理學(xué)行列式PPT課件

1、1二元線性方程組的求解（消元法）. . a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2(1)(2)1 1 行列式的概念背景背景：當(dāng)當(dāng)021122211aaaa時(shí)，方程組有唯一解時(shí)，方程組有唯一解 211222111212112211222111222211,aaaababaxaaaaababx一般形式也可表示為AXb其中111211212222,aaxbAXbaaxb第1頁(yè)/共84頁(yè)2定義1.1 二階行列式1112112212212122aaa aa aaa為了方便表示上述結(jié)果，引入下列定義（1）等號(hào)右邊的式子稱為行列式的展開式（2）行列式的計(jì)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)，稱為行列式值。（3）

2、稱為行列式的元素,右下標(biāo)表示位置（4）正確區(qū)分矩陣和行列式:矩陣是表,行列式是數(shù)（5）二階行列式也可以稱為矩陣 的行列 式ija11122122aaAaa注意：第2頁(yè)/共84頁(yè)3 引入二階行列式的引入二階行列式的定義定義后，二元一次線性方后，二元一次線性方程組的解可以用二階行列式表示。程組的解可以用二階行列式表示。,222112112221211aaaaababx 111212211122122,ababxaaaa111221220aaaa 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有其中，表示分母的行列式稱為系數(shù)行列式第3頁(yè)/共84頁(yè)4同樣，可以用消元法求解三元一次線性方程組 a11x1+a12x2+a13x3=b1

3、 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3定義1.2111213212223313233aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 對(duì)角線法則三階行列式系數(shù)行列式第4頁(yè)/共84頁(yè)5 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa當(dāng)系數(shù)行列式333231232221131211aaaaaaaaaD ,0時(shí)時(shí) 相應(yīng)的三元線性方程組方程組有唯一解方程組

4、有唯一解,11DDx ,22DDx .33DDx 其中,3332323222131211aabaabaabD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 第5頁(yè)/共84頁(yè)6說(shuō)明：說(shuō)明：對(duì)角線法則對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式只適用于二階與三階行列式(1)項(xiàng)數(shù)：項(xiàng)數(shù)：2階行列式含階行列式含2項(xiàng)，項(xiàng)， 3階行列式含階行列式含6項(xiàng)項(xiàng),這恰好就是這恰好就是2!, 3!.(2)每項(xiàng)構(gòu)成每項(xiàng)構(gòu)成: 2階和階和3階行列式的每項(xiàng)分別是位于階行列式的每項(xiàng)分別是位于不同行不同列的不同行不同列的2個(gè)和個(gè)和3個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積.(3)各項(xiàng)符

5、號(hào)各項(xiàng)符號(hào): 2階行列式含階行列式含2項(xiàng)項(xiàng),其中其中1正正1負(fù)負(fù), 3階階行列式行列式6項(xiàng)項(xiàng),3正正3負(fù)負(fù).觀察二階行列式和三階行列式：思考：四階及四階以上的行列式的展開式應(yīng)該如何？第6頁(yè)/共84頁(yè)7例例1 計(jì)算行列式計(jì)算行列式. 542303241D例例2 解方程組解方程組12313231,22,3;xxxxxxx注意：注意：系數(shù)行列式為系數(shù)行列式為111201 .011D 第7頁(yè)/共84頁(yè)8n !定義2.12.1由n 個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成的一個(gè)有序數(shù)組稱為這n 個(gè)數(shù)字的一個(gè)n 級(jí)排列. .例如：1 2 3 4 55 1 2 3 45 3 2 1 4都是數(shù)1 1，2 2，3 3，4 4，5 5構(gòu)

