數(shù)值計(jì)算答案 石瑞民

1、習(xí)題一1、取3.14,3.15，作為的近似值，求各自的絕對(duì)誤差，相對(duì)誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。解：所以，有三位有效數(shù)字絕對(duì)誤差：，相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差限：，相對(duì)誤差限：所以，有兩位有效數(shù)字絕對(duì)誤差：，相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差限：，相對(duì)誤差限：所以，有三位有效數(shù)字絕對(duì)誤差：，相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差限：，相對(duì)誤差限：所以，有七位有效數(shù)字絕對(duì)誤差：，相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差限：，相對(duì)誤差限：3、下列各數(shù)都是對(duì)準(zhǔn)確數(shù)四舍五入后得到的近似數(shù)，試分別指出它們的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，有效數(shù)字的位數(shù)。解： m=-1所以，n=3，有三位有效數(shù)字絕對(duì)誤差限：，相對(duì)誤差： m=0所以，n=4，有四位有效數(shù)字絕對(duì)誤差限：，相對(duì)誤差： m

2、=2所以，n=4，有四位有效數(shù)字絕對(duì)誤差限：，相對(duì)誤差： m=4所以，n=4，有四位有效數(shù)字絕對(duì)誤差限：，相對(duì)誤差： 4、計(jì)算的近似值，使其相對(duì)誤差不超過(guò)。解：設(shè)取位有效數(shù)字，由定理1.1知，由，所以，由題意，應(yīng)使，即所以，n=4，即的近似值取4位有效數(shù)字近似值6、在機(jī)器數(shù)系下中取三個(gè)數(shù)，試按和兩種算法計(jì)算的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解： 所以，比精確，且與相同；因此，在做三個(gè)以上的數(shù)相加時(shí)，需要考慮相加的兩個(gè)同號(hào)數(shù)的階數(shù)盡量接近。8、對(duì)于有效數(shù)，估計(jì)下列算式的相對(duì)誤差限。，解：，m=1; 所以 同理 或 或 或所以，所以，所以，綜合得：，9、試改變下列表達(dá)式，使其結(jié)果比較精確（其中表示x充

3、分接近0，表示充分大）。（1），（2），（3），（4），（5），答案：（1）；（3），（4）法一：用得出結(jié)果為： 法二：或12、試給出一種計(jì)算積分近似值的穩(wěn)定性遞推算法解：顯然， In>0,n=1,2,當(dāng)n=1時(shí)，得，當(dāng)n2時(shí)，由分部積分可得：，n=2,3,另外，還有：由遞推關(guān)系In=1-nIn-1，可得計(jì)算積分序列的兩種算法： n=2,3，下面比較兩種算法的穩(wěn)定性若已知的一個(gè)近似值，則實(shí)際算得的的近似值為所以，由此可以看出的誤差放大n倍傳到了，誤差傳播速度逐步放大由計(jì)算 若已知的一個(gè)近似值是，則實(shí)際計(jì)算的的近似值為所以， 由此可以看出的誤差將縮小n倍傳到了，誤差傳播速度逐步衰減。綜上可

4、看出，計(jì)算積分的一種穩(wěn)定性算法為習(xí)題二1、利用二分法求方程3，4內(nèi)的根，精確到，即誤差不超過(guò)。解：令，說(shuō)明在3，4內(nèi)有根，利用二分法計(jì)算步驟得出，滿(mǎn)足精度要求所以，共用二分法迭代11次。2、證明在0,1內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不大于的根。證明：令，所以，由零點(diǎn)定理知，在0,1內(nèi)有一根根據(jù)計(jì)算得出：，此時(shí)共迭代15次。4、將一元非線(xiàn)性方程寫(xiě)成收斂的迭代公式，并求其在附近的根，精確到。解：令令=0，得到兩種迭代格式，不滿(mǎn)足收斂定理。，滿(mǎn)足收斂定理由方程寫(xiě)出收斂的迭代公式為取初值為 ，得出近似根為：5、為方程在附近的一個(gè)根，設(shè)方程改寫(xiě)為下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：（1），迭代公式；（2）

5、，迭代公式（3），迭代公式解：（1）利用局部收斂定理判斷收斂性，判斷初值附近的局部收斂（2）局部收斂（3）不滿(mǎn)足局部收斂條件但由于，所以比收斂的慢取第二種迭代格式 取初值，迭代9次得7、用牛頓法求解在初始值臨近的一個(gè)正根，要求。解：令由牛頓迭代法知： 迭代結(jié)果為：012321.888891.879451.87939滿(mǎn)足了精度要求，8、用牛頓法解方程，導(dǎo)出計(jì)算C的倒數(shù)而不用除法的一種簡(jiǎn)單迭代公式，用此公式求0.324的倒數(shù)，設(shè)初始值，要求計(jì)算結(jié)果有5位有效數(shù)字。解：，由牛頓迭代公式迭代結(jié)果為：012333.0843.0864183.086420滿(mǎn)足精度要求所以，0.324的倒數(shù)為3.086411

6、、用快速弦截法求方程在附近的實(shí)根，（取=1.9，要求精度到）。解：，迭代結(jié)果：0123421.91.8810941.879411601.87939滿(mǎn)足精度要求12、分別用下列方式求方程在附近的根，要求有三位有效數(shù)字（1）用牛頓法，?。?）用弦截法，?。?）用快速弦截法，取解：求出的解分別為： 習(xí)題三1、用高斯消元法解下列方程組（1） （2）解：（1）等價(jià)的三角形方程組為，回代求解為（2）等價(jià)的三角形方程組為，回代求解為2、將矩陣作分解。解：,3、用緊湊格式分解法解方程組解：，,.4、用列主元的三角分解法求解方程組解：,5、用追趕法解三角方程組，其中,.解：，6用改進(jìn)的Cholesky分解法解方

