《函數(shù)的定義》PPT課件

1、一函數(shù)的定義一函數(shù)的定義二極限的概念二極限的概念三延續(xù)的概念三延續(xù)的概念一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容函函 數(shù)數(shù)的定義的定義反函數(shù)反函數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系函數(shù)之間關(guān)系根本初等函數(shù)根本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)函函 數(shù)數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)單值與多值單值與多值奇偶性奇偶性單調(diào)性單調(diào)性有界性有界性周期性周期性雙曲函數(shù)與雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)1 1、函數(shù)的定義、函數(shù)的定義記記作作的的函函數(shù)數(shù)，是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱稱則則總總有有確確定定的的數(shù)數(shù)值值和和它它按按照照一一定定法法，變變量量集集如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)是是一一個(gè)個(gè)給給定定的的數(shù)數(shù)是是兩兩個(gè)個(gè)變變量量

2、，和和設(shè)設(shè)定定義義)(xfyxyyDxDyx 叫叫做做因因變變量量叫叫做做自自變變量量，叫叫做做這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域數(shù)數(shù)集集yxD.),(稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域函數(shù)值全體組成的數(shù)集函數(shù)值全體組成的數(shù)集DxxfyyW 函數(shù)的分類函數(shù)的分類函數(shù)函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)分段函數(shù), ,有無窮多項(xiàng)等函數(shù)有無窮多項(xiàng)等函數(shù)) )代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)) )有理分函數(shù)有理分函數(shù)( (分式函數(shù)分式函數(shù)) )(1) 單值性與多值性單值性與多值性:若若對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)Dx ,僅

3、僅有有一一個(gè)個(gè)值值)(xfy 與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng),則則稱稱)(xf為為單單值值函函數(shù)數(shù),否否則則就就是是多多值值函函數(shù)數(shù).xyoxey xyo1)1(22 yx2 2、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)(2) 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)有有對(duì)對(duì)于于關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱設(shè)設(shè),DxD ;)()()(為為偶偶函函數(shù)數(shù)稱稱xfxfxf ;)()()(為為奇奇函函數(shù)數(shù)稱稱xfxfxf yxoxyoxy 3xy (3) 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性: 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I D，假設(shè)對(duì)于區(qū)間I上恣意兩點(diǎn) 及 ，當(dāng) 時(shí)，恒有： (1) ,那么稱函數(shù) 在區(qū)間I上是單調(diào)添加的；或(2) ,

4、 那么稱函數(shù) 在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的；單調(diào)添加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。1x2x21xx )()()()(2121xfxfxfxf)(xf)(xfxyo2xy ;0時(shí)為減函數(shù)時(shí)為減函數(shù)當(dāng)當(dāng) x;0時(shí)為增函數(shù)時(shí)為增函數(shù)當(dāng)當(dāng) x.)(,)(, 0,否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)成成立立有有若若XxfMxfXxMDX (4) 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:;), 0()0 ,(上上無無界界及及在在 .), 11,(上上有有界界及及在在 xyoxy1 11 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，假設(shè)存在一個(gè)不為零的，假設(shè)存在一個(gè)不為零的數(shù)數(shù)l,使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一

5、 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒成立恒成立,那么稱那么稱f(x)為周期函數(shù)為周期函數(shù),l 稱為稱為 f(x) 的周期的周期.通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期.Dx Dlx )(5) 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:oyx11xxy 1 T3 3、反函數(shù)、反函數(shù).)()(1稱稱為為反反函函數(shù)數(shù)確確定定的的由由xfyxfy 0 yexy如如4 4、隱函數(shù)、隱函數(shù).)(0),(稱為隱函數(shù)稱為隱函數(shù)所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)由方程由方程xfyyxF xysinh )(1xfy sinhar x)(xfy xyo),(xxf)(,(xfx)(1xfy 5、反函數(shù)

6、與直接函數(shù)之間的關(guān)系、反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系則則函數(shù)函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(xf fDxxxffxff )()(111 .)()(21xyxfyxfy 圖象對(duì)稱于直線圖象對(duì)稱于直線的的與與6 6、根本初等函數(shù)、根本初等函數(shù)1冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xy2指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayx3對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxya4三角函數(shù)三角函數(shù);cosxy ;sin xy 5反三角函數(shù)反三角函數(shù);arccos xy ;arcsin xy ;cot xy ;tan xy ;arctan xy ycotarcx7 7、復(fù)合函數(shù)、復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(u