6、成的一個(gè)5 5級(jí)排列. .自然排列.按照由小到大的順序排成的排列稱為定義2.22.22 2 n階行列式的定義一.排列的逆序數(shù) 注：注：n個(gè)數(shù)的不同排列有個(gè)第8頁(yè)/共84頁(yè)9在一個(gè)排列中，若某個(gè)較大的數(shù)排在某個(gè)較小的數(shù)前面，就稱這個(gè)排列有一個(gè)逆序. .一個(gè)排列中出現(xiàn)的逆序的總數(shù)12()nk kk定義2.32.3稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，排列 12nk kk的逆序數(shù)通常記為 例如：排列1212的逆序數(shù)為 ， 排列2121的逆序數(shù)為 ， 排列231231的的逆序數(shù)為 ， 排列213213的逆序數(shù)是 。0121第9頁(yè)/共84頁(yè)10定義2.42.4 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列

7、。 n 級(jí)排列1 2ni ii的逆序數(shù)的計(jì)算小的數(shù)的個(gè)數(shù)小的數(shù)的個(gè)數(shù)后面比后面比數(shù)數(shù) 11ii小的數(shù)的個(gè)數(shù)小的數(shù)的個(gè)數(shù)后面比后面比數(shù)數(shù) 22ii 小的數(shù)的個(gè)數(shù)小的數(shù)的個(gè)數(shù)后面比后面比數(shù)數(shù) 11 nnii或者)(21nii i=第10頁(yè)/共84頁(yè)11大的數(shù)的個(gè)數(shù)大的數(shù)的個(gè)數(shù)前面比前面比數(shù)數(shù) nnii大的數(shù)的個(gè)數(shù)大的數(shù)的個(gè)數(shù)前面比前面比數(shù)數(shù) 11 nnii 大的數(shù)的個(gè)數(shù)大的數(shù)的個(gè)數(shù)前面比前面比數(shù)數(shù) 22ii 求排列 32514 32514 的逆序數(shù). .例例1例例2 求排列 453162453162 的逆序數(shù). .例例3 求排列 423165423165 的逆序數(shù). .)(21niii=思考：由上

8、面的例題你還能得到什么方法來(lái)計(jì)算排列的逆序數(shù)？第11頁(yè)/共84頁(yè)12定義2.52.5把一個(gè)排列中的某兩個(gè)數(shù)交換位置，其余的數(shù)不動(dòng)，這種交換稱為一次對(duì)換. .將相鄰的兩個(gè)數(shù)對(duì)換，稱為相鄰對(duì)換. .定理2.12.1 一次對(duì)換，改變排列奇偶性證明：（由特殊到一般）思考：對(duì)排列進(jìn)行一次對(duì)換，排列的奇偶性是否發(fā)生變化？例：排列132的逆序數(shù)是1，為奇排列。將數(shù)1，2做一 次對(duì)換變?yōu)榕帕?31，其逆序數(shù)是2，為偶排列。第12頁(yè)/共84頁(yè)13ab的逆序數(shù)不變; ;經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)增加1 ,1 ,當(dāng) 時(shí)，ba 當(dāng) 時(shí)，ba 經(jīng)對(duì)換后 的逆序數(shù)不變， 的逆序數(shù)減少1.1.ab因此，一次相鄰對(duì)換，排列改變奇偶性

9、. .mlbbabaa11對(duì)換對(duì)換 ，abmlbbbaaa11除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變. .b ,a設(shè)排列為先證相鄰對(duì)換,第13頁(yè)/共84頁(yè)14所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列都改變奇偶性.次相鄰對(duì)換1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相鄰對(duì)換12 m,111nmlcacbbbaa次相鄰對(duì)換mnmlccbbabaa111nmlccbbbaaa111ab再證一般對(duì)換設(shè)排列為nmlcbcbabaa111現(xiàn)來(lái)對(duì)換 與a.b第14頁(yè)/共84頁(yè)15定理2.22.22 n 時(shí)，n 個(gè)數(shù)的所有排列中，奇偶排列各占一半，各為 個(gè). .2!n推論1 1偶數(shù)次對(duì)換不改變排

