得到全部特征值 和特征向量。1 矩陣的旋轉(zhuǎn)變換 設(shè)A為n階實對稱矩陣，考慮矩陣sin妙易見Vij (©)是正交矩陣,記八二耳皿二A注意到B=V A的第i,j行元素以及的第i,j列元素為1直彳sin於 +b“ cos hcos妙 +白直予匸Q 尬， b 直,cos tp +£1盒 j sin Q ,可得陽丘ajj cefS 妙 +吟sin <b +&曲 5/?2 <b 1） 2 2Ajj -弘 sin 妙 + 方 cos 4> sin2 妙) > ) -1- * J- 1 JJ X 邸c紗臥 - -

3、- VJ / J1 1 If 1 7J 矗4誌詁? 二 專;)二(幻7 一馬7 ) 3衛(wèi)方妙£OM少+弓丁 £Os2如果aj用，取©使得（|如<?）4則有 呂.<對A重復(fù)上述的過程，可得 A ,這樣繼續(xù)下去,得到一個矩陣序列A(k) 可以證明，雖然這種變換不一定能使矩陣中非對角元素零元素的個數(shù)單調(diào)增加， 但可以保證非對角元素的平方和遞減，我們以 A與A1)為例進行討論。£二E云八丘專=E胡巴設(shè)由式(3.4)I爲豈'二刃篇)=馬上cos/p證炫力？妙I(lǐng)甜二一盤讓cos妙乜丑旳方妙 kj可得£（A）= E唸沿2 E （蚯出+兮礙

4、羅二甥=0"好Ai,jk,lfj-遠 翡 + 2 ” （£益 + 占氐）-E（A） 2云$ <£C4）k#lk老h j血1 f i這表明,在上述旋轉(zhuǎn)變換下，非對角元素的平方和嚴格單調(diào)遞減，因而由(3.2)可知，對角元素的平方和單調(diào)增加。2. Jacobi 方法通過一系列旋轉(zhuǎn)變換將 A變成A(k+1),求得A的全部特征值與特征向量的方 法稱為Jacobi方法。計算過程如下1)令 k=0, A (k) =AriI 4 Iij 1 -如X怙伽I1 wz山也2) 求整數(shù)i,j, 使得3) 計算旋轉(zhuǎn)矩陣b-tan $ -sign胡)1ccos j , j dsin b

5、cVi+i24)計算A(k+1)(fr+13 %(fr+13 百> (Gfr+1： 切3十D- ®+i>一力二C初- d a述_ (fr+i)切- (fr+i>&JJ-Ot+l)5)6)計算若 E(A(k+1)< & 則1>(frdcdc血戌 2 24-+ + - M sJys力4滋曲2 244+<-fjff為特征值,Q T = (V(0)VVS的各列為相應(yīng)的特 征向量；否則，k+仁 返回2,重復(fù)上述過 程。例5用Jacobi方法求矩陣r 2 -1J - -120 -1342. 0000-b OOOC0. 0000Vo0. 7071

6、4囲5短-1. 00000.00002.0000-EOOOO-1.00002.0000-0. 70710.0000。 70710. 7 0710.00000. 000C0- O'OOO5°° 0.0001|T的特征值和特征向 量。般地，Jacobi法不能在有限步內(nèi)將A化成對角陣，但有下面的定理定理3設(shè)A為n階使對稱矩陣，對A用Jacobi法得到序列A（k） ,其中A（0） =A,貝 U,11朋 EQS）二 0比TOO證明由Jacobi法計算過程|冊| Z |盅|故有(3.5)另一方面，有計算A的公式可以得到夢）2+ （鏟）2 = 浮”十礙）24-2佔?。?（諾&qu

7、ot;）4（胡切嚴二（舞尺（舞嚴于是有燈)-軌嚴)-T)；代入式(3.5)得百3中D ) W(lWl -/+1 百因為<1>所以Ilia E<A) WX-*»化.為=0.c n/zha nshi/shuzhife nxi/shuzhife nxi/4.3/szfx043.h tm雅可比矩陣以m個n元函數(shù)Ui=u(X1,X2,，xj(i=1,2,m)的偏導(dǎo)數(shù) (j =1,2,n)為元素的矩陣9m 18盂$込(J)二虻)二»B !* i!0%.13!% >如果把原來的函數(shù)組看作由點X = (X1,X2,，Xn)到點U

