高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識整理

1、高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識整理一、正弦函數(shù)圖像函數(shù) y=sin x 的定義域，值域，奇偶性，單調(diào)性，周期性1、函數(shù) y=sin x 的定義域是 R，值域?yàn)?-1，12、 當(dāng) xx|x= 2k,k Z 時， y 有最大值為1，當(dāng) x x|23,kZ時， y 有最小值為 -1x= 2k23、函數(shù) y=sin x 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱是奇函數(shù)， 可以根據(jù) sin(-x)=-sinx 證明。對稱中心為（ k，0）對稱軸為 x= k+ (k Z)。234、在 2k， 2kk Z 上單調(diào)遞增，在 2k， 2kk2222 Z 上單調(diào)遞減。5、函數(shù) y=sin x 的周期為 2k（kZ 且 k0），最小正周期為 2注

2、意有界性： sin x1二、余弦函數(shù)圖像函數(shù) y=cosx的定義域，值域，奇偶性，單調(diào)性，周期性1、函數(shù) y=cos x 的定義域是實(shí)數(shù)集 R，值域是 -1，12、當(dāng) xx | x=2k，kZ 時 y 有最大值為 1，當(dāng) xx | x= 2k + ,kZ 時， y 有最小值為 -1。3、函數(shù) y=cosx 關(guān)于 y 軸對稱是偶函數(shù)，可以通過誘導(dǎo)公式cos(-x)=cosx 證明。對稱中心 k，0 ，對稱軸為 x= k24、在 2k， 2k上單調(diào)遞增，在 2k， 2k上單調(diào)遞減。5、函數(shù) y=cosx 的周期為 2k （kZ 且 k0）最小正周期為 2。注意有界性： cosx1三、正切函數(shù)圖像函

3、數(shù) y=tanx 定義域，值域，奇偶性，單調(diào)性，周期性1、y=tan x 的定義域是 x| x R 且 xk,kZ 。因?yàn)?定義域不2連貫，所以當(dāng)有題目說該函數(shù)在定義域上怎么怎么樣是錯誤的（同樣用于其它所有函數(shù)） 。值域是一切實(shí)數(shù)R2、y=tan x 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是奇函數(shù)，根據(jù)誘導(dǎo)公式且tan(-x)=-tan x 可以證明。對稱中心：k,0 ,( kZ )23、y=tan x 在（ k， k）上單調(diào)遞增224、函數(shù) y=tanx 的周期是 k（kZ 且 k0），最小正周期為 5、無最值四、周期性一般的，對于函數(shù) f (x) ，如果存在一個常數(shù) T(T 0),使得當(dāng) x 取定義域 D

4、內(nèi)的任意值時，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函數(shù) f (x) 叫做周期函數(shù)，常數(shù) T 叫做這個函數(shù)的周期， 對于一個周期函數(shù)來講， 如果在所有周期里存在一個最小正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做函數(shù)f ( x)的最小正周期。五、函數(shù)yAsin(x)的圖像與性質(zhì)圖像變換法(1)A稱為振幅，A 引起的是圖像的縱向伸縮，當(dāng)0<A<1時，橫坐標(biāo)不變，各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短為原來的A 倍當(dāng)A>1時，橫坐標(biāo)不變，各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長為原來的A 倍當(dāng)A<0時，把圖像關(guān)于x 軸翻折。(2)稱為角頻率，引起的是圖像的橫向伸縮當(dāng) 0<<1 時，函數(shù)的 y 值不變， x 伸長為原

