工程力學第七章 彎曲內(nèi)力

1、7 7 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 7 7.1 .1 彎曲的概念彎曲的概念7 7.2 .2 剪力和彎矩剪力和彎矩7 7.3 .3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖 7 7.4 .4 剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系7 7.5 .5 用疊加法作彎矩圖用疊加法作彎矩圖7. 1 7. 1 彎曲的概念彎曲的概念梁：梁：以彎曲變形為主要變形的桿件。以彎曲變形為主要變形的桿件。 彎曲變形：彎曲變形： 變形特點：變形特點：原為直線的軸原為直線的軸線變?yōu)榍€。線變?yōu)榍€。 受力特點：受力特點：垂直于軸線的垂直于軸線的橫向力或軸線平面內(nèi)的力橫向力

2、或軸線平面內(nèi)的力偶。偶。 橋式起重橋式起重機的大梁機的大梁工程問題中，絕大部分受彎桿件的橫截面都有一根對稱軸，工程問題中，絕大部分受彎桿件的橫截面都有一根對稱軸，因而整個桿件有一個包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。因而整個桿件有一個包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。7. 1 7. 1 彎曲的概念彎曲的概念平面彎曲：平面彎曲：當所有外力當所有外力( (或者外力的合力或者外力的合力) )都都作用于作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，桿件的軸縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，桿件的軸線在對稱面內(nèi)彎曲成一條平線在對稱面內(nèi)彎曲成一條平面曲線。也稱為面曲線。也稱為對稱彎曲對稱彎曲。本章討論受彎桿件橫截本章討論受彎桿件橫截面上的內(nèi)力。面上的內(nèi)力。 7. 1 7.

3、 1 彎曲的概念彎曲的概念7.1.1 支座的簡化支座的簡化 固定鉸支座固定鉸支座 可動鉸支座可動鉸支座 固定端固定端 7. 1 7. 1 彎曲的概念彎曲的概念7.1.2 載荷的簡化載荷的簡化 集中力集中力( (N，kN) )：集中力偶集中力偶( (Nm， kNm) )：分布載荷分布載荷( (N/m，kN/m) )：F分布范圍遠小于軸線的長度。分布范圍遠小于軸線的長度。Meq在梁全長或部分長度上連續(xù)分在梁全長或部分長度上連續(xù)分布的橫向力。布的橫向力。Me通過微小梁段作用在梁的縱向通過微小梁段作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的力偶對稱平面內(nèi)的力偶 7. 1 7. 1 彎曲的概念彎曲的概念7.1.3 梁的計

4、算簡圖梁的計算簡圖 靜定梁靜定梁 用靜力學平衡方程即可求出全部支反力的梁。用靜力學平衡方程即可求出全部支反力的梁。 用靜力學平衡方程不能求出全部支反力的梁。用靜力學平衡方程不能求出全部支反力的梁。 超靜定梁超靜定梁( (靜不定梁靜不定梁) ) 7. 2 7. 2 剪力和彎矩剪力和彎矩xmm一梁在載荷作用下，由平衡方一梁在載荷作用下，由平衡方程，可求得支反力。這樣，就可以程，可求得支反力。這樣，就可以進一步研究各橫截面上的內(nèi)力。進一步研究各橫截面上的內(nèi)力。截面法，取左段為研究對象截面法，取左段為研究對象 0yF1RSFFFA0OM)(1RaxFxFMAFs剪力剪力， M彎矩彎矩。 也可取右段為研

5、究對象。也可取右段為研究對象。0S1RFFFA0)(R1xFaxFMA7. 2 7. 2 剪力和彎矩剪力和彎矩為了使無論取左段為研究對象，還是取右段為研究對象，求為了使無論取左段為研究對象，還是取右段為研究對象，求得同一截面上的剪力和彎矩，不但數(shù)值相同而且符號也一樣，把得同一截面上的剪力和彎矩，不但數(shù)值相同而且符號也一樣，把剪力和彎矩的符號規(guī)定與梁的變形聯(lián)系起來，規(guī)定如下：剪力和彎矩的符號規(guī)定與梁的變形聯(lián)系起來，規(guī)定如下：7. 2 7. 2 剪力和彎矩剪力和彎矩例：例：求求C截面上的剪力和彎矩。截面上的剪力和彎矩。FRBFRA解：解：支反力支反力 0BM01234RqFFA 0yF02RRBA

