高考數(shù)學(xué)理科二輪復(fù)習(xí)【專題5】橢圓、雙曲線、拋物線含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第2講橢圓、雙曲線、拋物線考情解讀(1)以選擇、填空的形式考查，主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)(特別是離心率)，以及圓錐曲線之間的關(guān)系，突出考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，屬于基礎(chǔ)題(2)以解答題的形式考查，主要考查圓錐曲線的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常常在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，有時(shí)以探究的形式出現(xiàn)，有時(shí)以證明題的形式出現(xiàn)該部分題目多數(shù)為綜合性問(wèn)題，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力等，屬于中、高檔題，一般難度較大圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)名稱橢圓雙曲線拋物線定義|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)|pf1|pf

2、2|2a(2a|f1f2|)|pf|pm|，點(diǎn)f不在直線l上，pml于m標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(a0，b0)y22px(p0)圖形幾何性質(zhì)范圍|x|a，|y|b|x|ax0頂點(diǎn)(±a,0)(0，±b)(±a,0)(0,0)對(duì)稱性關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱焦點(diǎn)(±c,0)(，0)軸 長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b離心率e (0e1)e (e1)e1準(zhǔn)線x漸近線y±x熱點(diǎn)一圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)若橢圓c：1的焦點(diǎn)為f1，f2，點(diǎn)p在橢圓c上，且|pf2|4則f1pf2等于()a30° b60°

3、 c120° d150°(2)已知拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線x2y2的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)p到x軸的距離為m，p到直線l：2xy40的距離為n，則mn的最小值為_思維啟迪(1)pf1f2中利用余弦定理求f1pf2；(2)根據(jù)拋物線定義得m|pf|1.再利用數(shù)形結(jié)合求最值答案(1)c(2)1解析(1)由題意得a3，c，所以|pf1|2.在f2pf1中，由余弦定理可得cosf2pf1.又因?yàn)閏osf2pf1(0°，180°)，所以f2pf1120°.(2)易知x22py(p>0)的焦點(diǎn)為f(0,1)，故p2，

4、因此拋物線方程為x24y.根據(jù)拋物線的定義可知m|pf|1，設(shè)|ph|n(h為點(diǎn)p到直線l所作垂線的垂足)，因此mn|pf|1|ph|.易知當(dāng)f，p，h三點(diǎn)共線時(shí)mn最小，因此其最小值為|fh|111.思維升華(1)對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求|pf1|pf2|f1f2|，雙曲線的定義中要求|pf1|pf2|f1f2|，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等的轉(zhuǎn)化(2)注意數(shù)形結(jié)合，畫出合理草圖(1)已知橢圓c：1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓c有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓c的方

5、程為()a.1 b.1c.1 d.1(2) 如圖，過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)f的直線交拋物線于點(diǎn)a，b，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)c，若|bc|2|bf|，且|af|3，則此拋物線的方程為()ay29xby26xcy23xdy2x答案(1)d(2)c解析(1)橢圓的離心率為，a2b.橢圓方程為x24y24b2.雙曲線x2y21的漸近線方程為x±y0，漸近線x±y0與橢圓x24y24b2在第一象限的交點(diǎn)為，由圓錐曲線的對(duì)稱性得四邊形在第一象限部分的面積為b×b4，b25，a24b220.橢圓c的方程為1.(2)如圖，分別過(guò)a，b作aa1l于a1，bb1l于b1，由

6、拋物線的定義知，|af|aa1|，|bf|bb1|，|bc|2|bf|，|bc|2|bb1|，bcb130°，a1af60°.連接a1f，則a1af為等邊三角形，過(guò)f作ff1aa1于f1，則f1為aa1的中點(diǎn)，設(shè)l交x軸于n，則|nf|a1f1|aa1|af|，即p，拋物線方程為y23x，故選c.熱點(diǎn)二圓錐曲線的幾何性質(zhì)例2(1)已知離心率為e的雙曲線和離心率為的橢圓有相同的焦點(diǎn)f1，f2，p是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，若f1pf2，則e等于()a. b.c. d3(2)設(shè)f1，f2分別是橢圓1 (a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，若在直線x上存在點(diǎn)p，使線段pf1的中垂線過(guò)

7、點(diǎn)f2，則橢圓的離心率的取值范圍是()a. b.c. d.思維啟迪(1)在f1f2p中利用余弦定理列方程，然后利用定義和已知條件消元；(2)可設(shè)點(diǎn)p坐標(biāo)為(，y)，考察y存在的條件答案(1)c(2)d解析(1)設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2，焦距為2c，|pf1|m，|pf2|n，且不妨設(shè)m>n，由mn2a1，mn2a2得ma1a2，na1a2.又f1pf2，4c2m2n2mna3a，4，即4，解得e，故選c.(2)設(shè)p，線段f1p的中點(diǎn)q的坐標(biāo)為，當(dāng)kqf2存在時(shí)，則kf1p，kqf2，由kf1p·kqf21，得y2，y20，但注意到b22c20，即2c2b2