10、列的奇偶性；奇數(shù)次對(duì)換改變排列的奇偶性。推論2 2任意一個(gè)n 級(jí)排列都可以經(jīng)過(guò)一系列對(duì)換變成自然排列，并且所作對(duì)換的次數(shù)與該排列有相同的奇偶性. .第15頁(yè)/共84頁(yè)161.1.概念的引入概念的引入三階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 說(shuō)明：說(shuō)明： （1）項(xiàng)數(shù)與列標(biāo)排列個(gè)數(shù)的關(guān)系：三階行列式共有 項(xiàng)，即 項(xiàng)6!3（2 2）每一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)：每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積（3）每項(xiàng)的符號(hào)： 每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的三個(gè)元素的列指標(biāo)排列（

11、當(dāng)行指標(biāo)排列為自然排列時(shí)）二. n階行列式的定義第16頁(yè)/共84頁(yè)17例如322113aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 , 211312 322311aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 , 101132 偶排列奇排列正號(hào)正號(hào) ,負(fù)號(hào)負(fù)號(hào) 123123123111213()212223123()313233( 1)p p ppppp p paaaaaaa aaaaa因此, ,三階行列式可寫成下列形式第17頁(yè)/共84頁(yè)182.2.n階行列式的定義階行列式的定義det().ija記記作作的元素的元素稱為行列式稱為行列式數(shù)數(shù))det(ijijaa由 個(gè)數(shù)，組成的一個(gè) 行 列的式子，用記號(hào)2nnnnnnnnnaaaaaa

12、aaa212222111211其展開式為表示,稱為一個(gè) 階行列式n其中，1 2121 2()12()( 1)nnnp ppppnpp ppa aa第18頁(yè)/共84頁(yè)19為這個(gè)排列的逆序數(shù)為這個(gè)排列的逆序數(shù)的一個(gè)排列，的一個(gè)排列，為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中 npppn2121 nnnnpppppppppnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 即連加號(hào)表示對(duì)所有這樣的排列求和第19頁(yè)/共84頁(yè)20說(shuō)明:（1）行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的線性方程組的需要而引入的;（5） 一階行列式 不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆;aa !n（6）上式

13、稱為n階行列式的完全展開式.)(21)1- (nppp)(21)1- (nppp占一半，行列式是一個(gè)數(shù);（2） 階行列式是 項(xiàng)的代數(shù)和,其中正負(fù)項(xiàng)各n（3） 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列 個(gè)元素的乘積;nn)(21)1- (nppp)(21)1- (nppp)(21)1- (nppp)(21)1- (nppp)(21)1- (npppnnpppaaa2121(4)的符號(hào)是第20頁(yè)/共84頁(yè)21行列式的行列式的等價(jià)定義等價(jià)定義nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1( nnniiiniiiiiiaaa21212121

14、)()1( 第21頁(yè)/共84頁(yè)22例例1 1 在在6 6階行列式中，下列項(xiàng)應(yīng)帶什么符號(hào)階行列式中，下列項(xiàng)應(yīng)帶什么符號(hào). .;651456423123aaaaaa解解:651456423123)1(aaaaaa431265的逆序數(shù)的逆序數(shù)為為012201 , 6 所以所以 前邊應(yīng)帶正號(hào)前邊應(yīng)帶正號(hào).651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa651456423123)2(aaaaaa,566514234231aaaaaa342165的逆序數(shù)的逆序數(shù)為為002301 , 6 所以所以 前邊應(yīng)帶正號(hào)前邊應(yīng)帶正號(hào).651456423123aaaaaa思考：上題還有第三種方

