第七章第6節(jié)空間直線及其方程

1、1空間直線及其方程空間直線及其方程第六節(jié)第六節(jié)一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角平面束平面束五五六、小結(jié)及作業(yè)六、小結(jié)及作業(yè)2xyzo1 2 定義定義 空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa 0022221111dzcybxadzcybxa空間直線的一般方程空間直線的一般方程l一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程2562123zyxzyx如如00yx3xyzo直線的

2、方向向量：直線的方向向量： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱一條已知直線，這個向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sl,),(上一點上一點為為設(shè)設(shè)lzyxm00000m m ),(zyxml上一點上一點任取任取smm0則則/,的的方方向向向向量量為為lpnms ,0000zzyyxxmm而而二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程.的的直直線線方方程程求求l、對稱式方程、對稱式方程14pzznyymxx000稱為直線的對稱式方程稱為直線的對稱式方程(標(biāo)準式標(biāo)準式),的的方方向向向向量量為為lpnms 為直線的方向數(shù)。為直線的

3、方向數(shù)。、pnm說明說明0) 1 (000zznyymxx.,000zznyymxx5pzzyyxx0000000yyxx),(00yx00)2(22221111dzcybxadzcybxal若若的方向向量的方向向量則則l22211121cbacbakjinns6ptzzntyymtxx000直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程、參數(shù)式方程、參數(shù)式方程2pzznyymxx000令令. t7例1例1解解,10pm 取取21pps ,121212zzyyxx由對稱式由對稱式.121121121zzzzyyyyxxxx兩點式方程兩點式方程.,),(),(2122221111的的直直線線方方程程求求過過是是空

4、空間間兩兩點點設(shè)設(shè)ppzyxpzyxp8例例2 2 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點在直線上任取一點),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點坐標(biāo)點坐標(biāo)),2, 0 , 1( 9因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 對稱式方程對稱式方程,321041zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241tztytx312111kji10例例 3 3 一一直直線線過過點點)4 , 3, 2( a，且且和和 y軸軸垂垂直直相相 交交，求求其

5、其方方程程. 解解因因為為直直線線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點為所以交點為),0, 3, 0( b取取bas ,4, 0, 2 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx11例4例4.15234)5 , 2 , 3(的的交交線線平平行行的的直直線線方方程程和和且且與與兩兩平平面面求求過過點點zyxzx解解)5 , 2 , 3(0m21nns 512401kji,1, 3, 4直線方程直線方程.153243zyx12例5例5.052231211的交點的交點和平面和平面求直線求直線zyxzyx解解直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程tztytx2321代入平面方程得代入平面方程得, 05)2

6、3()2()1 ( 2ttt, 4 t交點交點).5, 6 , 3(13定義定義直線直線:1l,111111pzznyymxx 直線直線:2l,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmll 兩直線的方向向量的夾角兩直線的方向向量的夾角(銳角銳角)稱為這稱為這兩直線的夾角兩直線的夾角.兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角14兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(ll , 0212121 ppnnmm21)2(ll/,212121ppnnmm 直線直線:1l直線直線:2l,0, 4, 11 s

7、,1 , 0 , 02 s, 021ss,21ss例如，例如，.21ll 即即15例6例613411:1zyxl設(shè)設(shè)1222:2zyxl.求求兩兩直直線線的的夾夾角角解解222222) 1()2(21)4(1) 1(1)2()4(21cos ,22.4 16例例 7 7 求過點求過點)3 , 1 , 2(m且與直線且與直線12131 zyx垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程. 解解先作一過點先作一過點m且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點再求已知直線與該平面的交點n,令令tzyx 12131. 1213 tztytx17代入

8、平面方程得代入平面方程得 ,73 t交點交點)73,713,72( n取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為mnmn373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx18定義定義 直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,:000pzznyymxxl , 0: dczbyax,pnms ,cban 2),(ns 2),(ns四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角 0.2 19222222|sinpnmcbacpbnam 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與

9、平面的直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系： l)1(.pcnbma l)2(/. 0 cpbnam .cos 2 cossin2 20例例 8 8 設(shè)直線設(shè)直線:l21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直線與平面的夾角，求直線與平面的夾角. 解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmcbacpbnam 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角21平面束平面束五五:l設(shè)設(shè))2(0) 1 (022221111dzcybxadzcybxa建立方程建立方程)3(0)()(22221111dzcybxadzcybxa 是參數(shù)是參

10、數(shù) 0)()()()(21212121ddzccybbxaa ),)()(外外除除的任一平面的任一平面表示通過表示通過23l.)(的平面束方程的平面束方程為通過為通過稱稱l322例9例9.0:0101:上上的的投投影影直直線線方方程程在在平平面面求求直直線線zyxzyxzyxl 解解為為設(shè)設(shè)過過直直線線的的平平面面束束方方程程, 0) 1() 1(zyxzyx , 0)1()1()1 ()1 ( zyx垂垂直直要要使使與與 , 01)1(1)1 (1)1 ( . 1 投投影影平平面面方方程程為為2220,yz所所求求投投影影直直線線方方程程為為10,0.yzxyz l23例10例10且且垂垂直直已已知知平平面面過過直直線線42113zyx.,:求求其其方方程程于于平平面面0552zyx 解解直直線線可可寫寫成成一一般般式式方方程程1,312.34yxzx330,4360.xyxz即即作平面束作平面束(33)(436)0,xyxz (14 )33(36 )0.xyz即即24, 待待求求平平面面與與垂垂直直 故故, 05)3() 1(32)41 ( .71 所所求求平平面面方方程程為為. 057z