衍射襯度基本方程-衍射束強(qiáng)度計算

1、衍射束強(qiáng)度計算：衍射束強(qiáng)度計算：完整晶體衍襯運(yùn)動學(xué)基本方程推導(dǎo)。完整晶體衍襯運(yùn)動學(xué)基本方程推導(dǎo)。原子原子0（原點(diǎn)）（原點(diǎn)）位置與相位參位置與相位參照點(diǎn)（位矢照點(diǎn)（位矢=0，相位相位=0）原點(diǎn)原點(diǎn)1，位矢位矢r1，相位相位1 1K0Kg原點(diǎn)原點(diǎn)2，位矢位矢r2，相位相位2計算某散射元發(fā)射的衍射束的振幅矢量的條件：計算某散射元發(fā)射的衍射束的振幅矢量的條件：需要已知三個矢量：入射束波矢需要已知三個矢量：入射束波矢K0，衍射束波矢，衍射束波矢Kg，該散射元的位置，該散射元的位置（位矢（位矢r）。）。1. 要確定位矢要確定位矢r，應(yīng)先確定一個參考散射元。此散射元的位矢，應(yīng)先確定一個參考散射元。此散射元的

2、位矢=0（坐標(biāo)原（坐標(biāo)原點(diǎn)），相位也是點(diǎn)），相位也是0。注意，位置、時間、相位、速度、動量、能量等物理。注意，位置、時間、相位、速度、動量、能量等物理量的值都是相對的。角動量是絕對的。量的值都是相對的。角動量是絕對的。r13. 3. 某散射元相位的計算公式即某散射元相位的計算公式即rkkg02如圖，如圖，K K0 0rr是在入射束方向上是在入射束方向上該散射元衍射束比參考散射元的該散射元衍射束比參考散射元的衍射束多走的光程（與波長之衍射束多走的光程（與波長之比），比），kgrkgr是該散射元的衍射是該散射元的衍射束比參考散射元的衍射束在衍射束比參考散射元的衍射束在衍射方向上多走的光程與波長之比

3、）。方向上多走的光程與波長之比）。K K0 0rrkgrkgr+電子電子0電子電子1原子核原子核0原子核原子核1電子源電子源聚光鏡，可以將焦點(diǎn)（電子源聚光鏡，可以將焦點(diǎn)（電子源位置）上向各方向上發(fā)射的電位置）上向各方向上發(fā)射的電子變成平行電子束，并且垂直子變成平行電子束，并且垂直于平行電子束的各點(diǎn)到焦點(diǎn)于平行電子束的各點(diǎn)到焦點(diǎn)（電子源）的光程相同（電子源）的光程相同物鏡物鏡，可以將平行的物鏡，可以將平行的電子束聚焦在焦平面電子束聚焦在焦平面上某點(diǎn)上，并且垂直上某點(diǎn)上，并且垂直于平行電子束的各點(diǎn)于平行電子束的各點(diǎn)到此聚焦點(diǎn)的光程相到此聚焦點(diǎn)的光程相同。同。計算各散射元某衍射束的強(qiáng)計算各散射元某衍

4、射束的強(qiáng)度（或振幅矢量），即計算度（或振幅矢量），即計算該聚焦點(diǎn)的電子束強(qiáng)度（同該聚焦點(diǎn)的電子束強(qiáng)度（同時到達(dá)此處的電子數(shù)數(shù)目）。時到達(dá)此處的電子數(shù)數(shù)目）。這需要計算兩個量，一個是這需要計算兩個量，一個是電子波在該點(diǎn)振幅，一個是電子波在該點(diǎn)振幅，一個是在該點(diǎn)相位。在該點(diǎn)相位。焦平面聚焦點(diǎn)光軸+電子電子0電子電子1原子核原子核0原子核原子核1電子源電子源物鏡電子運(yùn)行路徑電子運(yùn)行路徑0：從電子源到原子核：從電子源到原子核0附近，被原子核附近，被原子核0的引力散射后到達(dá)的引力散射后到達(dá)聚焦點(diǎn)，聚焦點(diǎn)，電子運(yùn)動路徑電子運(yùn)動路徑1：從電子源到原子核：從電子源到原子核1附近，被原子核附近，被原子核1的引力

