橢圓綜合問題

1、新縣高中高二年級數(shù)學學科導學案（19） 編、審：陶磊 使用：9、10班 學生姓名： 班級： 橢圓綜合問題（一）1、已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點，M、N兩點在橢圓C上，且(0)，定點A(4，0)(1) 求證：當1時，；(2) 若當1時，有·，求橢圓C的方程(1) 證明：設M(x1，y1)，N(x2，y2)，F(xiàn)(c，0)，則(cx1，y1)，(x2c，y2)當1時， y1y2，x1x22c. M、N兩點在橢圓C上， xa2，xa2， xx.若x1x2，則x1x202c(舍去)， x1x2， (0，2y2)，(c4，0)， ·0， .(2) 解：當1時，由

2、(1)知x1x2c， M，N， ， ·(c4)2.(*) ， a2c2，b2，代入(*)式得c28c16， c2或c(舍去) a26，b22， 橢圓C的方程為1.2、如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(ab0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線xy20相切(1) 求橢圓C的方程；(2) 已知點P(0，1)，Q(0，2)設M、N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T，求證：點T在橢圓C上(1) 解：由題意知b.因為離心率e，所以.所以a2.所以橢圓C的方程為1.(2) 證明：由題意可設M，N的坐標分別為(x0，y0)，(x0，y0)，

3、則直線PM的方程為yx1，直線QN的方程為yx2.(證法1)聯(lián)立解得x，y，即T.由1可得x84y.因為1，所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上(證法2)設T(x，y)聯(lián)立解得x0，y0.因為1，所以1.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上3、在平面直角坐標系內(nèi)，動圓C過定點F(1,0)，且與定直線x1相切(1)求動圓圓心C的軌跡C2的方程；(2)中心在O的橢圓C1的一個焦點為F，直線l過點M(4,0)若坐標原點O關(guān)于直線l的對稱點P在曲線C2上，且直線l與橢圓C1有公共點，求橢圓C1的長軸長取得最小值時的橢圓方程解析：

4、(1)因為圓心C到定點F(1,0)的距離與到定直線x1的距離相等，所以由拋物線定義知，C的軌跡C2是以F(1,0)為焦點，直線x1為準線的拋物線，所以動圓圓心C的軌跡C2的方程為y24x.(2)設P(m，n)，直線l方程為yk(x4)，則OP中點為，O、P兩點關(guān)于直線yk(x4)對稱，即解得將其代入拋物線方程，得：24×，解得k21.設橢圓C1的方程為1，聯(lián)立消去y得：(a2b2)x28a2x16a2a2b20由(8a2)24(a2b2)(16a2a2b2)0，得a2b216，注意到b2a21，即2a217，可得a，即2a，因此，橢圓C1長軸長的最小值為，此時橢圓的方程為1.4、設A

5、、B分別為橢圓1(a>b>0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且直線x4是它的右準線(1) 求橢圓的方程；(2) 設P為橢圓右準線上不同于點(4，0)的任意一點，若直線BP與橢圓相交于兩點B、N，求證：NAP為銳角(1) 解：依題意，得解得從而b，故橢圓的方程為1 .(2) 證明：由(1)得A(2，0)，B(2，0)，設N(x0，y0)， N點在橢圓上， y(4x)又N點異于頂點A、B， 2<x0<2，y00.由P、B、N三點共線可得P，從而(x02，y0)，則·6x012 6x012(2x0)(x02) x02>0，y00， ·>

6、0，于是NAP為銳角5、已知曲線C：(5m)x2(m2)y28(mR)(1) 若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；(2) 設m4，曲線C與y軸的交點為A，B(點A位于點B的上方)，直線ykx4與曲線C交于不同的兩點M，N，直線y1與直線BM交于點G.，求證：A，G，N三點共線解：(1) 曲線C是焦點在x軸上的橢圓，當且僅當(3分)解得m5，所以m的取值范圍是.(4分)(2) 當m4時，曲線C的方程為x22y28，點A，B的坐標分別為(0，2)，(0，2)(5分)由得(12k2)x216kx240.(6分)因為直線與曲線C交于不同的兩點，所以(16k)24(12k2)×240