8、>0，即3c2a2>0，即e2>，故<e<1.當(dāng)kqf2不存在時(shí)，b22c20，y0，此時(shí)f2為中點(diǎn)，即c2c，得e，綜上，得e<1，即所求的橢圓離心率的取值范圍是.思維升華解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等(1)已知o為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為f，以of為直徑作圓交雙曲線的漸近線于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)a、b，若()·0，則雙曲線的離心率e

9、為()a2 b3 c. d.(2)(20xx·課標(biāo)全國(guó))已知f為雙曲線c：x2my23m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)f到c的一條漸近線的距離為()a. b3 c.m d3m答案(1)c(2)a解析(1)設(shè)of的中點(diǎn)為c，則2，由題意得，2·0，acof，aoaf，又oaf90°，aof45°，即雙曲線的漸近線的傾斜角為45°，tan 45°1，則雙曲線的離心率e ，故選c.(2)雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(m>0)，其漸近線方程為y± x±x，即y±x，不妨選取右焦點(diǎn)f(，0)到其中一條漸近線xy0

10、的距離求解，得d.故選a.熱點(diǎn)三直線與圓錐曲線例3過(guò)橢圓1(a>b>0)的左頂點(diǎn)a作斜率為2的直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為b，與y軸的交點(diǎn)為c，已知.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)動(dòng)直線ykxm與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)p，且與直線x4相交于點(diǎn)q，若x軸上存在一定點(diǎn)m(1,0)，使得pmqm，求橢圓的方程思維啟迪(1)根據(jù)和點(diǎn)b在橢圓上列關(guān)于a、b的方程；(2)聯(lián)立直線ykxm與橢圓方程，利用0，·0求解解(1)a(a,0)，設(shè)直線方程為y2(xa)，b(x1，y1)，令x0，則y2a，c(0,2a)，(x1a，y1)，(x1,2ay1)，x1a(x1)，y1(2ay1)，整

11、理得x1a，y1a，點(diǎn)b在橢圓上，()2()2·1，即1e2，e.(2)，可設(shè)b23t，a24t，橢圓的方程為3x24y212t0，由，得(34k2)x28kmx4m212t0，動(dòng)直線ykxm與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)p，0，即64k2m24(34k2)(4m212t)0，整理得m23t4k2t，設(shè)p(x1，y1)則有x1，y1kx1m，p(，)，又m(1,0)，q(4,4km)，x軸上存在一定點(diǎn)m(1,0)，使得pmqm，(1，)·(3，(4km)0恒成立，整理得34k2m2.34k23t4k2t恒成立，故t1.橢圓的方程為1.思維升華待定系數(shù)法是求圓錐曲線方程的基本方法；

12、解決直線與圓錐曲線問(wèn)題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦長(zhǎng)公式等簡(jiǎn)化計(jì)算；涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，也可用“點(diǎn)差法”求解已知橢圓c：1(a>b>0)的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)(1，)，右焦點(diǎn)為f2.設(shè)a，b是c上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段ab的中點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為，線段ab的中垂線交橢圓c于p，q兩點(diǎn)(1)求橢圓c的方程；(2)求·的取值范圍解(1)因?yàn)榻咕酁?，所以a2b21.因?yàn)闄E圓c過(guò)點(diǎn)(1，)，所以1.故a22，b21.所以橢圓c的方程為y21.(2)由題意，當(dāng)直線ab垂直于x軸時(shí)，直線ab的方程為x，此時(shí)p(，0)，q(，0)，得·1.當(dāng)直線ab不垂直于x軸時(shí)，

13、設(shè)直線ab的斜率為k(k0)，m(，m)(m0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得(x1x2)2(y1y2)·0，則14mk0，故4mk1.此時(shí)，直線pq的斜率為k14m， 直線pq的方程為ym4m(x)即y4mxm.聯(lián)立消去y，整理得(32m21)x216m2x2m220.設(shè)p(x3，y3)，q(x4，y4)所以x3x4，x3x4.于是·(x31)(x41)y3y4x3x4(x3x4)1(4mx3m)(4mx4m)(4m21)(x3x4)(16m21)x3x4m211m2.由于m(，m)在橢圓的內(nèi)部，故0<m2<，令t32m21,1<t<2