6、FqFFkN9RBFkN11RAF取取C截面左段為研究對象截面左段為研究對象 0yF 0CM0SRFFFA012RMFFAkN1RSFFFAkN1012RFFMA7. 2 7. 2 剪力和彎矩剪力和彎矩kN9RBFkN11RAF取取C截面右段為研究對象截面右段為研究對象 0yF 0CM02RSBFqF0212RMqFBkN18422RSBFqFkN104292212RqFMB7. 2 7. 2 剪力和彎矩剪力和彎矩直接計算梁的任一橫截面上的剪力和彎矩。直接計算梁的任一橫截面上的剪力和彎矩。 ( (1) ) 某橫截面上的剪力，在數(shù)值上等于該橫截面左側(cè)或者右側(cè)某橫截面上的剪力，在數(shù)值上等于該橫截面

7、左側(cè)或者右側(cè)梁上外力的代數(shù)和。該橫截面左側(cè)梁上的外力向上取正值，向下梁上外力的代數(shù)和。該橫截面左側(cè)梁上的外力向上取正值，向下取負值；該橫截面右側(cè)梁上的外力向上取負值，向下取正值。取負值；該橫截面右側(cè)梁上的外力向上取負值，向下取正值。 ( (2) ) 某橫截面上的彎矩，在數(shù)值上等于該橫截面左側(cè)或者右側(cè)某橫截面上的彎矩，在數(shù)值上等于該橫截面左側(cè)或者右側(cè)梁上外力對該橫截面形心取矩的代數(shù)和。該橫截面左側(cè)梁上的外梁上外力對該橫截面形心取矩的代數(shù)和。該橫截面左側(cè)梁上的外力對截面形心取矩順時針為正值，逆時針為負值；該橫截面右側(cè)力對截面形心取矩順時針為正值，逆時針為負值；該橫截面右側(cè)梁上的外力對截面形心取矩逆

8、時針為正值，順時針為負值。梁上的外力對截面形心取矩逆時針為正值，順時針為負值。 口訣：口訣：左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正。 7. 2 7. 2 剪力和彎矩剪力和彎矩例：例：計算計算1-1,2-21-1,2-2截面的剪力和彎矩。截面的剪力和彎矩。kN10kN50RRBAFF:11 kN)5 . 01020(R1SAFFmkN)25. 05 . 0105 . 05 . 120(R1AFM:22kN)5 . 1105020(2SFmkN)2075. 05 . 1105 . 1505 . 220(2M解：解：計算支反力計算支反力 kN25mkN25. 6

9、mkN25. 6kN15FRBFRA7. 3 7. 3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩是隨橫截面位置不在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩是隨橫截面位置不同而變化的。如果橫截面在梁軸線上的位置用橫坐標同而變化的。如果橫截面在梁軸線上的位置用橫坐標 x 表示，則表示，則各橫截面上的剪力和彎矩可表示為橫坐標各橫截面上的剪力和彎矩可表示為橫坐標 x 的函數(shù)，即的函數(shù)，即)(SSxFF )(xMM 即為即為剪力方程剪力方程和和彎矩方程彎矩方程。 以平行于梁軸的橫坐標以平行于梁軸的橫坐標 x 表示橫截面的位置，以縱坐標表示表示橫截

10、面的位置，以縱坐標表示相應截面上的剪力或彎矩。這種圖線分別稱為相應截面上的剪力或彎矩。這種圖線分別稱為剪力圖剪力圖和和彎矩圖彎矩圖。與繪制軸力圖或扭矩圖一樣，也可用圖線表示梁的各橫截面與繪制軸力圖或扭矩圖一樣，也可用圖線表示梁的各橫截面上剪力和彎矩沿軸線變化的情況。上剪力和彎矩沿軸線變化的情況。7. 3 7. 3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖例：例：列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。 解：解：1.1.計算計算支反力支反力 00RlFFbMAB00RFalFMBAlFaFlFbFBA/RR2.2.剪力方程和

11、彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0()(SaxlFbxF)0()(axxlFbxMAC段：段： xFRAFRBx)()(SlxalFaxF)()()(lxaxllFaxMCB段：段： 7. 3 7. 3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0()(SaxlFbxF)0()(axxlFbxM)()(SlxalFaxF)()()(lxaxllFaxM3.3.作作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖( (設設 a b ) ) lFabMlFbFmaxmaxS7. 3 7. 3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、