7、fy 的定義域的定義域fD,而函數(shù)而函數(shù))(xu 的 值 域 為的 值 域 為 Z, 若若 ZDf, 則 稱 函 數(shù)則 稱 函 數(shù))(xfy 為為x的的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù).8 8、初等函數(shù)、初等函數(shù)由常數(shù)和根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四那么運(yùn)算和由常數(shù)和根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四那么運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)示的函數(shù),稱為初等函數(shù)稱為初等函數(shù).9 9、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2sinhxxeex 雙雙曲曲正正弦弦2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙雙曲曲正正切切雙

8、曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;sinh xy 反雙曲正弦反雙曲正弦ar;tan xy 反反雙雙曲曲正正切切ar;cosh xy 反雙曲余弦反雙曲余弦ar;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx ;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx 左右極限左右極限兩個(gè)重要兩個(gè)重要極限極限求極限的常用方法求極限的常用方法無窮小無窮小的性質(zhì)的性質(zhì)極限存在的極限存在的充要條件充要條件斷定極限斷定極限存在的準(zhǔn)那么存在的準(zhǔn)那么無窮小的比較無窮小的比較極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)數(shù)

9、列極限數(shù)列極限函函 數(shù)數(shù) 極極 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等價(jià)無窮小等價(jià)無窮小及其性質(zhì)及其性質(zhì)獨(dú)一性獨(dú)一性無窮小無窮小0)(lim xf兩者的兩者的關(guān)系關(guān)系無窮大無窮大 )(limxf定義定義 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) (不論它多么不論它多么小小),總存在正數(shù)總存在正數(shù)N,使得對(duì)于使得對(duì)于Nn 時(shí)的一切時(shí)的一切nx,不不等式等式 axn都成立都成立,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的極限的極限,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx收斂于收斂于a,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn., 0, 0 axNnNn恒恒有有時(shí)時(shí)使使1

10、 1、極限的定義、極限的定義定定義義N 定定義義 2 2 如如果果對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總總存存在在正正數(shù)數(shù) , ,使使得得對(duì)對(duì)于于適適合合不不等等式式 00 xx的的一一切切x, ,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf都都滿滿足足不不等等式式 Axf)(, ,那那末末常常數(shù)數(shù)A就就叫叫函函數(shù)數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí)的的極極限限, ,記記作作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)右極限右極

11、限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng).)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理無窮小無窮小:極限為零的變量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或記記作作絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大無窮大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或記記作作在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為恒不為零的無窮

12、小的倒數(shù)為無窮大零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系2 2、無窮小與無窮大、無窮小與無窮大定理定理1 在同一過程中在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小仍是無窮小.定理定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小乘積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)無窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理定理. 0,)()(l

13、im)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如果如果推論推論2 23 3、極限的性質(zhì)、極限的性質(zhì)4 4、求極限的常用方法、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)

14、算性質(zhì)求極限利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng)),(00rxUx (或或Mx )時(shí)時(shí),有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在,且等于且等于A.5 5、斷定極限存在的準(zhǔn)那么、斷定極限存在的準(zhǔn)那么準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.(夾逼準(zhǔn)那么夾逼準(zhǔn)那么)(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim; 1sinlim 某某過過程程.)1(lim1e 某過程某過

15、程6 6、兩個(gè)重要極限、兩個(gè)重要極限);(, 0lim)1( o記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比就就說說如如果果定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個(gè)無是同一過程中的兩個(gè)無設(shè)設(shè);),0(lim)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 CC;, 1lim 記作記作是等價(jià)的無窮小是等價(jià)的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地7 7、無窮小的比較、無窮小的比較定理定理(等價(jià)無窮小交換定理等價(jià)無窮小交換定理).limlim,lim, 則則存存在在且且設(shè)設(shè).),0, 0(lim)3(無無窮窮小小階階的的是是是是就就說說如如果果kkCCk 定定理理 若若)(limxf