7、，即k2.(7分)設點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1kx14，y2kx24，x1x2，x1x2.(8分)直線BM的方程為y2x，點G的坐標為.(9分)因為直線AN和直線AG的斜率分別為kAN，kAG，(11分)所以kANkAGkk0.即kANkAG.(13分)故A，G，N三點共線(14分)錯因分析： 易忽視焦點在x軸上，漏掉這一條件，從而失誤聯(lián)立消元后易忽視0這一前提條件新縣高中高二年級數(shù)學學科導學案（20） 編、審：陶磊 使用：9、10班 學生姓名： 班級： 橢圓綜合問題（二）1、已知橢圓C：1(a>b>0)經(jīng)過點M(2，1)，離心率為.過點M作傾斜角互

8、補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q.(1) 求橢圓C的方程；(2) 試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結(jié)論解：(1) 由題設，得1，且，由、解得a26，b23，故橢圓C的方程為1.(2) 設直線MP的斜率為k，則直線MQ的斜率為k，假設PMQ為直角，則k·(k)1，即k±1.若k1，則直線MQ的方程為y1(x2)，與橢圓C方程聯(lián)立，得x24x40，該方程有兩個相等的實數(shù)根2，不合題意；同理，若k1也不合題意故PMQ不可能為直角記P(x1，y1)、Q(x2，y2)設直線MP的方程為y1k(x2)，與橢圓C的方程聯(lián)立，得(12k2)x2(8k24k)x8k

9、28k40，則2，x1是該方程的兩根，則2x1，即x1.設直線MQ的方程為y1k(x2)，同理得x2.因y11k(x12)，y21k(x22)，故kPQ1，因此直線PQ的斜率為定值2、如圖，已知橢圓1(ab0)的離心率為，且過點A(0，1)(1) 求橢圓的方程；(2) 過點A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點M、N，求證：直線MN恒過定點P.(1) 解：由題意知：e，b1，a2c21，解得a2，所以橢圓的標準方程為y21.(2) 證明：設直線AM的方程為ykx1(k0)，由方程組得(4k21)x28kx0，解得x1，x20，所以xM，yM.用代替上面的k，可得xN，yN.因為kMP，kNP，所

10、以kMPkNP，因為MP、NP共點于P，所以M、N、P三點共線，故直線MN恒過定點P.3、如圖，正方形ABCD內(nèi)接于橢圓1(ab0)，且它的四條邊與坐標軸平行，正方形MNPQ的頂點M、N在橢圓上，頂點P、Q在正方形的邊AB上，且A、M都在第一象限(1) 若正方形ABCD的邊長為4，且與y軸交于E、F兩點，正方形MNPQ的邊長為2. 求證：直線AM與ABE的外接圓相切； 求橢圓的標準方程；(2) 設橢圓的離心率為e，直線AM的斜率為k，求證：2e2k是定值(1) 證明： 依題意：A(2，2)，M(4，1)，E(0，2)， (2，1)，(2，4)， ·0， AMAE. AE為RtABE外

11、接圓直徑， 直線AM與ABE的外接圓相切 解：由解得橢圓標準方程為1.(2) 證明：設正方形ABCD的邊長為2s，正方形MNPQ的邊長為2t，則A(s，s)，M(s2t，t)，代入橢圓方程1，得即 e21. k， 2e2k2為定值4、如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且AB1B2是面積為4的直角三角形(1)求該橢圓的離心率和標準方程；(2)過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2QB2，求直線l的方程解(1) 如圖，設所求橢圓的標準方程為1(ab0)，右焦點為F2(c,0)因AB1B2是直角三角形，又|

12、AB1|AB2|，故B1AB2為直角，因此|OA|OB2|，得b.結(jié)合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以離心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2·|B1B2|·|OA|OB2|·|OA|·bb2.由題設條件SAB1B24得b24，從而a25b220.因此所求橢圓的標準方程為：1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設直線l的方程為xmy2.代入橢圓方程得(m25)y24my160.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，因此y1y2，y1&

13、#183;y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以·(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得·0，即16m2640，解得m±2.所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x2y20和x2y20.5、(2014·蘭州模擬)已知橢圓方程為x21，斜率為k(k0)的直線l過橢圓的上焦點且與橢圓相交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點M(0，m)(1)求m的取值范圍；(2)求MPQ面積的最大值解：(1)設直線l的方程為ykx1，由可得(k22)x22kx10.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2.可得y1y2k(x1x