第八節(jié)、常系數(shù)齊次線形微分方程

1、 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程0 yqypy二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)齊線性方程)(xfyqypy 二階常系數(shù)非齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性方程 2211ycycy通解通解 * y特解特解 * yyy通解通解常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程解法解法n n 階常系數(shù)齊次線性微分方程解法階常系數(shù)齊次線性微分方程解法一、定義一、定義)(1)1(1)(xfypypypynnnn n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式階常系數(shù)線性微分方程的標準形式: :0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標準

2、形式:)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式:二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 設設將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy,為常數(shù)時為常數(shù)時因為因為r和它的各階導數(shù)和它的各階導數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)xre.都只相差一個常數(shù)因子都只相差一個常數(shù)因子（1 1）有兩個不相等的實根）有兩個不相等的實根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個

3、線性無關(guān)的特解兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxrececy )0( 特征根為特征根為（2 2） 有兩個相等的實根有兩個相等的實根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexccy 代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設設另另一一特特解解為為特征根為特征根為（3 3） 有一對共軛復根有一對共軛復根,1 ir,2 ir,)(1xiey ,)(2xiey )

4、0( 重新組合重新組合)(21211yyy ,cosxex )(21212yyiy,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xcxceyx 特征根為特征根為二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟: :(1) (1) 寫出相應的特征方程寫出相應的特征方程(2) (2) 求出特征方程的兩個根求出特征方程的兩個根; 02 qprr(3) (3) 根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況, ,按照下列按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解規(guī)則寫出微分方程的通解；與與21rr21rr ，特征方程的兩個根特征方程的

5、兩個根微分方程的通解微分方程的通解21rr，兩個不相等的實根兩個不相等的實根21rr 兩個相等的實根兩個相等的實根 ir 2, 1一對共軛復根一對共軛復根xrxrececy2121 xrexccy1)(21 )sincos(21xcxceyx 小結(jié)小結(jié)定義定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為確定其通解的方法稱為特征方程法特征方程法. .032的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為,0322 rr解得解得,3,121rr故所求通解為故所求通解為.321xxececy例例1 1 2)0( 4)0(0222sssdtdsdt

6、sd0122 rr121 rrtttececs 2144)0(1 csttteces 24ttttececes 22422)0( 2 cstttees 24例例2求求的的特解特解解：解：特征方程特征方程通解通解代入代入代入代入特解特解.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121ir，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xcxceyx 例例3 3三、三、n n階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法代入方程代入方程令令rxey 01)1(1)( ypypypynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnprprprn階

7、常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式為階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式為都是常數(shù)都是常數(shù)其中其中nnpppp,121 根據(jù)特征方程的根的不同情況根據(jù)特征方程的根的不同情況, ,按照下列規(guī)則按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解寫出微分方程的通解特征方程的根特征方程的根項項微分方程通解中的對應微分方程通解中的對應r單實根單實根rk 重實根重實根 irk 2, 1重復根重復根一對一對rxce給給出出一一項項：)sincos(21xcxcex 給出兩項：給出兩項： ir 2, 1一對單復根一對單復根)(121 kkrxxcxccek項：項：給出給出sin)(cos)(2121121xxdxddxxcxccek

8、kkkkx 項：項：給出給出注意注意n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個根個根, 而特征方程的每一個而特征方程的每一個根都對應著通解中的一項根都對應著通解中的一項, 且每一項各一個且每一項各一個任意常數(shù)任意常數(shù).nnycycycy 2211例例4.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:irrr21, 04,321因此原方程通解為xccy21)2sin2cos(43xcxcex例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1cyxc223xc34xcxec5(不難看出, 原方程有特解),

9、132xexxx推廣 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 02)(22222rr例例6. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根為),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解 :xew2)2sin2cos(21xcxcxe2)2sin2cos(43xcxc機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根為,2,1irir4,3則方程通解 :xxccycos)(31xxccsin)(42機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 yy013 r13 . 2 . 1 r)(23

10、21xcxcceyx 例例8求求的通解的通解解：解：通解通解（三重根）（三重根）例例90 4)4( yy0434 rr0)4(3 rr41 r04.3.2 r240302411xyxxeyeyeyxxx 243241xcxccecyx 求求的通解的通解解：解：（單根）（單根）（三重根）（三重根）四個線性無關(guān)的特解四個線性無關(guān)的特解通解通解特征根為特征根為, 154321irrirrr故所求通解為故所求通解為.sin)(cos)(54321xxccxxccecyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程為特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方

11、程 yyyyyy例例1010.2sin2,2cos,:,4321并求此微分方程的通解并求此微分方程的通解下四個特解下四個特解使之有如使之有如次線性方程次線性方程求一個四階的常系數(shù)齊求一個四階的常系數(shù)齊xyxyxeyeyxx ,4321是線性無關(guān)的是線性無關(guān)的容易驗證容易驗證yyyy0)4()1(22 rr例例1111,21可知可知與與由由xxxeyey 解解,2sin22cos43可知可知與與由由xyxy 因此特征方程為因此特征方程為; 12, 1 r根為二重根根為二重根它們對應的特征方程的它們對應的特征方程的.24,3ir 根為共軛復根根為共軛復根它們對應的特征方程的它們對應的特征方程的方程