16、存存在在,則則極極限限唯唯一一.8、等價(jià)無窮小的性質(zhì)、等價(jià)無窮小的性質(zhì)9、極限的獨(dú)一性、極限的獨(dú)一性左右延續(xù)左右延續(xù)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上延續(xù)上延續(xù)延續(xù)函數(shù)延續(xù)函數(shù)的的 性性 質(zhì)質(zhì)初等函數(shù)初等函數(shù)的延續(xù)性的延續(xù)性延續(xù)點(diǎn)定義延續(xù)點(diǎn)定義連連 續(xù)續(xù) 定定 義義0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 延續(xù)的延續(xù)的充要條件充要條件延續(xù)函數(shù)的延續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)非初等函數(shù)的延續(xù)性的延續(xù)性 振蕩延續(xù)點(diǎn)振蕩延續(xù)點(diǎn) 無窮延續(xù)點(diǎn)無窮延續(xù)點(diǎn) 騰躍延續(xù)點(diǎn)騰躍延續(xù)點(diǎn) 可去延續(xù)點(diǎn)可去延續(xù)點(diǎn)第一類第一類 第二類第二類定義定義1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某一鄰域內(nèi)有定義的某一鄰域

17、內(nèi)有定義, ,如果當(dāng)自變量的增量如果當(dāng)自變量的增量x 趨向于零時(shí)趨向于零時(shí), ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連的連續(xù)點(diǎn)續(xù)點(diǎn). .1 1、延續(xù)的定義、延續(xù)的定義).()(lim200 xfxfxx 定義定義定理定理.)()(00既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)處處在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)

18、xxfxfxfbxxf 3 3、延續(xù)的充要條件、延續(xù)的充要條件2 2、單側(cè)延續(xù)、單側(cè)延續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf :)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個(gè)個(gè)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為為并稱點(diǎn)并稱點(diǎn)或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個(gè)不滿足要有一個(gè)不滿足如果上述三個(gè)條件中只如果上述

19、三個(gè)條件中只xfxxxf4 4、延續(xù)點(diǎn)的定義、延續(xù)點(diǎn)的定義(1) 騰躍延續(xù)點(diǎn)騰躍延續(xù)點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxfxfxxf (2)可去延續(xù)點(diǎn)可去延續(xù)點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱點(diǎn)處無定處無定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 5 5、延續(xù)點(diǎn)的分類、延續(xù)點(diǎn)的分類騰躍延續(xù)點(diǎn)與可去延續(xù)點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類延續(xù)點(diǎn)騰躍延續(xù)點(diǎn)與可去延續(xù)點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類延續(xù)點(diǎn).特點(diǎn)特點(diǎn): :.,0

20、右極限都存在右極限都存在處的左處的左函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x可去型可去型第一類延續(xù)點(diǎn)第一類延續(xù)點(diǎn)騰躍型騰躍型0yx0 x0yx0 x0yx無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類延續(xù)點(diǎn)第二類延續(xù)點(diǎn)0yx0 x第二類延續(xù)點(diǎn)第二類延續(xù)點(diǎn).)(,)(00類間斷點(diǎn)類間斷點(diǎn)的第二的第二為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)至少有一個(gè)不存在至少有一個(gè)不存在右極限右極限處的左處的左在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxf.,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點(diǎn)并且在左端點(diǎn)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 6 6、閉區(qū)間的延續(xù)性、閉區(qū)間的延

21、續(xù)性7 7、延續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)、延續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則則處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定理定理1 1 嚴(yán)厲單調(diào)的延續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)厲單調(diào)的延嚴(yán)厲單調(diào)的延續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)厲單調(diào)的延續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .定理定理2 2).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)若若8 8、初等函數(shù)的延續(xù)性、初等函數(shù)的延續(xù)性.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)

22、且且連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3定理定理4 4 根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是延續(xù)的根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是延續(xù)的. .定理定理5 5 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是延續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是延續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.9 9、閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上延續(xù)在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值的函數(shù)一定有最大值和最小值. .定理定理 3(3(零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間

23、 ba,上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(bf異號(hào)異號(hào)( (即即0)()( bfaf),),那末在開區(qū)間那末在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個(gè)零的一個(gè)零點(diǎn)點(diǎn), ,即至少有一點(diǎn)即至少有一點(diǎn) )(ba ，使，使0)( f. .定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .推論推論 在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)必獲得介于最大值在閉區(qū)間上延續(xù)的函數(shù)必獲得介于最大值M與最小值與最小值m之間的任何值之間的任何值.定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上上連續(xù)，且在

24、這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那末，對(duì)于那末，對(duì)于A與與B之間的任意一個(gè)數(shù)之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間，在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得，使得cf )( )(ba . .二、典型例題二、典型例題例例1 1.)16(log2)1(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即例例2 2).(. 1, 0,2)1()(xfxxxxxfxf求求其其中中設(shè)設(shè) 解解利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性,