5、散射后到達(dá)的引力散射后到達(dá)同一聚焦點(diǎn)。注意到達(dá)在透鏡后，從同一聚焦點(diǎn)。注意到達(dá)在透鏡后，從各方向匯聚到焦平面上某一點(diǎn)的各個各方向匯聚到焦平面上某一點(diǎn)的各個電子，之前在透鏡另一側(cè)的運(yùn)動方向電子，之前在透鏡另一側(cè)的運(yùn)動方向是平行的。是平行的。如果這兩條路徑的光程差是波長的整如果這兩條路徑的光程差是波長的整數(shù)倍（簡而言之光程相同），則意味數(shù)倍（簡而言之光程相同），則意味著，可以讓電子源在間隔為一個時間著，可以讓電子源在間隔為一個時間周期的不同時刻發(fā)射電子同時通過該周期的不同時刻發(fā)射電子同時通過該聚焦點(diǎn)。聚焦點(diǎn)。焦平面聚焦點(diǎn)光軸+電子電子0電子電子1原子核原子核0原子核原子核1電子源電子源物鏡電子的波

6、動性：電子的波動性：如果入射電子束的振幅矢量為如果入射電子束的振幅矢量為焦平面聚焦點(diǎn)光軸)(exp(0wtxkiA這意味著電子源每隔這意味著電子源每隔1/w的時間沿著的時間沿著x方向方向（k0方向）發(fā)射方向）發(fā)射m個速度為個速度為v的電子（的電子（m正正比于比于A2），這樣在），這樣在k0方向上方向上 ，電子束將以，電子束將以間隔長度為間隔長度為=v/w=1/k0的一列列的一列列團(tuán)簇向前團(tuán)簇向前以速度以速度v運(yùn)動的形式出現(xiàn)。運(yùn)動的形式出現(xiàn)。m個電子經(jīng)過各個電子經(jīng)過各原子核時，有一部分會受到電磁引力作用，原子核時，有一部分會受到電磁引力作用，因引力方向垂直于速度（近似描述），則因引力方向垂直于速

7、度（近似描述），則運(yùn)動方向偏轉(zhuǎn)（即散射），而速度大小不運(yùn)動方向偏轉(zhuǎn)（即散射），而速度大小不變（彈性散射）。如果各個電子團(tuán)簇經(jīng)過變（彈性散射）。如果各個電子團(tuán)簇經(jīng)過各原子核的不同路徑到達(dá)焦平面上某一聚各原子核的不同路徑到達(dá)焦平面上某一聚焦點(diǎn)，而這些路徑的光程差焦點(diǎn)，而這些路徑的光程差= 的整數(shù)倍，的整數(shù)倍，則意味著則意味著可以讓電子源在間隔為一個時間可以讓電子源在間隔為一個時間周期的不同時刻發(fā)射電子同時通過該聚焦周期的不同時刻發(fā)射電子同時通過該聚焦點(diǎn)。點(diǎn)。原子核對電子的作用力（負(fù)號表示吸引），導(dǎo)原子核對電子的作用力（負(fù)號表示吸引），導(dǎo)致的散射主要是彈性散射。致的散射主要是彈性散射。22rZeFn