15、法嗎？第22頁(yè)/共84頁(yè)23例例 2 計(jì)算計(jì)算4階行列式階行列式4443424133323122211100 00 0 0 aaaaaaaaaaD 解：解： 根據(jù)定義，根據(jù)定義，D是是4！24項(xiàng)的代數(shù)和，但每一項(xiàng)的代數(shù)和，但每一項(xiàng)的乘積項(xiàng)的乘積 中只要有一個(gè)元素為中只要有一個(gè)元素為0，乘積，乘積就等于就等于0，所以只需展開式中不明顯為，所以只需展開式中不明顯為0 的項(xiàng)。的項(xiàng)。njjjjaaaa4321321行列式展開式中不為行列式展開式中不為0的項(xiàng)只可能是的項(xiàng)只可能是a11a22a33a44，而，而列標(biāo)排列列標(biāo)排列1234的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為0，即此項(xiàng)符號(hào)為正，因，即此項(xiàng)符號(hào)為正，因此行列式此

16、行列式Da11a22a33a44。 第23頁(yè)/共84頁(yè)24l 主對(duì)角線以上的元素全為零（即主對(duì)角線以上的元素全為零（即ij時(shí)元素時(shí)元素aij0）的行列式稱為的行列式稱為上三角行列式上三角行列式，它等于主對(duì)角線上各，它等于主對(duì)角線上各元素的乘積。元素的乘積。 l 行列式中，除主對(duì)角線上的元素以外，其他元素行列式中，除主對(duì)角線上的元素以外，其他元素全為零（即全為零（即ij時(shí)元素時(shí)元素aij0）的行列式稱為）的行列式稱為對(duì)角行列對(duì)角行列式式，它等于主對(duì)角線上元素的乘積。，它等于主對(duì)角線上元素的乘積。第24頁(yè)/共84頁(yè)25例例3 證明證明 11121121211 21111 211(),nn nnnn

17、nnnnaaaa aaaaaa 上面的行列式中，未寫出的元素都是上面的行列式中，未寫出的元素都是0。 證證: 行列式的值為行列式的值為121121nnjjnjjja aa若乘積非零，若乘積非零，j1j2jn只能是排列只能是排列n(n1)2 1， 它的逆序數(shù)為它的逆序數(shù)為 1(1)(2)2 12nnnn 第25頁(yè)/共84頁(yè)26所以行列式的值為所以行列式的值為 12, 11,21211nnnnnnaaaa 4132231441323123222114131211000000aaaaaaaaaaaaaaD 例如例如第26頁(yè)/共84頁(yè)27n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 證明

18、證明第27頁(yè)/共84頁(yè)28思考題思考題 1211123111211xxxxxf .3的系數(shù)的系數(shù)求求 x已知第28頁(yè)/共84頁(yè)29思考題解答思考題解答解解含含 的項(xiàng)有兩項(xiàng)的項(xiàng)有兩項(xiàng),即即3x 1211123111211xxxxxf 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 4334221112431aaaa 44332211)1234(1aaaa ,1344332211)1234(xaaaa 343342211124321xaaaa . 13 的系數(shù)為的系數(shù)為故故 x第29頁(yè)/共84頁(yè)303 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) ,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD 112111222212nnTnnnnaaa

19、aaaDaaa 記記行列式行列式DT 稱為行列式稱為行列式D的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式。性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 。證證： 記記 111212122212,nnTnnnnbbbbbbDbbb 即即bijaji (i，j1，2，n) 121 2121nnTjjnjj jjDb bb121 2121nnjjj nj jja aaD第30頁(yè)/共84頁(yè)31性質(zhì)性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。 證證 nnnqnpnnqpnqpaaaaaaaaaaaaD12222111111 交換第交換第p、q兩列，兩列，得行列式得行列

