曲線積分有曲面積分21140

1、一一. . 概念與性質概念與性質二二. . 計算法計算法三、應用三、應用一一.對弧長的曲線積分的概念與性質對弧長的曲線積分的概念與性質引例引例 非均勻曲線形構件的質量非均勻曲線形構件的質量xyoabl),(yx 設點設點),(yx處的處的線密度線密度為為(1) 將曲線將曲線 l任意分割成任意分割成 n 小段，小段，), 2 , 1( nisi 每一小段依次記為每一小段依次記為（同時表示小弧段的長度）（同時表示小弧段的長度）, ),( )2(iiis 任取點任取點iiiism ),( niimm1 )3( iiniis ),(1 ,max )4(1inis 記記iiniism ),(lim10

2、則則 ldsyx),( 0m1m1 imim1 nmnmis ),(ii 用點用點121, nmmm將將l任意分割成任意分割成n個小弧段個小弧段, 設第設第i個小弧段個小弧段的長度為的長度為), 2 , 1(nisi 任取點任取點,),(iiis ,max1inis 記記若極限若極限iiniisf ),(lim10 存在存在,定義定義 設設l為為xoy面內的一條光滑曲線弧，函數(shù)面內的一條光滑曲線弧，函數(shù)),(yxf在在l上有界上有界.則稱此則稱此極限值為函數(shù)極限值為函數(shù)),(yxf在曲線弧在曲線弧l上上對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分.記作記作,),( ldsyxf即即iiniilsfdsyx

3、f ),(lim),(10 ),(yxf被積函數(shù)被積函數(shù)注注第一類曲線積分。第一類曲線積分。 l積分弧段積分弧段. ),(,),(一定存在一定存在則則上連續(xù)上連續(xù)在在若若 ldsyxflyxf.),( , ldsyxfl則記作則記作是封閉曲線是封閉曲線若若無方向性無方向性性質性質;),(),(),(),().1( llldsyxgdsyxfdsyxgyxf;),(),().2( lldsyxfkdsyxkf構構成成，即即與與是是由由光光滑滑曲曲線線若若分分段段光光滑滑曲曲線線21).3(lll 12),(),(),(llldsyxfdsyxfdsyxf則則21lll 二二. 對弧長曲線積分的計

4、算法對弧長曲線積分的計算法定理定理 設曲線設曲線l的方程為的方程為)( )()( ttytx0)()(,)(),(22 tttt 上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)，且且在在其其中中上上連連續(xù)續(xù)，則則在在函函數(shù)數(shù)lyxf),(dtttttfdsyxfl )()()(),(),(22若曲線若曲線l由方程由方程)(),(bxaxy 給出給出,則則dxxxxfdsyxfbal)(1)(,),(2 若曲線若曲線l由方程由方程)( , )(dycyx 給出給出,則則dyyyyfdsyxfdcl1)(),(),(2 若空間曲線若空間曲線 由參數(shù)方程由參數(shù)方程)( , )()()( ttztytx給出給出,d

5、tttttttfdszyxf )()()()(),(),( ),(222注注1、下限小于上限下限小于上限.推廣：推廣：注注2、把曲線的方程帶入曲線積分把曲線的方程帶入曲線積分例例1 計算計算 1 , 10 , 0 ,2到到點點上上由由點點是是拋拋物物線線其其中中xyldsyl 的一段弧的一段弧.oxy(1,1) dsyldxxx 1022)2(1dxxx 10241)41()41(81221102xdx 12155)41(12110232 x解解例例2)0( 2 , 2222 aaxyxldsyxl為為圓圓周周計計算算將曲線將曲線l化為參數(shù)式方程化為參數(shù)式方程: )20( sincos aya

6、ax22yx a ldsyx22 ada )cos1(2202 022cos4da28a 解解xyo yxm,a da 2cos2202 例例3 計算計算2 ,xyxylxdsl 及拋物線及拋物線為由直線為由直線其中其中所圍區(qū)域所圍區(qū)域的整個邊界的整個邊界.xyo(1,1)11l2l解解21lll 21lllxdsxdsxdsdxxxdxx 10210)2(1210232)41(328122x )12655(121 例例4 計算計算)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,)(baoldsyxl為以為以其中其中 為頂點的為頂點的三角形周界三角形周界.解解 aboboaldsyxdsyxd

7、syxdsyx)()( )()( 10 xdxdx 102 10ydy21 oabxy1 yx例例5 計算計算 ,)(222dszyxil 其中其中l(wèi)為螺旋線為螺旋線)20( ,sin,cos tktztaytax解解22222222)cos()sin(kaktatazyx 2022222222)sincos(dtkatktatai 2022222)(dttkaka 20322223 tktaka)43(3222222kaka 三三、類似于二、三重積分中求薄片及物體的重心和轉動慣量，類似于二、三重積分中求薄片及物體的重心和轉動慣量，則則l的的重心重心和對和對x軸及軸及y軸的軸的轉動慣量轉動慣量

8、分別為：分別為： ldsyxxmx,1 ldsyxymy,1 lxdsyxyi,2 設設xoy面上的曲線弧面上的曲線弧 l在點在點(x,y)處的線密度為處的線密度為 , yx lydsyxxm, lxdsyxym, 靜距為：靜距為： lydsyxxi,2 ldsyxm, 曲線弧的的質量為：曲線弧的的質量為：l對對x軸及軸及y軸軸轉動慣量轉動慣量分別為：分別為： dszyxxmx,1 dszyxymy,1 dszyxzyix,22 dszyxzxiy,22設空間上的的曲線弧設空間上的的曲線弧 ,zyx 在點在點(x,y,z)處的線密度為處的線密度為 的的重心重心和對和對x軸、軸、y軸及軸及z軸的