8、 = (U1,U2,Um)的一個 變換T,則在偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)的前提之下，u隨x的變化由相應(yīng)的微分方程組込 1來描述。這是一個關(guān)于微分的線性方程組，其系數(shù)矩陣便是雅可比矩陣(J)，因而可寫成矩陣形式du 2=（）或 dw =（J ）d咒 °這隱含著(J)具有微分系數(shù)的某些性質(zhì)，類似于一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。而在m書=1的情 形,它又恰好是一個一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；所以它也是一個一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)到 m個n 元函數(shù)的一種推廣。因此，(J)作為微分系數(shù)或?qū)?shù)的推廣，有時也被當作變換T 的導(dǎo)數(shù)”看待并記為T卜(x)=( J) o變換T的進一步的數(shù)量描述需要雅可比行列式。定義任給一個n維向量X,其范數(shù)X是一個滿足

9、下列三個條件的實數(shù):(1) 對于任意向量x, XX0,且X#o嘆二0；(2) 對于任意實數(shù)入及任意向量X, I I Xk#| X| X ；(3) 對于任意向量X和Y, X+ 丫 I I K將Y ； 對于這樣的，叫雅克比矩陣定義。雅克比矩陣證明關(guān)于這個的一般性證明稍微復(fù)雜點，現(xiàn)在就給你證明為什么二維的 dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv 成立證明：對于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲邊四邊形ABCD其中A(u,v),B(u+ u,v),C(u+ u,v+ v),D(u,v+ v),那么這個曲邊四邊形 ABCD可以近似看成是微小向量 B(u+Au,v)-A(u,v)

10、 和D(u,v+ v)-A(u,v) 張成 的。利用中值定理可知：(u+ u,v)-(u,v)=Mdu(u,v+ v)-(u,v)=Ndv這里的M N是偏導(dǎo)數(shù)的形式，不好打出，你可以自己算出來，很簡單的。 當變化量很小時，我們把(u+ u,v)-(u,v)近似看成dx(u,v)，(u,v+ v)-(u,v)看成 dy(u,v)，所以，dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv而其中的M*N剛好就是二維Jacobi行列式的展開形式。由此問題得證。雅可比矩陣 在向量微積分中，雅可比矩陣是一階偏導(dǎo)數(shù)以一定方式排列成的矩陣，其 行列式成為雅可比行列式。還有，在代數(shù)幾何中，代數(shù)曲線的雅可比量表示雅可比

11、簇：伴隨該曲線的 一個群簇，曲線可以嵌入其中。它們?nèi)慷家詳?shù)學(xué)家雅可比命名； 英文雅可比量 "Jacobian" 可以發(fā)音為 ja ?ko bi ?n 或者? ?ko bi ?n。雅可比矩陣的重要性在于它體現(xiàn)了一個可微方程與給出點的最優(yōu)線性逼 近。因此，雅可比矩陣類似于多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。雅可比矩陣定義： 雅可比矩陣定義為向量對向量的微分矩陣， 定義式如 下： 見所附 jpg 圖片。例：MATLAB jacobian 是用來計算Jacobi矩陣的函數(shù)。syms r l fx=r*cos(l)*cos(f);y=r*cos(l)*sin(f);z=r*sin(l);J=jacob

12、ian(x;y;z,r l f)結(jié)果：J = cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f) cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f) sin(l),r*cos(l), 0 Hessian 矩陣就是一個多元實函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，設(shè)f=f(x1,x2.xn)二階導(dǎo)數(shù)(dA2f/d(xi)d(xj)構(gòu)成矩陣，在優(yōu)化分析中常用到。Jacobi矩陣就是一個多元矢量函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，如 f=(f1(x1,x2.xn),.,fm(x1,x2.xn),相應(yīng)矩陣元素為 d(fi)/d(xj) 。在穩(wěn)定點附近的

