橢圓知識點歸納總結(jié)和經(jīng)典例題

1、橢圓的基本知識 1、橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距(設(shè)為2c) . 2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（0） （0）焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計算簡便，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考慮焦點位置，求出方程3、求軌跡方程的方法: 定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點法、直接法解: (相關(guān)點法)設(shè)點M(x, y), 點P(x0, y0), 則xx0, y 得x0x， y02y.x02y024, 得 x2(2y)24, 即所以點M的軌跡是一個橢圓. 4、范圍. x2a2，y2b2，|

2、x|a，|y|b橢圓位于直線x±a和y±b圍成的矩形里5、橢圓的對稱性橢圓是關(guān)于y軸、x軸、原點都是對稱的坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸原點是橢圓的對稱中心橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心6、頂點 只須令x0，得y±b，點B1(0,b)、B2(0, b)是橢圓和y軸的兩個交點；令y0，得x±a，點A1(a,0)、A2(a,0)是橢圓和x軸的兩個交點橢圓有四個頂點：A1(a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, b)、B2(0, b)橢圓和它的對稱軸的四個交點叫橢圓的頂點線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸.。長軸的長等于2a. 短軸的長等于2b.a叫做橢圓的

3、長半軸長b叫做橢圓的短半軸長|B1F1|B1F2|B2F1|B2F2|a在RtOB2F2中，|OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即c2a2b2 （ B ）. 橢圓典型例題例1 已知橢圓的一個焦點為（0，2）求的值分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值解：方程變形為因為焦點在軸上，所以，解得又，所以，適合故例2 已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：因橢圓的中心在原點，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：當(dāng)焦點在軸上時，設(shè)其方程為由橢圓過點，知又，代入得，故橢圓的方程為當(dāng)焦點在軸上時，設(shè)其方程為

4、由橢圓過點，知又，聯(lián)立解得，故橢圓的方程為例3 的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解（2）由的軌跡方程、坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程解： （1）以所在的直線為軸，中點為原點建立直角坐標(biāo)系設(shè)點坐標(biāo)為，由，知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，且除去軸上兩點因，有，故其方程為（2）設(shè)，則 由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點）例4 已知點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程解：設(shè)兩焦點為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點所在的對稱軸，

5、所以在中，可求出，從而所求橢圓方程為或例5 已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限由余弦定理知： ·由橢圓定義知： ，則得 故 例6 已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點P滿足的關(guān)系式解：如圖所示，設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點動點到兩定點，即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡

6、是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法例7 已知橢圓（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程 分析：此題中四問都跟弦中點有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點分別為，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（4）

7、由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決例8 已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2）設(shè)直線與橢圓的兩個交點的橫坐標(biāo)為，由（1）得，根據(jù)弦長公式得 ：解得方程為說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式用弦長公式，若能合理運用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可

8、大大簡化運算過程例9 以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應(yīng)在何處？并求出此時的橢圓方程分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，本題實際上就是要在已知直線上找一點，使該點到直線同側(cè)的兩已知點（即兩焦點）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決解：如圖所示，橢圓的焦點為，點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為（9，6），直線的方程為解方程組得交點的坐標(biāo)為（5，4）此時最小所求橢圓的長軸：，又，因此，所求橢圓的方程為例10 已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由得，故的取值范圍是出錯的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個條件，

9、當(dāng)時，并不表示橢圓例11 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍解：方程可化為因為焦點在軸上，所以因此且從而說明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，這是容易忽視的地方(2)由焦點在軸上，知， (3)求的取值范圍時，應(yīng)注意題目中的條件例12求中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過和兩點的橢圓方程分析：由題設(shè)條件焦點在哪個軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計算簡便起見，可設(shè)其方程為(，)，且不必去考慮焦點在哪個坐標(biāo)軸上，直接可求出方程解：設(shè)所求橢圓方程為(，)由和兩點在橢圓上可得即所以，故所求的橢圓方程為例13 已知長軸為1

10、2，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長分析：可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因為，所以因為焦點在軸上，所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出例14橢圓上的點到焦點的距離為2，為的中點，則（為坐標(biāo)

11、原點）的值為A4B2 C8 D解：如圖所示，設(shè)橢圓的另一個焦點為，由橢圓第一定義得，所以，又因為為的中位線，所以，故答案為A說明：(1)橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓(2)橢圓上的點必定適合橢圓的這一定義，即，利用這個等式可以解決橢圓上的點與焦點的有關(guān)距離例15 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱分析：若設(shè)橢圓上，兩點關(guān)于直線對稱，則已知條件等價于：(1)直線；(2)弦的中點在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點關(guān)于直線對稱，直線與交于點的斜率，設(shè)直線的方程為由方程組消去得。于是，即

12、點的坐標(biāo)為點在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點，解得(法2)同解法1得出，即點坐標(biāo)為，為橢圓上的兩點，點在橢圓的內(nèi)部，解得(法3)設(shè)，是橢圓上關(guān)于對稱的兩點，直線與的交點的坐標(biāo)為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即。又點在直線上，。由，得點的坐標(biāo)為以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點，關(guān)于直線恒對稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個交點，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程(2)利用弦的中點在橢圓內(nèi)部，滿足，將，利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式例17 在面積為1的中，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以、為焦點且過點的橢圓方程解：以的中點為原點，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)則即得所求橢圓方程為例18 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，(或，)的值代入計算即得并不需要求出直線與橢圓的交點坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的解：方法一：設(shè)所求直線方程為代入橢圓方程，整理得 設(shè)直線與橢圓