第9可測集及其性質(zhì)

1、第9講 可測集及其性質(zhì) 目的：熟練掌握可測集的性質(zhì)，學(xué)會采用 類比的方法歸納出這些性質(zhì)。重點與難點：可測集的性質(zhì)，可測集序列 的極限之可測性。一. 可測集的性質(zhì) 問題問題1 1：回憶回憶riemannriemann積分的性質(zhì)，通過積分的性質(zhì)，通過 類比的方法，我們可以得到可測類比的方法，我們可以得到可測 集應(yīng)具有哪些性質(zhì)？集應(yīng)具有哪些性質(zhì)？第9講 可測集及其性質(zhì) 定理定理1 1 （i i）設(shè)）設(shè) ，則，則 可測當(dāng)且僅當(dāng)可測當(dāng)且僅當(dāng) 可測；可測； （ii ii）如果）如果 ，則，則 可測；可測； （iiiiii） 與與 都可測。都可測。 證明：若 可測，則對任意 ， ，若令 ， e0*emcee

2、nre cee 1nrt )()(*cetmetmtmenr則 ，于是故 也可測，反之亦然， （i）證畢。若 ，則對任意 ， 。于是由及eec1)()(1*1*etmetmtmccee 1nrt 0*em0)(*etm)()(*cetmetmtm)()(*tettmetmcc知 。 由（i）、 （ii）立得（iii）。證畢。定理定理2 2 若若 都可測，則都可測，則 , , , , 都可測。都可測。 證明：由定理1與de morgan公式及等式 ，只需證明 是可測集，即要證明對任意 ，有)()(*cetmetmtm21,ss21ss 21ss 21ss 21ss nrt cssss2121)(

3、)(21*21*csstmsstmtm我們可以通過 將 分解成互不相交四塊，即 顯然 ，故由 的可測性知同理由 ，得 t21,ss,),(212211ssttsstt,214123ssttsstt2*1*21*)(tmtmttm1211,ststc1s243221,sttsttc注意到 ，且 ，所以)(3241*ttttmtm)()(43*21*ttmttm43221)(tttsstcststt22243,)()(43*2*21*ttmtmsstm從而即 可測。證畢。 )(43*2*1*ttmtmtmtm)(21*1*sstmtm),()(21*21*sstmsstmc21ss 推論推論 如果

4、如果 是可測集，是可測集，則則 也可測集，且當(dāng)所有也可測集，且當(dāng)所有 互不相交時，互不相交時，有有 證明：由定理2及歸納法立知 可測。下設(shè) 互不相交，記 ，則 ，于是 ， iscnss), 2 , 1(nisiniis1niiniimssm11)(niis1), 2 , 1(nisi11niise)(*)(*111inininismsmsm（在（2）式中，令 ）。 類似地故 。證畢。nniisbsa,1111*211*11)(*)(*niiinininismsmsmsmniiinimssm111)( * *定理定理3 3 若若 都是可測集，則都是可測集，則 也是可測集，且當(dāng)所有也是可測集，且當(dāng)

5、所有 互不相交時，有互不相交時，有 證明：由于 、 互不相交，且當(dāng)每個 都可測時，), 2 , 1(nisi), 3 , 2(11issijji1iisis11)(iiiimssm1sis 也可測。所以只需就 互不相交情形證之。假如 是任意集合，往證 注意對任意正整數(shù) ，有), 3 ,2(11issijjiisnrt )(*)(11*ciiiistmstmtmn由于 與 都可測，且互不相交，故由知由歸納法知)(*)(11*ciniinistmstmtm)(*)(11*ciiinistmstmns11niiscniniiniestsest,)(1111),()()(*11*1*niniinist

6、mstmstm從而令 ，得所以 是可測集。niiinistmstm1*1*)()()(*)()(11*ciniisitmstmtm11)(*)(*iciiistmstmtm(3) )(*)(*11ciiiistmstm1iisn 在不等式（3）中取 ，則得即 。證畢。1iist111*1)()()()(iciiiiiiissmsmsm11),()(iiiismsm11)()(iiiismsm 定理3告訴我們，可測集合的確是完全可加的。由此可見，例1中構(gòu)造的集合 是 中的一個不可測集合，否則每個 都將可測，而 ，故應(yīng)有 ，而這正是導(dǎo)致矛盾的關(guān)鍵。 snnnnmssm)()(mnssmnns)1