5、來的 1當(dāng) >1 時，函數(shù)的 y 值不變， x 縮短為原來的 1當(dāng) <0 時，要利用誘導(dǎo)公式將負(fù)號放到三角符號的外面再做原來的圖像后，關(guān)于 x 軸翻折。(3) 改變的是函數(shù)的初始位置，按照左加右減的原則將函數(shù)整個函數(shù)向左或者向右平移個單位，所以稱作初相。(4)頻率 f1T2(5)性質(zhì)：定義域?yàn)镽，值域?yàn)?-1 ，1奇偶性：當(dāng)k時，奇函數(shù)；當(dāng)k時, 偶函數(shù)；2k當(dāng)2 時，非奇非偶函數(shù)。把 x 看作一個整體考慮單調(diào)性和最值。五點(diǎn)法作圖：列表描點(diǎn)1、畫函數(shù)圖像時要利用五點(diǎn)法作圖，要列表、描點(diǎn)2、通常是在一個周期里作圖， x 通常取 0， 1， 3，2。223、當(dāng)三角符號后面是復(fù)合函數(shù)時，

6、將整個復(fù)合函數(shù)看作一個整體分別取 0，1， 3，2。5 點(diǎn)作圖。224、當(dāng) x 前系數(shù)為負(fù)的時候，要利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)化成一般形式作圖。即 x 前的系數(shù)一定為正注：當(dāng)函數(shù)既要伸縮又要平移的時候，應(yīng)遵循先平移后伸縮 的原則六、反三角函數(shù)反正弦函數(shù)函數(shù) y sin x x , 的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作22y arcsin x ， x 1,1定義域： -1，1值域：,22奇函數(shù)，即 arcsin(-x)=-arcsinx，非周期函數(shù)在 1,1 上是增函數(shù)反余弦函數(shù)y=cosx , x o, 的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作yarccosx ，x 1,1定義域：-1，1值域：0,非奇非偶函數(shù)，即arc

7、cos(x)arccos x在 1,1上單調(diào)遞減反正切函數(shù)把函數(shù) y=tanx , x (, ) 的反函數(shù)記作， y arctan xx R22定義域： R值域：2,2奇函數(shù)，即 arctan(x)arctanx在 R 上單調(diào)遞增注：反三角函數(shù)后跟的數(shù)是一個值，反三角函數(shù)的值表示的就是這個數(shù)所對應(yīng)的角的弧度制數(shù)。求反三角函數(shù)注意：所有三角函數(shù)只有在特定的定義域上才具有反函數(shù)，即y=sinxx , ，y=cosx x 0, ，y=tanx x (,) 。當(dāng)三角2222函數(shù)的定義域不在特定區(qū)間內(nèi)， 要利用誘導(dǎo)公式或者分段把定義域化到特定區(qū)間內(nèi)才能求反函數(shù)。七、最簡三角方程定義：我們把含有未知數(shù)的三

8、角函數(shù)方程叫做三角方程，把所有滿足三角方程的所有x 的集合叫做三角方程的解集。 由于三角函數(shù)的周期性，因此一般的三角函數(shù)的解集含有無窮多個元素。形如 sinx=a ,cosx=a, tanx=a的方程叫做最簡三角方程。sinx=a當(dāng) a 1,1，方程無實(shí)數(shù)根當(dāng) a=1或者 a=-1時，方程的解集為 x | x 2k, kZ 或者2 x | x2k3Z, k2當(dāng) a 在（ -1，1）內(nèi)時 x 的解集為 x | xk( 1)k arcsina, kZ 。cosx=a當(dāng) a 1,1時，方程無解當(dāng) a=1 或 a=-1 時，方程的解集為 x | x2k, kZ 或 x | x2k,k Z ，當(dāng) a 在（ -1,1）時方程的解集為 x | x2karccosa,kZtanx=a當(dāng) x R時，解集為 x | x k arctana, kZ注：在解三角方程時，特別是正弦和余弦，要先注意a 的范圍，若不在【-1,1】內(nèi)，則方程無解，在 1，-1內(nèi)的話在一個周期內(nèi)只有一個解，不能套用公式，并且要注意題給的x 的范圍，在求出解集后，選出符合題給范圍的所有解，用列舉法表示。八、常用公式2yAsin(x)或 y=Acos(x+) 周期公式TyA tan(x) 的周期公式Tarcsin(sin x)xx,22sin(