8、原子中電子對電子的作用力（正值表示排斥），導(dǎo)致原子中電子對電子的作用力（正值表示排斥），導(dǎo)致的散射主要是非彈性散射。的散射主要是非彈性散射。22reFe電子與原子核的作用力是與電子的作用力的電子與原子核的作用力是與電子的作用力的Z倍，倍，可見電子在物質(zhì)中的彈性散射大于非彈性散射可見電子在物質(zhì)中的彈性散射大于非彈性散射Z倍，倍，Z越大，彈性散射就越重要。越大，彈性散射就越重要。1. 一個原子對電子的散射一個原子對電子的散射Z原子序數(shù)e電子電荷量r電子與核距離+rn2-re2 定性解釋：電子在一定動能（或波長定性解釋：電子在一定動能（或波長）下，其散射角）下，其散射角2與作用力與作用力Fn有關(guān)。有

9、關(guān)。如前所述，如前所述，F(xiàn)n=-Ze2/r2。即，被不同元素的原子核的以相同角度。即，被不同元素的原子核的以相同角度2散射的電子，散射的電子，受作用力受作用力Fn相同，因為相同，因為Z不同，這樣的電子距離原子核的距離不同，這樣的電子距離原子核的距離rn也不同，從作也不同，從作用力公式看，被不同原子核散射同樣角度的電子，其到原子核的距離用力公式看，被不同原子核散射同樣角度的電子，其到原子核的距離rn與與Z成成正比，正比，Z越大，距離越大，因在距離越大，距離越大，因在距離rn的長度為的長度為2rn圓周上（圖中圓圈）通過圓周上（圖中圓圈）通過的所有電子都以的所有電子都以2角度散射，所以以同樣角度散射

10、的電子數(shù)目越多角度散射，所以以同樣角度散射的電子數(shù)目越多 。原子核彈性散射本領(lǐng)與原子序數(shù)原子核彈性散射本領(lǐng)與原子序數(shù)Z成正比成正比原子核對電子的散射電子對電子的散射+rn2原子核彈性散射本領(lǐng)與原子序數(shù)原子核彈性散射本領(lǐng)與原子序數(shù)Z成正比（定量解釋）成正比（定量解釋）原子核對電子的散射mvmvmvmvmv22在單位時間內(nèi)（時間在單位時間內(nèi)（時間=1），在垂直于入射束方向），在垂直于入射束方向的截面積上通過的電子被以的截面積上通過的電子被以2的角度散射，動量的角度散射，動量的改變的改變=mv=m v=2mvsin（如圖），根據(jù)動（如圖），根據(jù)動量定理量定理2mvsin=Fnt=Fn=-Ze2/r2

11、 （時間（時間t=單位單位時間時間=1），得），得2很小 sin2Zsin2Z222hemverh/=mv備注顯然，通過顯然，通過以原子核為圓心、以原子核為圓心、半徑半徑r以內(nèi)的截面積以內(nèi)的截面積的電子，都將以大于的電子，都將以大于2的的角度發(fā)生散射，即散射幾率與面積角度發(fā)生散射，即散射幾率與面積r2成正比。根據(jù)上式，散射幾率與成正比。根據(jù)上式，散射幾率與Z、成正比，與成正比，與sin()成反比。原子的散射因子成反比。原子的散射因子f可根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)查到?？筛鶕?jù)相關(guān)文獻(xiàn)查到。關(guān)于波長關(guān)于波長的影響的影響波長越小，即電子動量越大，越不易被散射。波長越小，即電子動量越大，越不易被散射。+rn2原子核

12、對電子的散射 波長越小，同樣作用力波長越小，同樣作用力Fn（或距離同（或距離同一原子核相同距離一原子核相同距離rn處散射角越?。?，如處散射角越?。?，如欲找到相同角度的散射電子，必須移至更欲找到相同角度的散射電子，必須移至更近的距離，導(dǎo)致此角度散射的電子數(shù)目更近的距離，導(dǎo)致此角度散射的電子數(shù)目更少。少。定量解釋？定量解釋？備注2. 一個晶胞對電子的散射一個晶胞對電子的散射njjgjgrkkifF10)(2exp(n：晶胞中原子個數(shù)fj：第j個原子對電子的散射因子（或原子散射振幅）。與原子序數(shù)Z、以及有關(guān)（如前所述），數(shù)據(jù)可查相關(guān)文獻(xiàn)。rj：第j個原子的位置矢量kg ：衍射波矢k0 ：入射波矢k0

