高中數(shù)學(xué)必修2立體知識點總結(jié)歸納

1、高中數(shù)學(xué)立體幾何知識點一、直線與方程（ 1）直線的傾斜角 取值范圍是 0°180°（ 2）直線的斜率定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k 表示。即 ktan 。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)0,90時， k0 ；當(dāng)90 ,180 時， k0； 當(dāng)90 時， k 不存在。過兩點的直線的斜率公式：ky2y1 (x1x2 )x2x1（ 3）直線方程點斜式： yy1k( xx1 ) 直線斜率 k，且過點 x1, y1斜截式： ykxb ，直線斜率為 k，直線在 y 軸上的截距為 b兩點式： yy1xx1 （ x1x2 , y1

2、y2 ）直線兩點 x1, y1， x2 , y2y2y1x2x1截矩式： xy1 其中直線 l與 x 軸交于點(a,0) ,與 y 軸交于點 (0, b) ,即 l 與 x 軸、 y 軸的截ab距分別為 a, b 。一般式： AxBy C 0 （ ，不全為）AB0（ 5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平 行于 已知 直 線 A0 xB0 yC00 （ A0 , B0是不全為0 的常數(shù)）的直線系：A0 xB0 yC0 （C 為常數(shù)）（二）過定點的直線系（ ）斜率為k 的直線系：yy0k xx0，直線過定點x0, y0；（ ）過兩條直線l1: A1 xB1 yC10 ， l2

3、: A2 xB2 yC20 的交點的直線系方程為A1xB1 yC1A2 xB2 yC20 （為參數(shù)），其中直線l2 不在直線系中。（ 6）兩直線平行與垂直當(dāng) l 1 : yk1 xb1 ， l 2: yk2 xb2 時，l1/ l 2k1k 2 ,b1b2 ； l 1l 2k1 k21注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。兩點間距離公式： 設(shè) A(x1 , y1 )，（B x2 , y2）是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，則 | AB | ( x2 x1 )2( y2 y1) 2（ 9）點到直線距離公式： 一點 P x0 , y0到直線 l1 : Ax By C0 的距離 dA

4、x0By0 C22AB二、圓的方程1 圓的方程（ 1）標(biāo)準(zhǔn)方程 xa 2yb 2r 2 ，圓心 a, b ，半徑為 r；（ 2）一般方程 x 2y2DxEyF0當(dāng) D 2E 24F0 時，方程表示圓，此時圓心為D ,E ，半徑為 r1D 2E 24F222當(dāng) D 2E 24F0 時，表示一個點D,E，；2 2當(dāng) D 2 E 2 4F 0 時，方程不表示任何圖形。（ 3）求圓方程的方法：一般采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。 確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出 a， b， r；若利用一般方程，需要求出 D， E， F；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓

5、心的位置。2、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（ 1）設(shè)直線 l : Ax ByC0 ，圓 C : xa 2y b 2r 2 ，圓心 C a, b 到 l 的距離為dAaBb C ，則有 drl與 C相離 ； drl與 C相切 ； drl與 C相交A2B 22b 2（ 2）設(shè)直線 l : Ax ByC0 ，圓 C : x ayr 2 ，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有0l 與 C相離 ；0l 與C相切 ；0l 與 C 相交(3)過圓上一點的切線方程：圓 x2+y 2=r 2，圓上一點為 (x0， y0

6、)，則過此點的切線方程為 xx0yy0r 2 (課本命題 )圓 (x-a)2+(y-b) 2=r 2，圓上一點為 (x0 ，y0)，則過此點的切線方程為 (x0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 (課本命題的推廣 )4、圓與圓的位置關(guān)系： 通過兩圓半徑的和（差） ，與圓心距（ d）之間的大小比較來確定。222 ， C2 : x a222設(shè)圓 C1 : x a1y b1ry b2R2兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（ d）之間的大小比較來確定。當(dāng) d R r 時兩圓外離，此時有公切線四條；當(dāng) d R r 時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)