7、程組解：，7、用改進(jìn)的cholesky分解法解方程組解：，8、設(shè),求。解：9、設(shè),求解：，10、設(shè)，計(jì)算，及，并比較和 的大小。解：，=10，=911、給定方程（1）寫(xiě)出Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式；（2）證明Jacobi迭代法收斂而Gauss-Seidel迭代法發(fā)散；（3）給定，用迭代法求出該方程的解，精確到。解：（1）Jacobi迭代公式Gauss-Seidel迭代公式（3）用Jacobi迭代得，13、已知，考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的收斂性。14、方程組，其中，利用迭代收斂的充分必要條件確定使Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭

8、代法均收斂的a的取值范圍。解:Jacobi迭代矩陣為當(dāng)?shù)茫?Gauss-Seidel迭代矩陣為：當(dāng)?shù)茫?15、設(shè)方程組分別用Gauss-Seidel迭代法和w=1.25的SOR法求解此方程，準(zhǔn)確到4位有效數(shù)字（?。┙猓篏auss-Seidel迭代法共迭代17次，此時(shí)近似解為SOR法w=1.25時(shí)，迭代11次，此時(shí)的近似解為16、用SOR方法解方程組（分別取松弛因子w=1.03，w=1， w=1.1）精確解，要求當(dāng)時(shí)，終止迭代，并且對(duì)每一個(gè)w值確定迭代次數(shù)。解：當(dāng)w=1.03時(shí)，迭代5次， 當(dāng)w=1時(shí)，迭代6次，當(dāng)w=1.1時(shí)，迭代6次，習(xí)題四1、設(shè)，寫(xiě)出的一次插值多項(xiàng)式，并估計(jì)插值誤差。解：

9、，其中2、給定函數(shù)表-0.10.30.71.10.9950.9950.7650.454選用合適的三次插值多項(xiàng)式來(lái)近似計(jì)算。解：、求，選用插值節(jié)點(diǎn)為，用 lagrange插值多項(xiàng)式為：解得、求，選用插值節(jié)點(diǎn)，解得：4、給定數(shù)據(jù)（）2.02.12.22.41.142141.4491381.483201.54917（1）試用線(xiàn)性插值計(jì)算的近似值，并估計(jì)誤差。（2）試用二次Newton插值多項(xiàng)式計(jì)算的近似值，并估計(jì)誤差。解：（1）取，（2）寫(xiě)出二次Newton插值差商表一階差商二階差商2.01.142142.11.4491380.349242.21.483200.34062-0.04315、給出函數(shù)值

10、x01234y01646880試求各階差商，并寫(xiě)出Newton插值多項(xiàng)式和差值余項(xiàng)。解：y一階差商二階差商三階差商四階差商001161624630738821-3-5/240-88-109/3-25/2-7/66、給定數(shù)據(jù)表0.1250.250.3750.5000.6250.7500.796180.773340.743710.704130.656320.60228試用三次牛頓差分插值公式計(jì)算和。解：、求，取，h=0.125差分表為一階差分二階差分三階差分0.1250.796180.250.77334-0.022840.3750.74371-0.02963-0.006790.50.70413-0

11、.03958-0.00995-0.00316由公式由牛頓插值公式有、求，取，h=0.125一階差分二階差分三階差分0.3750.743710.50.70413-0.039580.6250.65632-0.04781-0.008230.750.60228-0.05404-0.006230.002求解得9、給出sinx在0,pi的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，用線(xiàn)性插值計(jì)算sinx的近似值，使其截?cái)嗾`差為，問(wèn)該函數(shù)表的步長(zhǎng)h應(yīng)取多少才能滿(mǎn)足要求？解：設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為，（i=0,1h）,由F(x)=sinx，所以，即所以步長(zhǎng)h應(yīng)取為0.02才能滿(mǎn)足要求。14、已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下192531384419.032.349.

12、073.397.8用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算均方差。解：設(shè)擬合多項(xiàng)式為，則正規(guī)方程組為即：所以，經(jīng)驗(yàn)公式為：均方誤差為0.00301915、觀測(cè)物體的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，得出以下數(shù)據(jù)時(shí)間t(s)00.91.93.03.95.0距離S(m)010305080110求運(yùn)動(dòng)方程。解：設(shè)擬合多項(xiàng)式為，則正規(guī)方程組為即：a=-0.5834，b=11.0814，c=2.2488所以擬合多項(xiàng)式為。習(xí)題五1、分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分，并比較結(jié)果。（1）（n=8）解：用復(fù)合梯形公式 用辛普森公式 精確值：由上可看出復(fù)合辛普森公式更精確。（4）（n=4）解：用復(fù)合辛普森公式用辛普森公式 ，精確解為：所以辛普森公式的精度較高。3、用復(fù)合梯形公式求積分，問(wèn)將積分區(qū)間a，b分成多少等分，才能保證誤差不超過(guò)？解：由復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)知，取求得 6、分別用下列計(jì)算方法積分，并比較計(jì)算結(jié)果的精度（積分準(zhǔn)確值I=1.098612）。（1）復(fù)合梯形法，N=16 （2）復(fù)合拋物線(xiàn)法，n=8解：(1)(2)精確值：I=2.079441，所以，復(fù)合拋物線(xiàn)精度更高。7、試確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式