9、軸的轉動慣量轉動慣量分別為：分別為：則則 dszyxyxiz,22 dszyxzmz,1推廣：推廣： dszyxxmx, dszyxymy,靜距為：靜距為： dszyxzmz,l對對x軸、軸、y軸及軸及z軸的軸的轉動慣量轉動慣量分別為：分別為： dszyxm,曲線弧的的質量為：曲線弧的的質量為：例例6 計算半徑為計算半徑為 r, 中心角為中心角為 2的圓弧的圓弧l的重心及對于其對稱軸的重心及對于其對稱軸的轉動慣量的轉動慣量)1( 建立坐標系如右圖所示建立坐標系如右圖所示:xyor ll的參數(shù)式方程為的參數(shù)式方程為:)( sincos ryrx(1) 重心重心: 由對稱性知由對稱性知0 y ll

10、dsxdsx rxdsl2 drrrr22)cos()sin(cos21 drcos2 sinr dsyilx 2 ).2( rdr 22sin)cossin(22sin303 rr解解一、對面積的曲面積分的概念與性質一、對面積的曲面積分的概念與性質 yxozs),(zyx is ),(iii 01( , , ) slim(,)niiiiif x y z dfs 二、二、 對面積的曲面積分的計算法對面積的曲面積分的計算法 22( , , ) s , , ( , ) 1xydzzf x y z df x y z x ydxdyxy一、對面積的曲面積分的概念與性質一、對面積的曲面積分的概念與性質引

11、例引例 曲面形構件的質量曲面形構件的質量.yxozs),(zyx 1).將曲面將曲面s任意分割成任意分割成n小塊小塊:.,21nissss ( 也表其面積也表其面積)is is ),(iii 2).任取點任取點,),(iiiis ), 2 , 1( ,),(nismiiiii 3).作和作和 niimm1 iiiniis ),(1 4).取極限取極限.令令max1的直徑的直徑inis niiiiism10),(lim sdszyx),( 設函數(shù)設函數(shù)),(zyxf在光滑曲面在光滑曲面 上有界上有界,任取點任取點,),(iiiis 作作;),(1iiiniisf 記記max1的直徑的直徑inis

12、 , 若極限若極限iiiniisf ),(lim10 存在存在,則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù)),(zyxf在曲面在曲面 上上對面積的曲面對面積的曲面積分積分(或第一類曲面積分或第一類曲面積分). 記作記作 dszyxf),(即即iiniiisfdszyxf ),(lim),(10 若若 為封閉曲面為封閉曲面,記作記作 dszyxf),(當當在在。上上連連續(xù)續(xù)時時，曲曲面面積積分分存存在在光光滑滑曲曲面面 ),(zyxf性質性質 具有與對弧長的曲線積分相似的性質具有與對弧長的曲線積分相似的性質.定義定義), 2 , 1(nisi (同時用同時用is 表示第表示第i小塊曲面的面積小塊曲面的

13、面積); 任意分割成任意分割成n小小把把塊塊二、二、 對面積的曲面積分的計算法對面積的曲面積分的計算法定理定理 設光滑曲面設光滑曲面; ),(:xydxoyyxzz面面投投影影區(qū)區(qū)域域為為在在 則則dxdyyzxzyxzyxfdszyxfxyd221),(,),( xyz),(:yxzz xydi is dyzxzsii 221iiiyiixzz ),(),(122 函數(shù)函數(shù) 在在),(zyxf上連續(xù)，上連續(xù)，xyd上有一階連續(xù)偏導上有一階連續(xù)偏導.),(yxzz 在在iiniiisfdszyxf ),(lim),(10 二重積分的中值定理二重積分的中值定理 dszyxf),(iiiniisf

14、 ),(lim10 iiiyiixiiiniizzzf ),(),(1),(,lim2210 dyxzyxzyxzyxfyxdxy),(),(1),(,22 若若),(:zyxx 若若),(:zxyy yzdzydydzxxzyzyxfdszyxf221,),(),( dxdzyyzzxyxfdszyxfxzdzx 221),(,),( 解解xydxyz2222:hayxdxy zdsdxdyyzxzyxaxyd 2222211dxdyyxaayxaxyd2222221 xydyxadxdya222drrardaha 2202220 22022)ln(212haraa haa ln2 計算計算

15、)0(,2222ahhzazyxzds 被平面被平面是球面是球面 截出的頂部截出的頂部.例例1例例2 計算計算2 1 ,)(22 zzyxzdszyx及及界界于于平平面面是是錐錐面面 之間的部分之間的部分.zxy解解41:22 yxdxy221yxzz 2222221yxyyxx 2 dszyx)(dxdyyxyxxyd 2)(22dxdyyxxyd 222 21202rrdrd 3214 例例3 計算計算1, 0, 0, 0 , zyxzyxxyzds由平面由平面 所圍所圍四面體的整個邊界曲面四面體的整個邊界曲面.設設在平面在平面分別表示分別表示 ,4321 , 0, 0 yx.1, 0上的

16、部分上的部分 zyxz4321 xyzds 4321 xyzdsxyzdsxyzdsxyzds 4 xyzds,1:4yxz 1010:xxydxyxyo11 xyzds 4 xyzdsdxdyyxxyxyd 3)1( xdyyxyxdx1010)1(31203 xyz1 2 3 4 解解解解,:22yxz axyxdxy2:22 221 yzxz2222221yxyyxx 2 dxdyyxxyxyxyixyd2)(2222 dxdyyxxd 12222(因因 關于關于x 軸對稱軸對稱)xyd cos2020cos22ardrrrd da 2044cos416cos223524284 a415264a xyz例例4 被被柱柱面面為為錐錐面面