25、1xxt 令令,11tx 即即代入原方程得代入原方程得,12)()11(ttftf ,12)11()(xxfxf 即即,111uux 令令,11ux 即即代入上式得代入上式得,)1(2)1()11(uuuufuf ,)1(2)1()11(xxxxfxf 即即 xxxxfxfxxfxfxxxfxf)1(2)1()11(12)11()(2)1()(解聯(lián)立方程組解聯(lián)立方程組. 1111)( xxxxf例例3 3).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)解解將分子、分母同乘以因子將分子、分母同乘以因子(1-x), 那么那么xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(l

26、im242原原式式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nxxn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例4 4.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解 解法討論解法討論則則設(shè)設(shè),)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln(xfxf 310)1sin1tan1(1limxxxx 原原式式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301

27、cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式例例5 5).(, 1)(lim, 2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多項(xiàng)式是多項(xiàng)式設(shè)設(shè) 解解, 2)(lim23 xxxpx),(2)(23為為待待定定系系數(shù)數(shù)其其中中可可設(shè)設(shè)babaxxxxp , 1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp. 1, 0 ab從從而而得得xxxxp 232)(故故例例6 6.1,2cos1,1)(的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論 xxxxxf 解解改改寫寫成成將將)(xf 1, 11

28、1,2cos1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在顯然顯然 xf,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x )(lim1xfx )1(lim1xx. 2 )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(間間斷斷在在故故 xxf,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(連連續(xù)續(xù)在在故故 xxf.), 1()1,()(連續(xù)連續(xù)在在 xf例例7 7).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使使得得

29、證證明明必必有有一一點(diǎn)點(diǎn)且且上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)證明證明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 討論討論:, 0)0( F若若, 0 則則);0()210(ff , 0)21( F若若,21 則則);21()2121(ff 則則若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0()21(ff . 0 由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知,. 0)(),21, 0( F使使.)()21(成立成立即即 ff 綜上綜上,1 , 021, 0 必有一點(diǎn)必有一點(diǎn).)()21(成成立立使使 ff

30、一、一、 選擇題：選擇題：1 1函數(shù)函數(shù)21arccos1 xxy的定義域是的定義域是（ ）(A)(A)1 x；(B)(B)13 x；(C)(C)1,3( ；(D)(D) 131 xxxx. .2.2.函數(shù)函數(shù) 30 , 104, 3)(2xxxxxf的定義域是的定義域是（ ）(A)(A)04 x；(B)(B)30 x; ;(C)(C)3,4( ; ;(D)(D) 3004 xxxx. .測(cè)測(cè) 驗(yàn)驗(yàn) 題題3 3、函函數(shù)數(shù)xxxysincos 是是（ ）( (A A) )偶偶函函數(shù)數(shù)； ( (B B) )奇奇函函數(shù)數(shù)；( (C C) )非非奇奇非非偶偶函函數(shù)數(shù)；( (D D) )奇奇偶偶函函數(shù)數(shù)

31、. . 4 4、函函數(shù)數(shù)xxf2cos1)( 的的最最小小正正周周期期是是（ ） ( (A A) )2 2 ； ( (B B) ) ； ( (C C) ) 4 4 ； ( (D D) )21 . .5 5、函函數(shù)數(shù)21)(xxxf 在在定定義義域域?yàn)闉椋?）( (A A) )有有上上界界無無下下界界； ( (B B) )有有下下界界無無上上界界；( (C C) )有有界界，且且 2121)( xf ；( (D D) )有有界界，且且 2122 xx . .6 6、與、與2)(xxf 等價(jià)的函數(shù)是等價(jià)的函數(shù)是（ ） (A) (A) x； (B) (B) 2)(x； (C)(C) 33)(x； (D)(D) x . .7 7、當(dāng)、當(dāng)0 x時(shí)，下列函數(shù)哪一個(gè)是其它三個(gè)的高階時(shí)，下列函數(shù)哪一個(gè)是其它三個(gè)的高階無窮小無窮小（ ） （A A）2x； （B B）xcos1 ； （C C）xxtan ； （D D）)1ln(x . .8 8、設(shè)設(shè), 0,00 ba則則當(dāng)當(dāng)（ ）時(shí)時(shí)有有 00110110.limbabxbxbaxaxannnmmmx . . ( (A A) )nm ； ( (B B) )nm ； ( (C C) )nm ； ( (D D) )nm ,任任意意取取 . .二二、求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域：9 9、設(shè)