20、式 nnnpnqnnpqnpqaaaaaaaaaaaaD122221111111 說(shuō)明：說(shuō)明： 行列式中行與列具有同等的地位, ,因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立. .第31頁(yè)/共84頁(yè)32對(duì)于對(duì)于D中任一項(xiàng)中任一項(xiàng) 112121pqniii pi qi na aaaa在在D1中必有對(duì)應(yīng)一項(xiàng)中必有對(duì)應(yīng)一項(xiàng) 212121qpniii qi pi na aaaa與與 只經(jīng)過(guò)一次對(duì)換只經(jīng)過(guò)一次對(duì)換nqpiiii1npqiiii11211與與相相差差一一個(gè)個(gè)符符號(hào)號(hào)niqipiiinipiqiiinqpnpqaaaaaaaaaa21212121 所以對(duì)于所以對(duì)于D中任一項(xiàng)，中任一項(xiàng)，D1中

21、必定有一項(xiàng)與它的符號(hào)中必定有一項(xiàng)與它的符號(hào)相反而絕對(duì)值相等，又相反而絕對(duì)值相等，又D與與D1的項(xiàng)數(shù)相同。的項(xiàng)數(shù)相同。 1DD 推論推論 若行列式有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)相等，則若行列式有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)相等，則行列式為零。行列式為零。 第32頁(yè)/共84頁(yè)33性質(zhì)性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)同一個(gè)數(shù)k，等于用數(shù)，等于用數(shù)k乘以此行列式。乘以此行列式。 性質(zhì)性質(zhì)4 行列式中若有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，行列式中若有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式為零。則此行列式為零。 推論推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中

22、所有元素的公因子可以提到行列式的外面。子可以提到行列式的外面。nnnininaakakaaaD11111;11111nnnininaaaaaak第33頁(yè)/共84頁(yè)34性質(zhì)性質(zhì)5 若行列式的某行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和若行列式的某行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和nnnnininiiiinnaaaaaaaaaaaaaaaD2122112222111211 則行列式則行列式D等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和： nnnniniinnnnnniniinnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD2121222211121121212222111211 例如第34頁(yè)/共84頁(yè)35性質(zhì)性

23、質(zhì)6 把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)k，加到，加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。 以數(shù)以數(shù)k乘以第乘以第i行上的元素加到第行上的元素加到第j行對(duì)應(yīng)元素上，有行對(duì)應(yīng)元素上，有111211112112121211221212()()()nniiiniiinjijjjnjijijninnnnnnnnnaaaaaaaaaaaarkraaaakaakaakaaaaaaa第35頁(yè)/共84頁(yè)36例例1 計(jì)算四階行列式計(jì)算四階行列式ababaabbbbD000000 解解：ababaabbababaabbbbD2020

24、000000000000 222(4)bab 例例2 計(jì)算四階行列式計(jì)算四階行列式abbbbabbDbbabbbba第36頁(yè)/共84頁(yè)374 行列式按行（列）展開定理 背景：低階行列式比高階行列式計(jì)算要簡(jiǎn)便，能否把高階行列式轉(zhuǎn)化成低階行列式？如何轉(zhuǎn)化？以三階行列式為例，容易驗(yàn)證：333231232221131211aaaaaaaaa3332232211aaaaa3332131221aaaaa-+2322131231aaaaa可知：三階行列式可以轉(zhuǎn)化為二階行列式第37頁(yè)/共84頁(yè)38則則 Aij叫做元素叫做元素aij的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式。 顯然，顯然，Aij與行列式中第與行列式中第i行、第行

25、、第j列的元素?zé)o關(guān)。列的元素?zé)o關(guān)。 ijjiijMA )1(令先看下面兩個(gè)定義：例如：三階行列式中元素23221312aaaa31a的余子式31M=如：三階行列式中元素的代數(shù)余子式21a211221) 1 - (MA+=定義定義 設(shè)設(shè) ， 劃去元素劃去元素aij所在的行和列，余所在的行和列，余下的元素按其原有的位置構(gòu)成的（下的元素按其原有的位置構(gòu)成的（n1）階行列式叫做）階行列式叫做元素元素aij的的余子式余子式，記為，記為Mij 。()ijn nAa第38頁(yè)/共84頁(yè)39引理引理 n階行列式階行列式D中，如果其中第中，如果其中第i行元素除行元素除aij外全外全部為零，則行列式等于部為零，則行