7、 R當(dāng) drdRr 時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；Rr 時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；當(dāng) dRr 時，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d0 時，為同心圓。三、立體幾何初步1、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法斜二測畫法特點： 原來與 x 軸平行的線段仍然與x 平行且長度不變；原來與 y 軸平行的線段仍然與y 平行，長度為原來的一半。2、 球體的表面積和體積公式：V 球 = 4 R3 ； S球面 = 4 R233、空間點、直線、平面的位置關(guān)系公理 1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）應(yīng)用：判斷直線是否在平面內(nèi)用符

8、號語言表示公理1： Al , Bl , A, Bl公理 2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理 2 及其推論作用： 它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)它是證明平面重合的依據(jù)公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面和相交，交線是 a，記作a。符號語言： PABABl ,Pl公理 3 的作用：它是判定兩個平面相交的方法。它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點。它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。公理 4：平行于同一條直線的兩條

9、直線互相平行（ 5）空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義： 不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì) ：既不平行，又不相交。 異面直線判定： 過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 異面直線所成角 ：直線 a、 b 是異面直線，經(jīng)過空間任意一點 O，分別引直線 aa，b b，則把直線 a和 b所成的銳角（或直角）叫做異面直線 a 和 b 所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（ 0°，90°，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理（ 2）在異

10、面直線所成角定義中，空間一點O 是任取的，而和點O 的位置無關(guān)。求異面直線所成角步驟：A 、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角（ 7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。（ 8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點三種位置關(guān)系的符號表示：aaAa（ 9）平面與平面之間的位置關(guān)系： 平行沒有公共點；相交有一條公共直線。b5、空間中的平行問題（ 1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理 ：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,

11、則該直線與此平面平行。aaba / /a / /b線線平行線面平行b線面平行的性質(zhì)定理： 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，a /那么這條直線和交線平行。aa / bb線面平行線線平行（ 2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個平面平行的判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行a / /b / / /abPa,b（線面平行面面平行），垂直于同一條直線的兩個平面平行，a/a兩個平面平行的性質(zhì)定理（ 1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。a（面面平行線面平行）（ 2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線

12、平行。/a a / bb（面面平行線線平行）6、空間中的垂直問題（ 1）線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。(2)線線垂直 直線和平面垂直的定義: 直線 l 與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l 與平面 互相垂直aa b ;線面垂直的性質(zhì)：b 線面垂直的判定方法判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線

13、都垂直，則該直線與此平面垂直a b a ca ；bcOb, c注意點：定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直這個平面ab? ba三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直三垂線定理的逆定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直(3 ). 二面角 ：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面 二面角的平面角二面角的平面角的定義：如圖，在二面角l的棱和內(nèi)分別作垂直于棱l 的射線 OA 和

14、 OB，則射線OA 和 平面與平面垂直.l 上任取一點O，以點 O 為垂足，在半平面OB 構(gòu)成的AOB 叫做二面角的平面角.平面與平面垂直定義 ：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直 .兩個平面垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.兩個平面垂直的判定定圖形表示及符號表示：lll(4) 直線與平面垂直的性質(zhì)定理直線與平面垂直的性質(zhì)定理 ：垂直于同一個平面的兩條直線平行直線與平面垂直的性質(zhì)定理a符號語言為：設(shè)直線a 和 b, 及平面，那么a / /b .b(5). 平面與平面垂直的性質(zhì)定理平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個

15、平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直b面面垂直的性質(zhì)定理符號語言為：a.aab7、空間角問題（ 1）直線與直線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為 0 。兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b 平行的直線a , b ，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。范圍：0,2（ 2）直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角： 規(guī)定為 0 。平面的垂線與平面所成的角： 規(guī)定為 90 。平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角： “一作，二證，三計算?！痹凇白鹘恰睍r依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息： （1）斜線上一點到面的垂線； （ 2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。范圍：0,2（ 3）二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，