14、9，則·.又1<t<29，所以1<·<.綜上，·的取值范圍為1，)1對(duì)涉及圓錐曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離或焦點(diǎn)弦的問(wèn)題，恰當(dāng)選用定義解題，會(huì)效果明顯，定義中的定值是標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)2橢圓、雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為ax2by21，其中a、b是不等的常數(shù)，a>b>0時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；b>a>0時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；ab<0時(shí)表示雙曲線3求雙曲線、橢圓的離心率的方法：(1)直接求出a，c，計(jì)算e；(2)根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系，然后把b用a，c代換，求.4通徑：過(guò)雙曲線、橢圓、拋物線的焦點(diǎn)垂直于對(duì)

15、稱軸的弦稱為通徑，雙曲線、橢圓的通徑長(zhǎng)為，過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑最短；拋物線通徑長(zhǎng)是2p，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦中通徑最短橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為ac，最短距離為ac.5拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)：已知ab是拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)弦，f為拋物線的焦點(diǎn)，a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2；(2)|ab|x1x2p(為弦ab的傾斜角)；(3)saob；(4)為定值；(5)以ab為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切真題感悟1(20xx·湖北)已知f1，f2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，p是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且f1pf2，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()a. b

16、.c3 d2答案a解析設(shè)|pf1|r1，|pf2|r2(r1>r2)，|f1f2|2c，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為a2，橢圓、雙曲線的離心率分別為e1，e2，由(2c)2rr2r1r2cos ，得4c2rrr1r2.由得.令m，當(dāng)時(shí)，mmax，()max，即的最大值為.2(20xx·遼寧)已知點(diǎn)a(2,3)在拋物線c：y22px的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)a的直線與c在第一象限相切于點(diǎn)b，記c的焦點(diǎn)為f，則直線bf的斜率為()a. b.c. d.答案d解析拋物線y22px的準(zhǔn)線為直線x，而點(diǎn)a(2,3)在準(zhǔn)線上，所以2，即p4，從而c：y28x，焦點(diǎn)為f(2,0)設(shè)切線方程為y3k

17、(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14×(2k3)0，所以k2或k.因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以k.將k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以點(diǎn)b的坐標(biāo)為(8,8)，所以直線bf的斜率為.押題精練1已知圓x2y2上點(diǎn)e處的一條切線l過(guò)雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)f，且與雙曲線的右支交于點(diǎn)p，若()，則雙曲線的離心率是_答案解析如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為h，連接ph，由題意可知|oe|，由()，可知e為fp的中點(diǎn)由雙曲線的性質(zhì)，可知o為fh的中點(diǎn)，所以oeph，且|oe|ph|，故|ph|2|oe|.由雙曲線的定義，可知|pf|ph|2a(p在雙

18、曲線的右支上)，所以|pf|2a|ph|.因?yàn)橹本€l與圓相切，所以pfoe.又oeph，所以pfph.在pfh中，|fh|2|ph|2|pf|2，即(2c)2()2()2，整理得，即e.2設(shè)橢圓1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為a、b，點(diǎn)p在橢圓上且異于a、b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若直線ap與bp的斜率之積為，求橢圓的離心率；(2)若|ap|oa|，證明：直線op的斜率k滿足|k|>.(1)解設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x0，y0)，y00.由題意，有1.由a(a,0)，b(a,0)，得kap，kbp.由kap· kbp，可得xa22y，代入并整理得(a22b2)y0.由于y

19、00，故a22b2.于是e2，所以橢圓的離心率e.(2)證明方法一依題意，直線op的方程為ykx，設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x0，y0)由條件得消去y0并整理，得x，由|ap|oa|，a(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00.而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k224.又a>b>0，故(1k2)2>4k24，即k21>4，因此k2>3，所以|k|>.方法二依題意，直線op的方程為ykx，可設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x0，kx0)由點(diǎn)p在橢圓上，有1.因?yàn)閍>b>0，kx00，所以<1，即(1k2)x<a

20、2.由|ap|oa|及a(a,0)，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00，于是x0.代入，得(1k2)<a2，解得k2>3，所以|k|>.(推薦時(shí)間：60分鐘)一、選擇題1已知橢圓1(0<b<2)，左，右焦點(diǎn)分別為f1，f2，過(guò)f1的直線l交橢圓于a，b兩點(diǎn)，若|bf2|af2|的最大值為5，則b的值是()a1 b. c. d.答案d解析由橢圓的方程，可知長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a2；由橢圓的定義，可知|af2|bf2|ab|4a8，所以|ab|8(|af2|bf2|)3.由橢圓的性質(zhì)，可知過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中，通徑最短，即3，可求得b23，即b.2已知雙曲線1(a