26、列式等于aij與它的代數(shù)余子式的乘積，與它的代數(shù)余子式的乘積，即即DaijAij證證 先證先證i1，j1的情形的情形 nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD3232323211)1(3212232221111000 nnnjjjnjjjjjjaaaa32323232)(111 11111111111111323333222322111AaMaMaaaaaaaaaaannnnnn 第39頁(yè)/共84頁(yè)40設(shè)設(shè) D 的第的第 i 行除了行除了ija外都是外都是 0 .nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 把把 D 的第的第i行依次與第行依次與第1 i行，第行，

27、第2 i行，行，第第2行，第行，第1行交換；再將第行交換；再將第j列依次與列依次與第第1 j列列第第2 j列，列，第第2列，第列，第1列交換，這樣共經(jīng)過(guò)列交換，這樣共經(jīng)過(guò)2)1()1( jiji次交換行與交換列的步驟次交換行與交換列的步驟. 對(duì)一般情形，只要適當(dāng)交換對(duì)一般情形，只要適當(dāng)交換D的行與列的位置，的行與列的位置，即可得到結(jié)論。即可得到結(jié)論。 第40頁(yè)/共84頁(yè)41得得nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1200)1( ijijjiMa )1(ijijAa=例1：計(jì)算四階行列式002101-1-321010321第41頁(yè)/共84頁(yè)42定理定理3 行列式等

28、于它的任一行（列）的各元素與其行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 證證：nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110000000 ), 2 , 1( ), 2 , 1( 22112211njAaAaAaDniAaAaAaDnjnjjjjjininiiii 或或（按行展開）（按列展開）第42頁(yè)/共84頁(yè)43nnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaa21211211211112110000 .2211ininiiiiAaAaAa nnnninnaaaaaaa211121100 第43頁(yè)/共84頁(yè)44例例 1 計(jì)算行

29、列式計(jì)算行列式 1320010500134002 D解解 由定理由定理3，按第一行展開，按第一行展開 得得 1 11 41003102101041501231023D 86)156(42 也可以按其他行（或列）展開說(shuō)明：利用上述方法計(jì)算行列式也稱為降階法第44頁(yè)/共84頁(yè)45例例2 計(jì)算.621721744354353274274D621100744310053271004D解：解：62117443153271410017802116013271410017821161100)232178(100.5400第45頁(yè)/共84頁(yè)46例例3 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 (加邊法加邊法)yyxxD 1111

30、111111111111解解 當(dāng)當(dāng)x0 或或y0時(shí)，顯然時(shí)，顯然D0， 現(xiàn)假設(shè)現(xiàn)假設(shè)x0，且，且y00，由定理知，由定理知 1111101111011110111101111xDxyy 22000000000000000011111yxyyxx 111111000100010001000 xxyy 第46頁(yè)/共84頁(yè)47推論推論 行列式一行行列式一行(列列)的元素與另一行的元素與另一行(列列)的對(duì)應(yīng)元的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即即 )(02211jiAaAaAajninjiji )(02211jiAaAaAanjnijiji 或或證證111111 nii

31、njjnnnnaaaaaaaa1122jjjjjnjna Aa Aa A 第47頁(yè)/共84頁(yè)48當(dāng)當(dāng)i j, 將式中將式中ajk換成換成aik(k=1,2,n),可得可得111111 niiniinnnnaaaaaaaa同理可證同理可證02211 njnijijiAaAaAa1122ijijinjna Aa Aa A 0 第48頁(yè)/共84頁(yè)49代數(shù)余子式的重要性質(zhì)代數(shù)余子式的重要性質(zhì):10,;nikjkkDija Aij 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)10,;nkikjkDija Aij 當(dāng)當(dāng)或或當(dāng)當(dāng)例例4 已知求求2579123453170274A3132333441424334(1)234(2)234AAAAA