13、穩(wěn)定性分析常用到它。 本質(zhì)上說，以上 兩者是相關(guān)的 Jacobi 可以看作是一個多元實函數(shù)的梯度(一階導(dǎo)數(shù))的導(dǎo)數(shù)。在向量微積分中， 雅可比矩陣 是一階偏導(dǎo)數(shù)以一定方式排列成的矩陣， 其行列式 稱為 雅可比行列式 。還有，在代數(shù)幾何中， 代數(shù)曲線的 雅可比量表示雅可比簇： 伴隨該曲線的一個代 數(shù)群，曲線可以嵌入其中。它們?nèi)慷家詳?shù)學(xué)家卡爾 雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以發(fā)音為ja永o bi ?n或者? ?ko bi ?n。雅可比矩陣 雅可比矩陣的重要性在于它體現(xiàn)了一個可微方程與給出點的最優(yōu)線性逼近。因此，雅可比矩陣類似于多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。假設(shè)F：Rn-Rm是

14、一個從歐式n維空間轉(zhuǎn)換到歐式 m維空間的函數(shù)。這個函數(shù)由m個實函數(shù)組成：y1(x1,.,xn),，ym(x1,.,xn).這些函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣，這就是所謂的雅可比矩陣：此矩陣表示為：洪用肌)(並b *，花，或者。(訟1,八，霜71)這個矩陣的第i行是由梯度函數(shù)的轉(zhuǎn)置yi(i=1,.,m)表示的如果p是R中的一點，F(xiàn)在p點可微分，那么在這一點的導(dǎo)數(shù)由Jf(p)給出(這是 求該點導(dǎo)數(shù)最簡便的方法)。在此情況下，由f(p)描述的線性算子即接近點p的 F的最優(yōu)線性逼近，x逼近與p例子由球坐標系到直角坐標系的轉(zhuǎn)化由F函數(shù)給出：R X 0, n X 0,2 n - R3=

15、 rsin 0sin0 Tj = rcos此坐標變換的雅可比矩陣是仇儀1 =sin 9 cos ©sin S sin (pcos 9r eos9cost> r yinfisiii 0 r cos 8 sin 審 r sin 9 cos (p-r sin 90R的f函數(shù)：yi二叭V2 = 5za的=42 一 2Ta1 9- 5 2 3 Q- 4 S其雅可比矩陣為：1000050畑-23 cos(xi) 0sin(Ti)此例子說明雅可比矩陣不一定為方矩陣。 在動力系統(tǒng)中 考慮形為x' = F(x)的動力系統(tǒng)，F(xiàn) ： R1 - R。如果F(x°) = 0，那么X。是

16、一個 駐點。系統(tǒng)接近駐點時的表現(xiàn)通?？梢詮?Jf(Xo)的特征值來決定。雅可比行列式 如果m= n,那么F是從n維空間到n維空間的函數(shù)，且它的雅可比矩陣是一個 方塊矩陣。于是我們可以取它的行列式，稱為 雅可比行列式。在某個給定點的雅可比行列式提供了 F在接近該點時的表現(xiàn)的重要信息。例如， 如果連續(xù)可微函數(shù)F在p點的雅可比行列式不是零，那么它在該點附近具有反函 數(shù)。這稱為反函數(shù)定理。更進一步，如果 p點的雅可比行列式是正數(shù)，則F在p 點的取向不變；如果是負數(shù)，則F的取向相反。而從雅可比行列式的絕對值，就 可以知道函數(shù)F在p點的縮放因子；這就是為什么它出現(xiàn)在換元積分法中。例子設(shè)有函數(shù)F : R3

17、-戌，其分量為: 阪=5如則它的雅可比行列式為:05081-2丁3 EOS(也工3)-2血8昌(也帀)=87：!5°n1 0=二40盤忑密從中我們可以看到，當X1和X2同號時，F(xiàn)的取向相反；該函數(shù)處處具有反函數(shù), 除了在Xi = 0和X2= 0時以外。海森矩陣Jacobi陣和Hessian陣可謂是用途廣泛。不僅是在優(yōu)化問題中常用，在各種多 元問題中一般都常遇到。比如在求解非線性方程組時，兩者會經(jīng)常被使用。關(guān)于 它們的定義和用法，推薦參看李慶揚等寫的非線性方程組的數(shù)值解法。樓主可參看R.A.Horn的矩陣分析卷一 雅可比矩陣雅可比矩陣定義：雅可比矩陣定義為向量對向量的微分矩陣，定義式如

