高中高考數(shù)學易錯易混易忘題分類匯總及解析-6

1、【練63(2005高考淅江東)如圖，在三才好隹PAB BC kPA,點 O、D 分別是 AC、OP 底面ABC .(I) 求證OD 底面PAB ;平面PBC所成角的大小；(III)當k取何值時，O在平面pbC為的射影恰好為【答案】方法一：(I)Q o、d 分別為 AC、又PA 平面PAB. ODPC的中點.ODPA /平面PAB.ABC 中,AB BC,PC的中點，1 一,(II) 當k 1時，求直線pa與(II) Q AB BC, OA OC OA OB OC, 又Q OP 平面 ABC PA PB PC.取BC中點e,連結 PE,則BC 平面POE.作OF PE于f,連結DF ,則OF 平

2、面PBC, ODF是OD與平面PBC所成的角.又 OD / PA,在 Rt ODFPA與平面PBC所成角的大小等于ODF .OF 210sin ODF OD 30PA與平面PBC所成的角為arcs 3聯(lián)(iii )由II知，OF 平面PBC , F是O在平面PBC內的射影.Q D是PC的中點，若點F是VPBC的重心，則B、F、 直線OB在平面PBC內的射影為直線 BD.QOB PCPC BDPB BC ,即 K1.反之,當K 1時，三棱錐O PBC為正三棱錐，O在平面PBC內的射影為 PBC的重心.方法二：Q OP 平面 ABC,OA OC, AB BC, OA OB,OA OP,OB OP.

3、以O為原點，射線 OP為非負z軸，建立空間直角坐標系 Oxyz (如圖)設 AB a,則 a(孝a,0,0) , b(0, *a,0) , C( a,0,0). (I)1 Qd 為 PC 的中點,OD = ( £ - 1 - PA一OD / PAOD 平面 PAB.(II) Q1-,即 PA2uuuPA = (二 27a,可求得平面PBC的法向量n (1, 1, - 7),設PA與平面PBC所成的角為，則sin210arcsin30(iii)QOG設 OP h,T a,0,2h)cos PA,n| cosPA,n |，又PA,0,修PAgnPAgn|210,30DD三點共線,CoA則

4、 P(0,0, h)2ya,。,.21030PA與平面PBC的重心 G( 262a,2a,3h), OG (魯春aWh).平面PBC.UULTOGuuu uuuPB.又 PB2(0,-2a,h),UULT UUUOGgPBh)，ODPBC所成的角為1h20.9h a. PA JOA2 h2 a,即k 1反之，當k 1時，三棱椎O PBC為正三棱錐, 2O在平面PBC內的射影為PBC的重心.ri易錯點64常見冗荷體的體積訐窠公式;悸別基棱錐:一球的體和公式容易忿視公式票數(shù)導致茁錯二例64、（2003年天津理12）棱長為a的正方體中，連結相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為3333（）A、

5、1 B、工 C、a D、三34612【易錯點分析】正確的分析圖形，采用割補法。AB21 1 21 3V八面體3 2a a 6a”。解析：如圖此八面體可以分割為兩個正四棱錐，而【知識點歸類點撥】計算簡單幾何體的體積，要選擇某個面作為底面，選擇的前提條件是這個面上的高易求?！揪?4（2004全國20）如圖四棱錐PABC而，底面ABCM矩形，AB=8, AD=4j3,側面PAD為等邊三角形，并且與底面成二面角為600。求四棱錐PABCD勺體積。解析：如圖，去AD的中點E,連結PE,則PE AD。作PO 平面ABCD垂足為Q連結OE 根據(jù)三垂線定理的逆定理得 OE AD ,所以 PEO為側面PAg底面

6、所成二面角的平面角。由已知 條件可 PEO 600, PE 6 ,所以PO 3/3,四棱錐PABCD勺體積VP abcd1 8 4百 3百 96。3籍商一一65；丁而冷評而麻而S后法有直法!等閑而已承司法丁例65、（2005年春季上海19）如圖，已知正三棱錐P ABC的體積為72 J3 ,側面與底面所成的二面角的大小為（1）證明 PA BC；（2） 求底面中心。到側面的距離。解析：（1）證明：取BC邊的中點D,連結AD PD,則AD BC,PD BC ,故 BC 平面APD PA BC（2）解：如圖，由（1）可知平面PBC 平面APD,則 PDA是側面與底面所成二面角的平面角。過點。做OE P

7、D , E為垂足，則OE就是點。到側面的距離，設 OE為h,由題意可知點 O在AD上,PDO 600,OP 2h.QOD 2h , BC 4h, S abc 4h 2 4 - 3h2 、34Q72 3 1 4 3h2 2h 8-h2, 3-3h 3即底面中心。到側面的距離為3?！局R點歸類點撥】求點到平面的距離一般由該點向平面引垂線，確定垂足，轉化為解三角形求邊長，或 者利用空間向量表示點到平面的垂線段，設法求出該向量，轉化為計算向量的模，也可借助體積公式利用 等積求高?！揪?5】如圖，直三棱柱ABC-AB1C1中， 底面是等腰直角三角形，/ ACB=90 ,側才AA=2, D E分別是CC與