13、rj是j原子衍射波比原點(diǎn)衍射波沿著入射方向多走的一段距離與之比，kgrj是j原子衍射波比原點(diǎn)衍射波沿著衍射方向少走的一段距離與之比。晶胞在HKL方向（g）的散射振幅因子（簡稱散射因子，即散射電子振幅與入射電子振幅的系數(shù)關(guān)系因子）1（原點(diǎn)）（原點(diǎn)）2kgrjk0rjk0kgrj滿足布拉格條件時=gHKL不是指數(shù)關(guān)系因子3. 一層晶胞（單位面積）的散射一層晶胞（單位面積）的散射單位面積晶層包含單位面積晶層包含n個晶胞個晶胞面積=1，振幅=n2. 每個晶胞的面積=1/n，其入射束振幅1/cos() （備注1）入射束21. 單位橫截面積的入射束的振幅A0，它照射的晶層面積=1/cos()，單位晶層面積

14、的晶胞數(shù)=n，則單位橫截面積的入射束照射到n/cos()個晶胞上。備注3. 入射束穿過晶胞將發(fā)生散射，則每個晶胞向原入射方向的透射束振幅從1減小至。而在2方向的散射束振幅為Fg/cos()。 （菲涅爾半波帶法）。4. 對于衍射方向，每個晶胞的衍射束之間的相位相同（相位=2n即認(rèn)為相位相同），每個晶胞的振幅= Fg ，所以這n個晶胞的衍射束合成振幅= nFg 2衍射波波陣面衍射波波陣面入射波波陣面（等相位面，相位入射波波陣面（等相位面，相位=0）衍射晶面/2/2AB晶面間距晶面間距d=LB處微線段元相位=入射到一個晶胞的入射束振幅大小=1C合成振幅大小=大圓直徑=1合成振幅相位=/2BA處微線段

15、元子波相位=0（方向向右的箭頭）微線段元微線段元間相位角間相位角=2dL/LAAB間入射間入射束合成振束合成振幅相位幅相位=/2右圖矢量右圖矢量AB代表左圖代表左圖AB之間各處入射波子波之間的合成振幅矢量之間各處入射波子波之間的合成振幅矢量=1；入射波（平面波）經(jīng)過入射波（平面波）經(jīng)過AB成為球面波，向各個方向發(fā)生散射。成為球面波，向各個方向發(fā)生散射。2衍射波波陣面衍射波波陣面入射波波陣面（等相位面，相位入射波波陣面（等相位面，相位=0）衍射晶面/2/2AB晶面間距晶面間距d=LB處微線段元相位=入射到一個晶胞的入射束振幅大小=1CBA處微線段元子波相位=0（方向向右的箭頭）AAC間的衍射波（

16、平面波）是間的衍射波（平面波）是AB間球面波在間球面波在2角的散射方向的相干散射角的散射方向的相干散射波。波。AB間間A點(diǎn)處入射波子波在點(diǎn)處入射波子波在AC間的間的A點(diǎn)處的衍射波子波相位是點(diǎn)處的衍射波子波相位是0，C點(diǎn)點(diǎn)處衍射波子波相位是處衍射波子波相位是2。從。從A到到C，因為，因為右圖矢量右圖矢量AC代表左圖代表左圖AC之間各處衍射波子波之間的合成振幅矢量。之間各處衍射波子波之間的合成振幅矢量。C1)cos()cos(0ggnFAnFA6. 所以單位面積晶層的這所以單位面積晶層的這n個晶胞在衍射束方向個晶胞在衍射束方向上單位面積的衍射束振幅大小：上單位面積的衍射束振幅大?。?. 一個晶柱對