18、下: 見所附j(luò)pg圖片。雅克比矩陣在有限單元法中指的是全局坐標對局部坐標的偏導(dǎo)數(shù)，我們在由節(jié)點位移求解節(jié)點應(yīng)變的時候會碰到形函數(shù)對整體坐標的偏導(dǎo)問題，即求解B矩陣，由于形函數(shù)對整體坐標的偏導(dǎo)比較難求，我們可以先求形函數(shù)對局部坐標的偏導(dǎo) 數(shù)，然后利用雅克比矩陣轉(zhuǎn)化為形函數(shù)對整體坐標的偏導(dǎo)數(shù)。雅克比矩陣其實質(zhì) 和泛函求導(dǎo)數(shù)中泛函中的變量對自變量的導(dǎo)數(shù)是一樣的。只不過一個是矩陣，一個數(shù)數(shù)值而已。在空間問題8節(jié)點的線性單元中，雅克比矩陣是3*3得矩陣。我們 在計算過程中還經(jīng)常用到雅克比行列式的值，它用來判斷單元是否畸形，一般雅 克比行列式為正，則說明單元形態(tài)較好，反之單元形態(tài)不好。雅克比方法是解決 線

19、性方程組的一種迭代方法，當現(xiàn)行方程組的階數(shù)較高時，用直接法解方程組時 可能誤差較大，就要采用迭代方法。不過雅克比迭代不是一種很高效的迭代方法， 高斯-塞德爾迭代方法較其效率要高。雅克比矩陣必然是n*n的矩陣，因為局部坐標和全局坐標之間的變量的數(shù)量永遠 是相同的 在一般的應(yīng)用過程中，局部坐標和整體坐標線性無關(guān)且數(shù)目相等， 所以雅克比矩 陣是方陣，并且行列式不恒為零。但是，從純數(shù)學(xué)的角度講，如果允許廣義坐標 之間線性相關(guān)，那么雅克比矩陣可能不是方陣，即使是方陣，行列式也可能恒為 零。討論Jacobi矩陣不能僅限于有限元。應(yīng)用數(shù)學(xué)上是這樣定義的：設(shè)有n個變元的 m個函數(shù) yi=fi(x1,x2,xn

20、) (i=1,2,m)，A=D(y1,.,ym)/D(x1,.xn)稱為上式的Jacobi矩陣。m和n是可以不同的。其實局部坐標和全局坐標的變量的數(shù)量是可以不同的，例如三角形單元的面積坐標和四面體單元的體積坐標，因為面積坐標和體積坐標都不是完全獨立的，其分量的和都是1。在有限元中，通過變量替換，使得 Jacobi矩陣成為方陣，是為了求其逆矩陣的 需要。只是在有限元中是這樣用的而已。不過Jacobi矩陣J的行列式|J|何時為常數(shù)？我一直弄不清楚。書上說二維情形 下的矩形和平行四邊形單元的 |J| 是常數(shù)，三維情形下的正六面體或平行六面體 單元的 |J| 不是常數(shù)，請問從理論上怎么理解呢？最好不是

21、數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果。 回樓上的兄弟：雅克比矩陣的行列式 |J| 為常數(shù)，就是里頭的每個元素都為常數(shù)，以二維等參 單元的自然坐標和平面坐標為例，J(1,1)= ZNi' Z Z nXi，只要插值函數(shù)Ni是 z的一次函數(shù)，貝u不管任何點(z n上的j(i，1)都是常數(shù)。所以插值函數(shù)只 要是單維線性的，雅克比矩陣的行列式就是常數(shù)。ljz0702 2006-7-23 11:32 雅可比矩陣的作用是什么 ? 如題,請教雅可比矩陣和彈塑性矩陣的區(qū)別 ,以及在材料的本構(gòu)關(guān)系中為什么有 的時候用雅可比矩陣 , 有時用彈塑性矩陣 ?謝謝不吝賜教 !camus 2006-7-27 17:22在等參單元中J反映

