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1、第八節(jié)第八節(jié) 一般周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)一般周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)一、周期為一、周期為 2l 的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù),2lt .2lt 定理定理式為式為則它的傅里葉級數(shù)展開則它的傅里葉級數(shù)展開定理的條件定理的條件滿足收斂滿足收斂的周期函數(shù)的周期函數(shù)設(shè)周期為設(shè)周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn )sincos(210 xnbxnaannn 代入傅氏級數(shù)中代入傅氏級數(shù)中為為其中系數(shù)其中系數(shù)nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln證明證明,l

2、xz 令令lxl , z),()()(zflzfxf 設(shè)設(shè).2)(為周期為周期以以 zf),sincos(2)(10nzbnzaazfnnn )sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzfbnzdzzfann其中其中.sin)(1,cos)(1 llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其中其中)()(xfzflxz k2 xy2044 例例 1 1 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 4 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在)2 , 2 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 20020)(xkxxf, 將其展將其展成傅氏級數(shù)成傅氏級數(shù).解解., 2 滿足狄

3、氏充分條件滿足狄氏充分條件 l 2002021021kdxdxa,k 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk 12)12(sin12122)(nxnnkkxf ), 4, 2, 0;( xx na), 2 , 1( n)1(1nnk 二、二、 正弦級數(shù)和余弦級數(shù)正弦級數(shù)和余弦級數(shù) llndxlxnxfla cos)(10 ), 3 , 2 , 1 , 0( n 函數(shù)的傅里葉級數(shù)一般既含有正弦項函數(shù)的傅里葉級數(shù)一般既含有正弦項,又又含有余弦項含有余弦項.但是但是奇函數(shù)奇函數(shù) llndxlxnxflb sin)(1偶函數(shù)偶函數(shù) ldxlxnxfl0si

4、n)(2 ), 3 , 2 , 1( nlxnbxfnn sin)(1 正弦級數(shù)正弦級數(shù)lxnaaxfnn cos2)(10 余弦級數(shù)余弦級數(shù) ), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbndxlxnxflanln nxbxflnnsin)(,1 時時 nxaaxflnncos2)(,10 時時 解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,), 2, 1, 0()12(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點 kkx2)0()0( ff收斂于收斂于2)( , 0 ),()12(xfkxx處收斂于處收斂于在連續(xù)點在連續(xù)點 2 2 3 3xy0,2)()12(為周期的奇函

5、數(shù)為周期的奇函數(shù)是以是以時時 xfkx和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象), 2 , 1 , 0(, 0 nan 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n.sin)1(2)(11 nnnxnxf),3,;( xx)5sin514sin413sin312sin21(sin2xxxxxy xy 觀觀察察兩兩函函數(shù)數(shù)圖圖形形解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件, 在整個在整個數(shù)軸上連續(xù)數(shù)軸上連續(xù).,)( 為偶函數(shù)為偶函數(shù)tu, 0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2e 0sin2

6、tdte,4 e), 2 , 1( n 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdtte 0)1sin()1sin(dttntne 12, 02,1)2(42knknke當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)), 2 , 1( k 01)1cos(1)1cos(ntnntne)1( n 01cos)(2tdttua 0cossin2tdtte, 0 )( t212cos2( )12.41nentu tn 1.奇延拓奇延拓: 0)(000)()(xxfxxxfxf xy0 1sin)(nnnxbxf)0( x, 0)(上上定義在定義在若若 xf2.偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xxfxxfxf y0 10cos

7、2)(nnnxaaxf)0( x解解 (1)(1)求正弦級數(shù)求正弦級數(shù). .,)(進行奇延拓進行奇延拓對對xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn)1()1(1 2 nn)0( x5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(2xxxxxy 1 xynxnxnnsin)1()1(1 1211 (2)(2)求余弦級數(shù)求余弦級數(shù). .,)(進行偶延拓進行偶延拓對對xf 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nnnxnxnncos 1)1(1222112 )0( x 1)1(22 nn 解

8、解 1555cos)10(51dxxnxan 555)10(cos51dzznz , 0 ), 2 , 1( n 1550)10(51dxxa, 0 555cos51dzznz x)(zfy5 501510,10)1( nn), 2 , 1( n.5sin)1(10101 nnxnnx )155( x 1555sin)10(51dxxnxbn 555)10(sin51dzznz 555sin51dzznz 505sin52dzznz 三、小結(jié)三、小結(jié)利用變量代換求傅氏展開式利用變量代換求傅氏展開式;求傅氏展開式的步驟求傅氏展開式的步驟;1.畫圖形驗證是否滿足狄氏條件畫圖形驗證是否滿足狄氏條件(

9、收斂域收斂域,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系數(shù)求出傅氏系數(shù);3.寫出傅氏級數(shù)寫出傅氏級數(shù),并注明它在何處收斂于并注明它在何處收斂于).(xf以以2l為周期的傅氏系數(shù)為周期的傅氏系數(shù);正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù)需澄清的幾個問題需澄清的幾個問題.(誤認(rèn)為誤認(rèn)為以下三情況正確以下三情況正確)a.只有周期函數(shù)才能展成傅氏級數(shù)只有周期函數(shù)才能展成傅氏級數(shù);2, 0.的傅氏級數(shù)唯一的傅氏級數(shù)唯一展成周期為展成周期為上上在在 b).(,.xfc級數(shù)處處收斂于級數(shù)處處收斂于值點時值點時上連續(xù)且只有有限個極上連續(xù)且只有有限個極在在 上成立上成立證明在證明在補充題補充題, 0: 13122)12()12

10、sin(8)()2(2cos6)()1(nnnxnxxnnxxx 證明證明: (1)()(xxxf 記記將將 函數(shù)函數(shù) f ( x )展開成余弦展開成余弦級數(shù)級數(shù),進行偶延拓進行偶延拓,得得, 0 nb 0203)(2dxxxa 0cos)(2nxdxxxan 0sin)(2nxdxxn 0sin)2(2nxdxxn 02cos)2(2nxdxn 022cos40cos)2(2nxdxnnxxn1)1(22 nn knnkn241202且且延延拓拓后后的的函函數(shù)數(shù)也也連連續(xù)續(xù)上上連連續(xù)續(xù)在在因因, 0)()( xxxf 221cos2(),6nnxxxn x0(2) 再展開成正弦級數(shù)再展開成正

11、弦級數(shù) ,須進行奇延拓,須進行奇延拓0 na 0sin)(2nxdxxxbn 0cos)(2nxdxxn 0cos)2(20cos)(nxdxxnnxxx 02sin)2(2nxdxn 02sin4nxdxn)1(143nn 為奇數(shù)為奇數(shù)為偶數(shù)為偶數(shù)nnn 380且延拓后的函數(shù)也連續(xù)且延拓后的函數(shù)也連續(xù)上連續(xù),上連續(xù),在在因因, 0)()( xxxf ,)12()12sin(8)(13 nnxnxx x0一、一、 設(shè)周期為設(shè)周期為2的周期函數(shù)的周期函數(shù))(xf在一個周期內(nèi)的表達(dá)式在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為為 121,1210,101,)(xxxxxf, ,試將其展開成傅里葉級試將其展開成傅里葉級 數(shù)數(shù) . .二、二、 試將函數(shù)試將函數(shù) lxlxllxxxf2,20,)(展開成正弦級數(shù)和余展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)弦級數(shù) . .練練 習(xí)習(xí) 題題三、三、 將函數(shù)將函數(shù) 232,22,)(xxx

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