7、,0( 推論推論 如果如果 都是可測集，都是可測集，則則 也可測。也可測。 證明：由于 ，由定理1知每個 可測，由定理3知 可測，再由定理1知 可測。證畢。 ), 3 , 1(isicis1iisciiciiss11)(1icis1iis 從定理1、2及其推論可以看到，可測集關(guān)于集合的“并”、“并”、“余”運算是封閉的，從定理3及其推論可以看到，可測集對于可數(shù)“交”、“并”運算也是封閉的。因此，如果將 中的所有可測子集放在一起就構(gòu)成 的一個子集簇，這個子集簇是一個 域。 回憶第一章中關(guān)于 域的定義，那里是對一般集合 的子集簇而言的，所以，如果我們在 的一個 域 上定義了某種非負(fù)函數(shù) ，也就是說

8、， 的定義域為 ，使得 適合前面所講的測度的基本mssfnrnrmf性質(zhì)，則可以將 看作一般集合上的測度。這樣，對一般抽象集合，也可以引進(jìn)測度的概念。換句話說，我們可以將 中l(wèi)ebesgue測度的基本性質(zhì)作為公理來定義一般集合上的測度。這正是抽象測度論的出發(fā)點。應(yīng)該看到，從 到一般集合的測度推廣絕非一般的平行推廣，這種推廣既有其重大的理論價值，又有其應(yīng)用價值，比如，我們所學(xué)過的概念論中的概率，就是定義的隨機事件組居的空間上的測度，通常稱之為概率測度概率測度。fmnrnr 可以這么說，測度論的產(chǎn)生為概率奠定了豎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。又如，按 中的lebesgue測度，是無法區(qū)別 內(nèi)的兩個零測度集的。但這

9、些集合在分形幾何及動力系統(tǒng)以及其它一些學(xué)科中是十分重要的。于是出現(xiàn)所謂的分?jǐn)?shù)維數(shù)（hausdorff維數(shù)）概念。它其它就是由一類特殊測度定義的，這類測度通常稱為hausdorff測度。用這種測度可以區(qū)分不同的lebesgue零測集，并確定其維數(shù)。我們將在本書的最后介紹一般測度論的基本知識。nrnr二. 單調(diào)可測集列的極限之可測性問題問題2 2：單調(diào)遞增可測集列的極限之測度是單調(diào)遞增可測集列的極限之測度是 否必等于該集列測度之極限？否必等于該集列測度之極限？問題問題3 3：單調(diào)遞減可測集列的極限之測度是單調(diào)遞減可測集列的極限之測度是 否必等于該集列測度之極限？否必等于該集列測度之極限？ 定理定理

10、4 4 設(shè)設(shè) 是單調(diào)遞增的可測是單調(diào)遞增的可測 集列。則集列。則 可測，且可測，且 證明：由于 單調(diào)遞增，故 ，由定理3知 可測。 若 ，則 ，等式顯然成立。故不妨設(shè) ，), 2 , 1(ieiiielimiiiimeem limlimie1limiiiieeiielimnnmelim)lim(nnemnnmelim 從而對 。令 則 互不相交，且 ，于是由 的可測性知每個 都可測，由定理3得nmen, 3 , 2,111ieesesiiiieisis),()(11iiiiemsmiiiies11niiniiiismsmsm111)(lim)()(注意 與 不交，且 ，故從而所以從而121)(

11、limmeeemniiin11)(iiiimemeeem2121)()(iiiiiimemeeem1iieeieiiee111)(iiiimeeemme證畢。 * *定理定理5 5 假設(shè)假設(shè) 是單調(diào)遞減的可是單調(diào)遞減的可測集合，則測集合，則 可測，若存在可測，若存在 ，使使 ，則有，則有nnniiinmemeeemlim)(lim121), 2 , 1(ieiiielimiiiimeem limlim0n0nme 證明：由 是單調(diào)遞減的知 ，故定理3的推論知 可測。令 則 是單調(diào)遞增的可測集，由定理4知 可測，且iennniee1limnnelim, 2, 1,000nnneesnnnnsnn

12、slimnnnnmssm lim)lim(注意到及所以從而進(jìn)一步 。證畢。),()()(000nnnnnnneememeeemsm,)(lim110000nnnnnnnnnneeees,lim100nnnnnnemmesnnnnnnnmemeemmmelim)(0001nnnnnnnmeememlim)()(*101 * *定理定理6 6 假設(shè)假設(shè) 是可測集列，是可測集列，若若 存在，則極限集也可測；若有存在，則極限集也可測；若有 ，使使 ，則，則 ),2, 1(ieinnelim0k)(0nknem iiiimeem limlim 證明：由于 ，故由定理3及其推論易知 與 都可測，所以若 存在，則必可測。 記 則 單調(diào)下降，由定理的條件知，當(dāng) 時， ，于是由定理5知nnelimnnelimnnelim,knknes ns0kn nms),lim()lim(lim0nnnnknkknnnemememmsknknnnnknnneee11lim,lim第