22、的是整體坐標與局部坐標的轉(zhuǎn)換關(guān)系。；ZeQ-odCn 彈塑性矩陣反映的是材料的性質(zhì)與彈模和泊松比有關(guān) ;在b計算剛度/b矩陣時用到了 B T D B J行列式的局部坐標下的積分 b|H2w'K而彈塑性矩陣是在 b 計算應(yīng)力 /b 時用到 D e怎么理解海森矩陣和雅可比矩陣首先類比一下一維。 Jacobian 相當于一階導(dǎo)數(shù)， Hessian 相當于二階導(dǎo)數(shù)。 一維 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的 motivation 是很明顯的。二階導(dǎo)數(shù)的零點就是一階導(dǎo)數(shù)的極值點。 對于很多應(yīng)用，我們不僅關(guān)心一階導(dǎo)數(shù)的零點(也就是函數(shù)的極值點) ，也關(guān)心 一階導(dǎo)數(shù)的極值點， 比如信號處理中， 信號的一階導(dǎo)數(shù)的極值點反映

23、信號變化的 最劇烈程度。極值點尋求在編程時不方便，不如找二階導(dǎo)數(shù)的零點。Jacobian 對于標量函數(shù) f: Rn-> R1 ，實際是個向量，這個向量實際上就是函數(shù) 的梯度 gradient 。 gradient 根據(jù) Cauchy-Swartz 公式，指向的是在某處方向?qū)?數(shù)取極大值的方向。在二維圖像處理中，可用 gradient 來檢測灰度值的邊緣。 對于向量場 F: Rn-> Rm, Jacobian 的每一行實際都是一個梯度。且有 F( X)=F(P)+J(P)(X-P)+O(|X-P|) 這個式子的每一行都是一個分量的局部線性 化?？紤]一個二維的數(shù)字圖像線性變換( Hom

24、ography， image warping), 以有限差 分代替微分，可作類似分析。H:像素(x,y)-> 像素(u,v)u=u( x,y) v=v(x,y)貝其 Jacobian 為 u'(x) u'(y) v'(x) v'(y)反映了局部圖像的變形程度。最理想的情況 u'(x)=1,v'(y)=1,u'(y)=0,v'(x)=0.說明圖像維持原狀。由于 dudv=|det(Jacobian(x,y)|dxdy(此式的有效性可參考換元法) 注： 有的書上稱 det(Jacobian(x,y) )為 Jacobian.說明

25、面積微元改變的程度由當 |det(Jacobia n(x,y)|=1 當 |det(Jacobian(x,y)|<1 當 |det(Jacobian(x,y)|>1|det(Jacobian(x,y)| 決定時，說明面積不變，時，說明面積壓縮，出現(xiàn)了像素丟失現(xiàn)象 時，說明面積擴張，需要進行像素插值。另外，由 Jacobian 矩陣的特征值或奇異值，可作類似說明。可參考Wielandt-Hoffman 定理Hessian 矩陣定義在標量函數(shù)上，對于矢量函數(shù)，則成為一個 rank 3 的張量。 ls 的解釋很好 Jacobian 和 Hessian 就好比單變量標量函數(shù)情況下的一階導(dǎo)數(shù)

26、和 二階導(dǎo)數(shù) 能很好的概括函數(shù)的極值點和單調(diào)性Hessian 矩陣有一個特例是 Fisher Information Matrix, 也叫 Information Matrix,是對對數(shù)似然函數(shù)的 Hessian 矩陣 求期望得到的 , 衡量了分布中信息量的大小 在統(tǒng)計中非常有用 .雅克比矩陣(Jacobia matrix) 以m個n元函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)為元素的矩陣如果把原來的函數(shù)組看作由點到點的一個變換T,則在偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)的前提之下，u隨x的變化由相應(yīng)的微分方程組來描述。這是一個關(guān)于微分的線性方程 組，其系數(shù)矩陣便是雅克比矩陣(J)，因而可寫成矩陣形式正交矩陣正交矩陣是實數(shù)特殊化的酉矩陣， 因此

27、總是正規(guī)矩陣。 盡管我們在這里只考慮實 數(shù)矩陣，這個定義可用于其元素來自任何域的矩陣。 正交矩陣畢竟是從內(nèi)積自然 引出的，對于復(fù)數(shù)的矩陣這導(dǎo)致了歸一要求。定義 定義 1如果：AA'=E( E為單位矩陣，A表示 矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”。)或AA=E則n 階實矩陣A稱為正交矩陣， 若A為正交陣，則滿足以下條件：1) A 是正交矩陣2) AA=E (E為單位矩陣)3) A是正交矩陣4) A 的各行是單位向量且兩兩正交5) A 的各列是單位向量且兩兩正交6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y R正交矩陣通常用字母Q表示。舉例：A=r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r