32、MAA第49頁(yè)/共84頁(yè)50定義定義 由由 階方陣階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式，的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣叫做方陣 的行列式，記作的行列式，記作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A則則. 2 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì): ;1AAT ;2AkkAn 方陣的行列式第50頁(yè)/共84頁(yè)511111111111110mmmmmnnnmnnnaaaaDccbbccbb 設(shè)設(shè)11111det(),mijmmmaaDaaa,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 下面證明下面證明設(shè)定理定理4 4(),(),ijm mijn nAOAaBbA BCB則則第51頁(yè)/共84頁(yè)52證

33、明證明:1111110;mmmmmpDpppp設(shè)設(shè)為為化為下三角形行列式化為下三角形行列式，把，把作運(yùn)算作運(yùn)算對(duì)對(duì)11DkrrDji 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把作運(yùn)算作運(yùn)算對(duì)對(duì)22,DkccDji 1121110.nnnnnqDqqqp設(shè)設(shè)為為,ijijDmrkrnckcD 對(duì)對(duì)的的前前行行作作運(yùn)運(yùn)算算，再再對(duì)對(duì)后后列列作作運(yùn)運(yùn)算算把把化化為為下下三三角角形形行行列列式式第52頁(yè)/共84頁(yè)5311111111110,mmmmnnmnnnpppDccqccqq 1111mmnnDppqq故故.21DD 推論2 設(shè)1(),(),()m nijm mijn nOAAaBbA BBC 則

34、則推論1 設(shè)(),(),ijm mijn nACAaBbA BOB則則第53頁(yè)/共84頁(yè)54證明證明:構(gòu)造一個(gè)行列式構(gòu)造一個(gè)行列式nnnnnnnnnbbbbaaaaD111111112110BEA 0A B 對(duì)上述行列式作行變換，將第對(duì)上述行列式作行變換，將第n+1行的行的a11倍，第倍，第n+2行的行的a12倍，倍，第2n行的a1n倍加到第一行，得定理定理5 設(shè)設(shè)A , B是是 n 階方陣，則階方陣，則BAAB 第54頁(yè)/共84頁(yè)5511122121111100000011nnnnnnnnnnccaaDaabbbb 再依次將第再依次將第n+1行的行的ak1倍倍(k=2,3, ,n)，第，第n

35、+2行的行的ak2倍，倍，第2n行的akn倍加到第k行，得第55頁(yè)/共84頁(yè)56111221212111100000011nnnnnnnnnccccDccbbbb 由定理由定理4 的推論得的推論得1()n n nABAB 21()n nnDABE 證明完畢。證明完畢。;ABA BB ABA 注：注：設(shè)設(shè)A , B是是 n 階方陣階方陣, 則則第56頁(yè)/共84頁(yè)57思考題階行列式階行列式設(shè)設(shè)nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和求第一行各元素的代數(shù)余子式之和.11211nAAA 第57頁(yè)/共84頁(yè)58思考題解答思考題解答解解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成第

36、一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn第58頁(yè)/共84頁(yè)59例例1 1 計(jì)算計(jì)算5 5 行列式的計(jì)算一、對(duì)角線法則 此時(shí)，要結(jié)合行列式的各種性質(zhì)，加以簡(jiǎn)化計(jì)算。二、化為三角形行列式axaaaaaxaaaaaxaaaaaxD 122nxnaxa () ()第59頁(yè)/共84頁(yè)60baaaaabaaaaabaaaaabaDnnnn 32132132132111312 rrrrrrn bbbbbbaaaban 000000321nccc 21例例2 2 計(jì)算計(jì)算bbbaaabaaann 000000000)(3221121)()(