12、為方程為四階的常系數(shù)齊次線性四階的常系數(shù)齊次線性其通解為其通解為. 04852)4( yyyyy，即即04852234 rrrr,根據(jù)以上分析知根據(jù)以上分析知.2sin2cos4321xcxcxececyxx ).(.dd,0,000txxvtxxxtft 函數(shù)函數(shù)求反映物體運動規(guī)律的求反映物體運動規(guī)律的初始速度為初始速度為時的位置為時的位置為且在初瞬且在初瞬的作用的作用恢復力恢復力，如果物體只受彈性，如果物體只受彈性設有一彈簧下掛一重物設有一彈簧下掛一重物例例12解解,r由于不記阻力由于不記阻力, 0dd222 xktx該方程叫做無阻尼自由振動的微分方程該方程叫做無阻尼自由振動的微分方程.,

13、 0dd tx 即假設即假設由牛頓第二定律得由牛頓第二定律得xxo.dd,)(0000的特解的特解分方程及初始條件分方程及初始條件是滿足上微是滿足上微數(shù)數(shù)反映物體運動規(guī)律的函反映物體運動規(guī)律的函vtxxxtxxtt , 022 kr上方程的特征方程為上方程的特征方程為.sincos21ktcktcx 得得應用初始條件應用初始條件,.sincos00ktkvktxx 因此所求特解為因此所求特解為,是一對共軛復根是一對共軛復根其根其根ikr 所以方程的通解為所以方程的通解為.,0201kvcxc )20( ,cos,sin00 akvax令令).sin( ktax.tan,002202vkxkvx

14、a 其中其中變?yōu)樽優(yōu)閗tkvktxxsincos00 這是簡諧振動方程這是簡諧振動方程txo0 xa att函數(shù)圖形為函數(shù)圖形為)(,dd,0,00txxvtxxxtrfot 函數(shù)函數(shù)求反映物體運動規(guī)律的求反映物體運動規(guī)律的初始速度初始速度時的位置時的位置且在初瞬且在初瞬用用的作的作和阻力和阻力設物體受彈簧的恢復力設物體受彈簧的恢復力上例中上例中例例1313解解這就是要找滿足有阻尼的自由振動方程這就是要找滿足有阻尼的自由振動方程0dd2dd222 xktxntx.dd,0000的特解的特解及初始條件及初始條件vtxxxtt , 0222 knrr特征方程為特征方程為其根為其根為244222kn

15、nr .,三種情形分別進行討論三種情形分別進行討論及及以下按以下按knknkn .:) i (kn 小阻尼情形小阻尼情形)( ,22nkinr 特征方程的根特征方程的根).sincos(21tctcexnt .22knn ,這是一對共軛復根這是一對共軛復根方程的通解為方程的通解為,0201 nxvcxc 定出定出應用初始條件應用初始條件令令)20( ,cos,sin000 anxvax上式又可以寫成上式又可以寫成).sincos(000tnxvtxexnt 因此所求特解為因此所求特解為).sin( taexnt.tan,)(,00022002022nxvxnxvxank 其中其中.2的振動的振

16、動的運動是周期的運動是周期從方程可以看出，物體從方程可以看出，物體 t).0, 0(00 vx圖中假定圖中假定oxtt,而逐漸減小而逐漸減小的增大的增大隨時間隨時間的振幅的振幅但與簡諧振動不同，它但與簡諧振動不同，它taent .的增大而趨于平衡位置的增大而趨于平衡位置物體隨時間物體隨時間 t函數(shù)圖形為函數(shù)圖形為.:)ii(kn 大阻尼情形大阻尼情形,222221knnrknnr 特征方程的根特征方程的根,根根這是兩個不相等的負實這是兩個不相等的負實,)(1)(12222tknntknnececx 方程的通解為方程的通解為.,21可由初始條件來確定可由初始條件來確定其中其中cc,0值最多只有一

17、個值最多只有一個的的從方程可以看出，使從方程可以看出，使tx ,置一次置一次即物體最多越過平衡位即物體最多越過平衡位.現(xiàn)象現(xiàn)象因此物體已不再有振動因此物體已不再有振動. 0, xt時時又當又當).0, 0(00 vx假定假定函數(shù)的圖形如圖所示函數(shù)的圖形如圖所示.的增大而趨于平衡位置的增大而趨于平衡位置因此，物體隨時間因此，物體隨時間 ttxo.:)iii(kn 臨界阻尼情形臨界阻尼情形,21nrr 特征方程的根特征方程的根),(21tccexnt ,這是兩個相等的實根這是兩個相等的實根方程的通解為方程的通解為.21可由初始條件來確定可由初始條件來確定及及其中任意常數(shù)其中任意常數(shù)cc,0也最多只有一個也最多只有一個值值的的臨界阻尼情形使臨界阻尼情形使從方程上可以看出，在從方程上可以看出，在tx .現(xiàn)象現(xiàn)象因此物體也不再有振動因此物體也不再有振動nttnttette limlim又由于又由于, 0 nttne1lim . 0,xt時時當當可以看出可以看出.,的增大而趨于平衡位置的增大而趨于平衡位置物體也隨時間物體也隨時間因此因此t解解 .ln22的通解的通解求微分方程求微分方程yyyyy 例例這是一個非線性微分方程，這是一個非線性微分方程，, 0 y因為因為得得兩邊