21、>0，b>0)以及雙曲線1的漸近線將第一象限三等分，則雙曲線1的離心率為()a2或 b.或c2或 d.或答案a解析由題意，可知雙曲線1的漸近線的傾斜角為30°或60°，則或.則e 或2.故選a.3已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是yx，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y224x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()a.1 b.1c.1 d.1答案b解析由雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是yx，可設(shè)雙曲線的方程為x2(>0)因?yàn)殡p曲線1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y224x的準(zhǔn)線上，所以f(6,0)是雙曲線的左

22、焦點(diǎn)，即336，9，所以雙曲線的方程為1.故選b.4已知橢圓1 (a>b>0)，a(4,0)為長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦bc過(guò)橢圓的中心o，且·0，|2|，則其焦距為()a. b.c. d.答案c解析由題意，可知|，且a4，又|2|，所以，|2|.故|.又·0，所以.故oac為等腰直角三角形，|2.不妨設(shè)點(diǎn)c在第一象限，則點(diǎn)c的坐標(biāo)為(2,2)，代入橢圓的方程，得1，解得b2.所以c2a2b242，c.故其焦距為2c.5設(shè)f為拋物線c：y23x的焦點(diǎn)，過(guò)f且傾斜角為30°的直線交c于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則oab的面積為()a. b. c. d.答案d解析

23、由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為f(，0)，因此直線ab的方程為y(x)，即4x4y30.方法一聯(lián)立拋物線方程，化簡(jiǎn)得4y212y90，故|yayb|6.因此soab|of|yayb|××6.方法二聯(lián)立方程得x2x0，故xaxb.根據(jù)拋物線的定義有|ab|xaxbp12，同時(shí)原點(diǎn)到直線ab的距離為h，因此soab|ab|·h.6橢圓m：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，p為橢圓m上任一點(diǎn)，且1·2的最大值的取值范圍是c2,3c2，其中c，則橢圓m的離心率e的取值范圍是()a， b，c(，1) d，1)答案b解析設(shè)p(x，y)，f1(c,0)，f

24、2(c,0)，則(cx，y)，(cx，y)，·x2y2c2.又x2y2可看作p(x，y)到原點(diǎn)的距離的平方，所以(x2y2)maxa2，所以(·)maxb2，所以c2b2a2c23c2，即e2，所以e.故選b.二、填空題7(20xx·北京)設(shè)雙曲線c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2)，且與x21具有相同漸近線，則c的方程為_；漸近線方程為_答案1y±2x解析設(shè)雙曲線c的方程為x2，將點(diǎn)(2,2)代入上式，得3，c的方程為1，其漸近線方程為y±2x.8(20xx·浙江東陽(yáng)中學(xué)階段考試)已知點(diǎn)p(0,2)，拋物線c：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為f，線

25、段pf與拋物線c的交點(diǎn)為m，過(guò)m作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為q，若pqf90°，則p_.答案解析由拋物線的定義可得|mq|mf|，f(，0)，又pqqf，故m為線段pf的中點(diǎn)，所以m(，1)，把m(，1)，代入拋物線y22px(p>0)得，12p×，解得p，故答案為.9拋物線c的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)f與雙曲線1的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)p(2,0)且斜率為1的直線l與拋物線c交于a，b兩點(diǎn)，則弦ab的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為_答案11解析因?yàn)殡p曲線1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)所以3，所以p6.即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y212x.設(shè)過(guò)點(diǎn)p(2,0)且斜率為1的直線l的方程為yx2，聯(lián)立y2

26、12x消去y可得x216x40，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x216，所以弦ab的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為11.故填11.10已知f1，f2是雙曲線1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在雙曲線上且不與頂點(diǎn)重合，過(guò)f2作f1pf2的角平分線的垂線，垂足為a.若|oa| b，則該雙曲線的離心率為_答案解析延長(zhǎng)f2a交pf1于b點(diǎn)，則|pb|pf2|，依題意可得|bf1|pf1|pf2|2a.又因?yàn)辄c(diǎn)a是bf2的中點(diǎn)所以得到|oa|bf1|，所以ba.所以ca.所以離心率為.三、解答題11已知曲線c上的動(dòng)點(diǎn)p(x，y)滿足到定點(diǎn)a(1,0)的距離與到定點(diǎn)b(1,0)的距離之比為.(1)求曲線c的方程；(2)過(guò)點(diǎn)m(1,2)的直線l與曲線c交于兩點(diǎn)m、n，若|mn|4，求直線l的方程解(1)由題意得|pa|pb|，故，化簡(jiǎn)得：x2y26x10(或(x3)2y28)即為所求(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x