37、 nnbbaaa第60頁(yè)/共84頁(yè)61例3 3證明范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD三、數(shù)學(xué)歸納法 證明用數(shù)學(xué)歸納法21211xxD 12xx (1)(1)當(dāng)n=2=2時(shí), ,結(jié)論成立. ., )(12 jijixx第61頁(yè)/共84頁(yè)62(2) (2) 設(shè)對(duì)n1 1階范德蒙德行列式結(jié)論成立，來(lái)證對(duì)n階范德蒙德行列式結(jié)論也成立. .112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD11 nnrxr211 nnrxr112rxr )()()(0)()()(0011

38、111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn 第62頁(yè)/共84頁(yè)63,)(11提出提出因子因子列展開，并把每列的公列展開，并把每列的公按第按第xxi 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1-1階階范德蒙德范德蒙德行列式行列式)()()(211312jjininxxxxxxxx ).(1jjinixx 證畢證畢.有的行列式可以利用范德蒙行列式的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算有的行列式可以利用范德蒙行列式的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算例4 4 計(jì)算計(jì)算222abcDabcbccaab 第63頁(yè)/共84頁(yè)64例例5計(jì)算計(jì)

39、算.333222111222nnnDnnnn 222333nn312n312n312n312nnDn 2221111111312312312!nnnnnnn 第64頁(yè)/共84頁(yè)651!()!(21)(3 1)(1)(32)(42)(2)(1)!(1)!(2)!2!1!.nijn ijnDnnnnnn nnxx 例例6證明證明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 第65頁(yè)/共84頁(yè)66證明證明:對(duì)階數(shù)對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法。用數(shù)學(xué)歸納法。2212121221coscos,coscos,.( )nD 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 結(jié)結(jié)論論成成立立2( ),.,nnnD假

40、假設(shè)設(shè)對(duì)對(duì)階階數(shù)數(shù)小小于于 的的行行列列式式結(jié)結(jié)論論成成立立 下下證證對(duì)對(duì)于于階階數(shù)數(shù)等等于于 的的行行列列式式也也成成立立 現(xiàn)現(xiàn)將將按按最最后后一一行行展展開開 得得.cos221DDDnnn 212 ()()n-1nDcos n,Dcos n, 第66頁(yè)/共84頁(yè)67;cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .結(jié)論成立結(jié)論成立所以對(duì)一切自然數(shù)所以對(duì)一切自然數(shù)n四、降階遞推法例例7 7 計(jì)算計(jì)算dcdcdcbababaDn 20000方法方法:降階降階找遞推公式找遞推公式.第67頁(yè)/共84頁(yè)68解解 按第按第1 1行展開行展開, ,有有ddcd

41、cbabaaDn00002 0000)1(12cdcdcbababn )1(2)1(2 nnbcDadD)1(2)( nDbcad第68頁(yè)/共84頁(yè)69遞推公式遞推公式2nD )1(21)( nDbcad)2(22)( nDbcad 121)( Dbcadn21)(Dbcadn nbcad)( 例例8 81011nD, , 第69頁(yè)/共84頁(yè)70 1nnDD11101 n 21)( nnDD )(211 nnnnDDDD )(322 nnDD )(122DDn 解解,)(22 D 1DnnnDD 1(1)121 nnnDD (2)212 DD(n-1)第70頁(yè)/共84頁(yè)712222111 nn

42、nnnnDD)1()3()2()1(22 nn ).(122221 nnnnnnD五、加邊升階 法121212111nnnnaaaaaaDaaa 例例9 9 計(jì)算計(jì)算第71頁(yè)/共84頁(yè)721212121211010101nnnnnnaaaaaaaaaDaaa 1211110010101001nnaaa 12111010000100001nininaaaa 11niia 第72頁(yè)/共84頁(yè)73122221212111111111nnnnnnnxxxxxxDxxx 例例10 10 計(jì)算計(jì)算12222121211111101110 1110 111()nnnnnnnnxxxxxxDxxx 解：第73頁(yè)/共84頁(yè)74122221212111111111()nnnnnnnxxxxxxxxx 12222121221111000nnnnnnxxxxxxxxx122