17、電子的散射一個晶柱對電子的散射0)cos(AnFAgn：每層晶體單位面積晶胞數(shù)目Fg：每個晶胞的結(jié)構(gòu)因子。晶胞的散射振幅。：電子束波長：衍射半角（衍射角一半）A0：照在每個晶胞的入射束振幅，設(shè)為1晶柱分成若干平行晶層。每層厚度方向包含一晶柱分成若干平行晶層。每層厚度方向包含一個晶胞。每層單位面積的晶胞數(shù)個晶胞。每層單位面積的晶胞數(shù)=n，晶層幾，晶層幾乎垂直于乎垂直于K0或或Kg（衍射角很小），各晶胞的衍（衍射角很小），各晶胞的衍射束可認(rèn)為同相位。則射束可認(rèn)為同相位。則每層單位面積的晶體的每層單位面積的晶體的衍射束振幅矢量大小衍射束振幅矢量大小傾斜因子結(jié)構(gòu)因子晶柱單位面積（垂直入射束）晶胞數(shù)目為

18、nK0KgKTt小晶胞小晶胞第第j層層晶胞晶胞3. 一個晶柱對電子的散射（晶層相位角計算）一個晶柱對電子的散射（晶層相位角計算）mjgggjakkinFi10)(2exp()cos(晶柱單位橫截面積晶胞數(shù)目為nK0第第j層的層的KgKT總層數(shù)總層數(shù)=m總厚度總厚度t=ma小晶胞小晶胞第第j層層晶胞晶胞 第第j層晶體的衍射束振幅矢量大小如層晶體的衍射束振幅矢量大小如前所述，而振幅矢量相位角取決于第前所述，而振幅矢量相位角取決于第j層層晶體與第晶體與第1層晶體的光程差（設(shè)第層晶體的光程差（設(shè)第1層晶層晶體（上表層）的相位體（上表層）的相位=0），相位角），相位角=2(k0-kg)ja。a是晶胞沿厚

19、度方向的尺寸。是晶胞沿厚度方向的尺寸。ja即第即第j層晶體的位置矢量在厚度方向分層晶體的位置矢量在厚度方向分量。量。 k0ja是第是第j層晶體衍射波比第層晶體衍射波比第1層晶體層晶體衍射波沿著入射方向多走的光程與衍射波沿著入射方向多走的光程與之比之比， kgja是第是第j層晶體沿著衍射方向少走的光層晶體沿著衍射方向少走的光程與程與之比之比。厚度方向所有。厚度方向所有m層晶體的衍層晶體的衍射波振幅之矢量和為射波振幅之矢量和為第第1層的層的KgjamjgggjakkiAnFi100)(2exp()cos(很多教科書上有很多教科書上有i因子因子備注或者是帶或者是帶i因子的微分形式的公式（見因子的微分

20、形式的公式（見ppt文件：文件：材料現(xiàn)代材料現(xiàn)代分析方法分析方法005-3TEM圖像襯度理論圖像襯度理論.pptdzrkkiAinFdggg)(2exp)cos(00一種解釋（見下一一種解釋（見下一ppt）關(guān)于關(guān)于 i 因子因子3. 一個晶柱對電子的散射一個晶柱對電子的散射mjggjasginF1)(2exp()cos(如果如果kg不嚴(yán)格滿足布拉格定律，即不嚴(yán)格滿足布拉格定律，即kg-k0=g+s（矢量加，（矢量加，g為倒易矢量，為倒易矢量，s為偏離矢量，與入射束平為偏離矢量，與入射束平行），將此關(guān)系式帶入前面的式子得到：行），將此關(guān)系式帶入前面的式子得到：Kgkg-k0=g+sK0gsmjgmjgsjainFjasjaginF11)2exp()cos()(2exp()cos(二者垂直，=0二者平行，去掉點(diǎn)乘負(fù)號4. 用振幅圓描述各層晶體衍射束振幅矢用振幅圓描述各層晶體衍射束振幅矢量與合成矢量量與合成矢量每層晶體的衍射矢量的大小