28、33則有：r11A2+r12A2+r13A2=r21A2+r22A2+r23A2=r31A2+r32A2+r33A2=1r11*r12+r21*r22+r31*r32=0 等性質(zhì)正交方陣是歐氏空間中標準正交基到標準正交基的過渡矩陣。在矩陣論中，實數(shù) 正交矩陣是方塊矩陣Q它的轉(zhuǎn)置矩陣是它的逆矩陣：，如果正交矩陣的行列式為+1，則我們稱之為特殊正交矩陣：概述要看出與內(nèi)積的聯(lián)系，考慮在 n維實數(shù)內(nèi)積空間中的關(guān)于正交基寫出的向 量vo v的長度的平方是vv。如果矩陣形式為Q/的線性變換保持了向量長度， 則所以有限維線性等距同構(gòu)，比如旋轉(zhuǎn)、反射和它們的組合，都產(chǎn)生正交矩陣。 反過來也成立：正交矩陣蘊涵了

29、正交變換。但是，線性代數(shù)包括了在既不是有限 維的也不是同樣維度的空間之間的正交變換，它們沒有等價的正交矩陣。有多種原由使正交矩陣對理論和實踐是重要的。nM正交矩陣形成了一個 群，即指示為qn）的正交群，它和它的子群廣泛的用在數(shù)學(xué)和物理科學(xué)中。例如,分子的點群是Q3）的子群。因為浮點版本的正交矩陣有有利的性質(zhì)，它們 是字數(shù)值線性代數(shù)中很多算法比如 QR分解的關(guān)鍵，通過適當?shù)囊?guī)范化，離散余 弦變換（用于MP3壓縮）可用正交矩陣表示。例子下面是一些小正交矩陣的例子和可能的解釋。恒等變換。旋轉(zhuǎn)16.26 °針對x軸反射。旋轉(zhuǎn)反演（rotoinversion）:軸（0,-3/5,4/5），角度

30、90° 置換坐標軸?；緲?gòu)造低維度最簡單的正交矩陣是1 X1矩陣1和-1，它們可分別解釋為恒等和實 數(shù)線針對原點的反射。如下形式的2 >2矩陣它的正交性要求滿足三個方程在考慮第一個方程時，不丟失一般性而設(shè) p = cos Q q = sin 0;因此要么t = -q, u = p要么t = q, u = - p。我們可以解釋第一種情況為旋轉(zhuǎn) 0 0= 0是 單位矩陣），第二個解釋為針對在角 02的直線的反射。旋轉(zhuǎn) 反射在45。的反射對換x和y ；它是置換矩陣，在每列和每行帶有一 個單一的1（其他都是0）:單位矩陣也是置換矩陣。反射是它自己的逆，這蘊涵了反射矩陣是對稱的 （ 等于

31、它的轉(zhuǎn)置矩陣 ） 也是正 交的。兩個旋轉(zhuǎn)矩陣的積是一個旋轉(zhuǎn)矩陣，兩個反射矩陣的積也是旋轉(zhuǎn)矩陣。 更高維度不管維度，總是可能把正交矩陣按純旋轉(zhuǎn)與否來分類，但是對于3 X3矩陣和更高維度矩陣要比反射復(fù)雜多了。例如，和表示通過原點的反演和關(guān)于 z 軸的旋轉(zhuǎn)反演 （ 逆時針旋轉(zhuǎn) 90°后針對 x-y 平面反射，或逆時針旋轉(zhuǎn) 270 °后對原點反演 ） 。旋轉(zhuǎn)也變得更加復(fù)雜； 它們不再由一個角來刻畫， 并可能影響多于一個平面 子空間。盡管經(jīng)常以一個軸和角來描述 3X3 旋轉(zhuǎn)矩陣，在這個維度旋轉(zhuǎn)軸的存 在是偶然的性質(zhì)而不適用于其他維度。但是，我們有了一般適用的基本建造板塊如置換、反射、