8、AB的中點， 點E在平面ABD上的射影是 ABD的垂心G.（I）求AB與平面ABD所成角的大小（結果用反三角函數(shù)值表示）（口）求點 A到平面AED的距離.解析：連結BG則BG是BE在面ABD的射影，即/ EBG AB與平面ABD所成的角.Q D,E分別是CG,AB的中點，又DC 平面ABC, CDEF為矩形 連結DE,G是 ADB的重心，G DF .在直角三角形EFD中EF2 FG FD 1FD2QEF 1, FD 3.L L3于是 ED2, EGQ FC CD 2, sin EBG EGEB33 -AB 2 2, AB 2 3, EB 3.A1B與平面ABD所成的角是2.3,2 arcsin

9、 .3設F為AB中點，連結EF、FC,（口）連結 AiD,有VA1 aedVd AA1EED AB, ED EF,又EF AB F,ED 平面A1AB, 設A到平面AED的距離為h,則 S AED hS A1AB EDAK2.63故A1到平面AED的距離為2. 63彳房錯看一62丁三而鬲節(jié)同鬲而派至王妻看至父法三 菽配建武法等:例62、 如圖所示，在正三棱柱 ABC-A1B1C中，已知 AA = AC = a, E為BB的 中點，若截面 AECL側面AC.求截面AEC與底面ABC所成銳二面角度數(shù).解法1:,截面 AE6側面 AC=AC.連結AC,在正三棱 ABC- ABC中，AA = A

10、69; = AA Ri庭正方形寸AC J A】C,.截面AiE的側面AC/ AC i截面AEC,又 AAi 1面ABCi = AA1與AC】所成的角NA】ACi的度|數(shù)就是所求二面角的度數(shù).易得/AiAC=45° ,故所求二面角的度數(shù)是45° .解法2如圖3所示，延長CE與CB交于點F,連結AF,則截面AE6面ABC= AF.,EB，面 ABiC,：過 Bi 作 BiGL AiF 交 AiF 于點 G連接EG由三垂線定理知/ EGBi就是所求二面角的平面角.'/ EBj A jCCi => BiF = 3 a.又'/=/ABF=120° ,易

11、得G=；露EB在 RtZiEBC 中，tan8二號二L 二 8 = 45".GBi即所求二面角的度數(shù)為 45?！局R點歸類點撥】二面角平面角的作法：（ D垂面法：是指根據(jù)平面角的定義，作垂直于棱的平面，通 過這個平面和二面角兩個面的交線得出平面角。（2）垂線法：是指在二面角的棱上取一特殊點，過此點在二面角的兩個半平面內作兩條射線垂直于棱，則此兩條射線所成的角即為二面角的平面角；（3）三垂線法:是指利用三垂線定理或逆定理作出平面角；【練65如圖，已知直三棱柱 ABC- ABC,側棱長為2,底面 ABC中,/B=90° , AB=i, BC=J3 , D是側棱CC上一點，且BD

12、與底面所成角為（D求點D到AB所在直線的距離.（2）求二面角A-BD- Bi的度數(shù)解析：丁 CC，面 ABC /B=90° ,DB±AB,.DB的長是點D到AB所在直線的距離，/DBC是BD與底面所成的角，即/ DBC=30 ,.BC=V3,，-.BD=C=2 .cos DBC cos30過 Bi 作BE, BD 于 E,連AiE,. BBLAB, AB± BC,且 BB n BC=B ：AB,平面BCCBi,AB/AB,AiBi，平面BCCB, -. BEXBD, ：AiE，BD,即/AEB是面 AiBD與面BDCBi所成二面角的平面角. 連BiD . BC=J

13、3 , BD=2 ：CD=i. CC=2, ：D為 CC的中點Sa BDBi=一 SbcCiBi BiE - BDBC CC 即2221 BE 2=122. 2：B1E=V3 在 RtABE 中,A1B11.33tan/AEB= ,A| EB1arctan BiE3336【易錯點66】直線與雙曲線的位置關系可通過分析直線方程與漸進線方程的位置關系，也可以聯(lián)立直線方 程與雙曲線方程通過判別式，兩種方法往往會忽視一些特殊情形。22x V例66、過點(0, 3)作直線l ,如果它與雙曲線 一 y 1只有一個公共點，則直線l的條數(shù)是(43A 1 B、2 C 、3 D、4【易錯點分析】在探討直線與雙曲線

14、的位置關系時，可以考慮直線方程與雙曲線方程的解的情況，但容易忽視直線與漸進線平行的特殊情況，這時構成的方程是一次的。解析：用數(shù)形結合的方法：過點(0, 3)與雙曲線只有一個公共點的直線分兩類。一類是平行于漸進線的， 有兩條；一類是與雙曲線相切的有兩條。如圖所示：故選(D)【知識點歸類點撥】直線與雙曲線的位置關系分為：相交、相離、相切三種。其判定方法有兩種：一是將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程ax2 bx c 0。(D若a0,0,直線與雙曲線相交，有兩個交點；若 a0 ,直線與漸進線平行，有一個交點。(2) 若a0,0 ,直線與雙曲線相切，有且只有一個公共點。(3) 若a0,0 ,直線與雙曲線相離，沒有公共點。二是可以利用數(shù)形結合的思想?！揪?6(2004年浙江，理21)如圖已知雙曲線的中心在原點，、中右頂點為A (1, 0) P、Q在