12、彎矩圖例：例：列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。 解：解：1.1.計算計算支反力支反力 2RRqlFFBA2.2.剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0(2)(SlxqxqlxF)0(22)(2lxxqxqlxM3.3.作作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 822maxmaxSqlMqlFxFRAFRB82ql7. 3 7. 3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖例：例：列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。 解：解：1.1.計算計算支反力支反力 lMFFBA/eR

13、R2.2.剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0()(eSlxlMxF)0()(eaxxlMxMAC段：段： )()()(elxaxllMxMCB段：段： 3.3.作作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖( (設設 a b ) ) lbMMlMFemaxemaxSxFRAFRBx7. 3 7. 3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖例：例：列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。 解：解：1.1.計算計算支反力支反力 qlFAR2.2.剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 )0()()(SlxxlqxF)0(2)()(2

14、lxxlqxM3.3.作作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 22maxmaxSqlMqlF22qlMAxMAFRA7. 3 7. 3 剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖剪力方程、彎矩方程和剪力圖、彎矩圖在以上幾個例題中，凡是集中力在以上幾個例題中，凡是集中力( (包括支包括支反力及集中荷載反力及集中荷載) )作用的截面上，剪力似乎沒作用的截面上，剪力似乎沒有確定的數(shù)值。有確定的數(shù)值。事實上事實上, 集中力不可能集中力不可能“集中集中”作用于一作用于一點點, 它是分布于一個微段它是分布于一個微段 內(nèi)的分布力經(jīng)簡內(nèi)的分布力經(jīng)簡化后得出的結(jié)果?；蟮贸龅慕Y(jié)果。 x若在若在 范圍內(nèi)，把載荷看作是均勻分布范

15、圍內(nèi)，把載荷看作是均勻分布的，則剪力將連續(xù)地從的，則剪力將連續(xù)地從 FS1 變到變到 FS2 。x對集中力偶作用的截面，也可作同樣的解對集中力偶作用的截面，也可作同樣的解釋。釋。7. 4 7. 4 剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系 0yF 0CM 0ddSSSxFxFxxqxF xqxxFddS xxFxMxMxMddS xFxxMSdd xxFxxMddddS22 2ddxxxq0dxxyx xq7. 4 7. 4 剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度間外力間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度

16、間外力間的微分關(guān)系7. 4 7. 4 剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關(guān)系解：解： 1.1.計算支反力計算支反力 2.2.畫剪力圖畫剪力圖 kN5kN10RRBAFFkN7maxSF3.3.畫彎矩圖畫彎矩圖 mkN4 . 2maxM例：例：作剪力圖和彎矩圖。作剪力圖和彎矩圖。 EFRAFRB7. 5 7. 5 用疊加法作彎矩圖用疊加法作彎矩圖一梁在載荷作用下，當變形很小時，其跨長的改變可略去不一梁在載荷作用下，當變形很小時，其跨長的改變可略去不計，因而在求梁的支反力、剪力和彎矩時，均可按其原始尺寸進計，因而在求梁的支反力、剪力和彎矩時，均可按其原始尺寸進行計

17、算，所得結(jié)果均與梁上載荷成線性關(guān)系。行計算，所得結(jié)果均與梁上載荷成線性關(guān)系。在這種情況下，當梁上受幾項載荷在這種情況下，當梁上受幾項載荷 ( (如集中力、集中力偶或如集中力、集中力偶或分布力分布力) ) 共同作用時，某一橫截面上的彎矩就等于梁在各項載荷共同作用時，某一橫截面上的彎矩就等于梁在各項載荷單獨作用下同一橫截面上彎矩的代數(shù)和。單獨作用下同一橫截面上彎矩的代數(shù)和。7. 5 7. 5 用疊加法作彎矩圖用疊加法作彎矩圖qxFxF)(S221)(qxFxxMFxF)(S1FxxM)(1qxxF)(S22221)(qxxM可見，可見，F(xiàn)單獨作用時引起的內(nèi)力與單獨作用時引起的內(nèi)力與 q 單獨作用時引起的內(nèi)力相加，單獨作用時引起的內(nèi)力相加，就是就是 F 和和 q 共同作用時的內(nèi)力。共同作用時的內(nèi)力。這是一個普遍存在的原理，稱為這是一個普遍存在的原理，稱為疊加原理疊加原理。 7. 5 7. 5 用疊加法作彎矩圖用疊加法作彎矩圖由于彎矩可以疊加，所以表示彎矩沿梁軸線變化情況的彎矩由于彎矩可以疊加，所以表示彎矩沿梁軸線變化情況的彎