32、和旋轉(zhuǎn)。 基本變換最基本的置換是換位 （transposition） ，通過交換單位矩陣的兩行得到。任 何 nXn 置換矩陣都可以構(gòu)造為最多 n- 1 次換位的積。 構(gòu)造自非零向量 v 的 Householder 反射為這里的分子是對稱矩陣，而分母是 v 的平方量的一個數(shù)。這是在垂直于 v 的超平面上的反射 （取負平行于 v 任何向量分量 ） 。如果 v 是單位向量，則 Q= I - 2vv 就足夠了。 Householder 反射典型的用于同時置零一列的較低部分。 任何 nXn 正交矩陣都可以構(gòu)造為最多 n 次這種反射的積。Givens 旋轉(zhuǎn)作用于由兩個坐標軸所生成的二維 （ 平面 ）子空間

33、上，按選定角 度旋轉(zhuǎn)。它典型的用來置零一個單一的次對角線元素 （subdiagonal entry） 。任 何 nXn 的旋轉(zhuǎn)矩陣都可以構(gòu)造為最多 n（ n- 1）/2 次這種旋轉(zhuǎn)的積。在 3x3 矩陣 的情況下， 三個這種旋轉(zhuǎn)就足夠了； 并且通過固定這個序列， 我們可以用經(jīng)常叫 做歐拉角的三個角來 （盡管不唯一）描述所有 3X3 旋轉(zhuǎn)矩陣。雅可比旋轉(zhuǎn)有同 Givens 旋轉(zhuǎn)一樣的形式， 但是被用做相似變換， 選擇來置 零 2 X2 子矩陣的兩個遠離對角元素 （off-diagonal entry） 。性質(zhì) 矩陣性質(zhì)實數(shù)方塊矩陣是正交的， 當且僅當它的列形成了帶有普通歐幾里得點積的歐 幾里得空

34、間 R 的正交規(guī)范基， 它為真當且僅當它的行形成 R 的正交基。 假設(shè)帶 有正交（非正交規(guī)范 ）列的矩陣叫正交矩陣可能是誘人的， 但是這種矩陣沒有特殊 價值而沒有特殊名字；他們只是 MM= D， D 是對角矩陣。任何正交矩陣的行列式是 +1 或 - 1。這可從關(guān)于行列式的如下基本事實得 出:反過來不是真的； 有 +1 行列式不保證正交性， 即使帶有正交列， 可由下列 反例證實。對于置換矩陣， 行列式是 +1 還是 -1 匹配置換是偶還是奇的標志， 行列式 是行的交替函數(shù)。比行列式限制更強的是正交矩陣總可以是在復(fù)數(shù)上可對角化來展示特征值 的完全的集合，它們?nèi)急仨氂?（復(fù)數(shù)） 絕對值 1。群性質(zhì)

35、正交矩陣的逆是正交的，兩個正交矩陣的積是正交的。事實上，所有n>n正 交矩陣的集合滿足群的所有公理。 它是 n(n- 1)/2 維的緊致李群， 叫做正交群并 指示為 O(n) 。行列式為 +1 的正交矩陣形成了路徑連通的子群指標為 2 的 O(n) 正規(guī)子 群，叫做旋轉(zhuǎn)的特殊正交群 SO(n) 。商群 O(n)/ SO(n) 同構(gòu)于 O(1) ，帶有依據(jù) 行列式選擇 +1 或 - 1 的投影映射。帶有行列式 - 1 的正交矩陣不包括單 位矩陣，所以不形成子群而只是陪集； 它也是(分離的)連通的。 所以每個正交群 被分為兩個部分；因為投影映射分裂， O(n) 是 SO(n) 與 O(1)

36、的半直積。用實 用術(shù)語說，一個相當?shù)年愂鍪侨魏握痪仃嚳梢酝ㄟ^采用一個旋轉(zhuǎn)矩陣并可能取 負它的一列來生成，如我們在2 &矩陣中看到的。如果n是奇數(shù)，則半直積實 際上是直積，任何正交矩陣可以通過采用一個旋轉(zhuǎn)矩陣并可能取負它的所有列來 生成?，F(xiàn)在考慮(n+1) >(n +1)右底元素等于1的正交矩陣。最后一列(和最后一 行)的余下元素必須是零，而任何兩個這種矩陣的積有同樣的形式。余下的矩陣 是n*正交矩陣；因此 qn)是qn+1)(和所有更高維群)的子群。因為 Householder 正交矩陣形式的基本反射可把任何正交矩陣簡約成這種 約束形式， 一系列的這種反射可以把任何正交矩陣變回

37、單位矩陣； 因此正交群是 反射群。最后一列可以被固定為任何單位向量，并且每種選擇給出不同的 O(n) 在 O(n+1) 中的復(fù)本； 以這種方式 O(n+1) 是在單位球 S 與纖維 O(n) 上的叢。類似的， SO(n) 是 SO(n+1) 的子群；任何特定正交矩陣可以使用類似過程 通過Give ns平面旋轉(zhuǎn)來生成。叢結(jié)構(gòu)持續(xù)：SQn) ? SQn+1) S。一個單 一旋轉(zhuǎn)可以在最后一列的第一行生成一個零，而n-1次旋轉(zhuǎn)序列將置零n>n旋轉(zhuǎn)矩陣的除了最后一列的最后一行的所有元素。 因為平面是固定的， 每次旋轉(zhuǎn)只 有一個自由度，就是它的角度。通過歸納， SO(n) 因此有自由度， O(n)

38、 也是。置換矩陣簡單一些；它們不形成李群，只是一個有限群， n! 次對稱群 Sn。 通過同類的討論， Sn 是 Sn+1 的子群。偶置換生成行列式 +1 的置換矩陣的子 群， n!/2 次交錯群。規(guī)范形式更廣泛的說， 任何正交矩陣的效果分離到在正交二維空間上的獨立動作。 就 是說，如果Q是狹義正交的，則你可以找到(旋轉(zhuǎn))改變基的一個正交矩陣 P, 把 Q 帶回到分塊對角形式 ：(n偶數(shù))，(n奇數(shù))。這里的矩陣R1,., Rk是2 &旋轉(zhuǎn)矩陣，而余下 的元素是零。作為例外，一個旋轉(zhuǎn)塊可以是對角的，±I 。因此如果需要的話取負一列，并注意2 X2反射可對角化為+1和-1，任何正

39、交矩陣可變?yōu)槿缦滦?式,矩陣R1,Rk給出位于復(fù)平面中單位圓上的特征值的共軛對； 所以這個 分解復(fù)合確定所有帶有絕對值 1 的特征值。 如果 n 是奇數(shù)，至少有一個實數(shù)特 征值+1或-1;對于3 X3旋轉(zhuǎn)，關(guān)聯(lián)著+1的特征向量是旋轉(zhuǎn)軸。 數(shù)值線性代數(shù)利益數(shù)值分析自然的利用了正交矩陣的很多數(shù)值線性代數(shù)的性質(zhì)。 例如，經(jīng)常需 要計算空間的正交基， 或基的正交變更； 二者都采用了正交矩陣的形式。 有行列 式 ±1 和所有模為 1 的特征值是對數(shù)值穩(wěn)定性非常有利的。 一個蘊涵是條件數(shù) 為 1 ( 這是極小的 ) ，所以在乘以正交矩陣的時候錯誤不放大。很多算法為此使 用正交矩陣如 Househ

40、older 反射和 Givens 旋轉(zhuǎn)。有幫助的不只是正交矩陣是可 逆的，還有它的逆矩陣本質(zhì)上是免花費的，只需要對換索引 ( 下標)。置換是很多算法成功的根本， 包括有局部定支點 (partial pivoting) 的運算 繁重的高斯消去法 ( 這里的置換用來定支點 ) 。但是它們很少明顯作為矩陣出現(xiàn)； 它們的特殊形式允許更有限的表示，比如 n 個索引的列表。同樣的，使用 Householder 和 Givens 矩陣的算法典型的使用特殊方法的 乘法和存儲。 例如， Givens 旋轉(zhuǎn)只影響它所乘的矩陣的兩行， 替代完全的 n 次 的矩陣乘法為更有效的 n 次運算。在使用這些反射和旋轉(zhuǎn)向矩陣介入零的時候， 騰