電磁場理論課件：第三章 恒定電流及其電場

1、2021-11-16Copy right By Dr. Fang1第四章第四章 恒定電流及其電場恒定電流及其電場2021-11-16Copy right By Dr. Fang24-1 4-1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件一、基本概念一、基本概念靜電場：靜電場：靜止電荷產(chǎn)生的場，電荷位置靜止且不隨時間變化。電流：電流：由電荷做定向運動形成。如何理解運動電荷分布不隨時間變化？恒定電流：恒定電流：電流不隨時間變化即運動電荷分布不隨時間變化。所有電荷做勻速運動，導(dǎo)體內(nèi)電荷分布在任何時刻都一樣。 恒定電場：恒定電場：在有恒定電流（運動電荷）的空間中所存在的電場。 第四章第四

2、章 恒定電流及其電場恒定電流及其電場2021-11-16Copy right By Dr. Fang34-1 4-1 恒定電場的基本方程和邊界條件（續(xù)）恒定電場的基本方程和邊界條件（續(xù)）一、基本概念（續(xù)）一、基本概念（續(xù)）導(dǎo)體放入靜電場中會發(fā)生什么？導(dǎo)體放入靜電場中會發(fā)生什么？ 1. 導(dǎo)體中出現(xiàn)分布電荷； 2. 導(dǎo)體中產(chǎn)生與外電場方向相反的電場；3. 導(dǎo)體中電荷分布不斷改變； 4. 導(dǎo)體內(nèi)電荷抵消，電場為零。 5. 電荷只位于導(dǎo)體表面，整個導(dǎo)體成為等位體。 2021-11-16Copy right By Dr. Fang4一、基本概念（續(xù)）一、基本概念（續(xù)）1.與靜電場相同之處：與靜電場相同之

3、處：電荷分布不隨時間變化，處于動態(tài)平衡。2.與靜電場不同之處：與靜電場不同之處：導(dǎo)體內(nèi)電場不為零，導(dǎo)體不再是等位體。恒流電場情況如何呢？恒流電場情況如何呢？怎樣使導(dǎo)電媒質(zhì)中的電場不為零？怎樣使導(dǎo)電媒質(zhì)中的電場不為零？ 2021-11-16Copy right By Dr. Fang5一、基本概念（續(xù)）一、基本概念（續(xù)）導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場要靠外部電源維持，即須連接電源。電源電源是將機械、化學(xué)、熱等能量轉(zhuǎn)換為電能的裝置。它將電源內(nèi)的正負電荷分開，使電源正負極電壓恒定，維持了導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場。E非庫侖場；E庫侖場；TEEEE負載EEAB0E0d LlE， LLTlElEdd 電源的端電壓 AB

4、lEdABV2021-11-16Copy right By Dr. Fang6VVttqSJdddddd 4-1 恒定電場的基本方程和邊界條件（續(xù)）恒定電場的基本方程和邊界條件（續(xù)） 二、基本方程和邊界條件二、基本方程和邊界條件1.1.基本方程基本方程考慮不隨時間變化，可以推出恒定電場的基本方程。tJVVSDdd0dSBStBlELddddStDSJlHLddddd0BDtDJHtBE00JE微分形式：微分形式： 積分形式：積分形式： 0dSJ0d LlE2021-11-16Copy right By Dr. Fang7 二、基本方程和邊界條件（續(xù)）二、基本方程和邊界條件（續(xù)）2. 2. 邊界

5、條件邊界條件1212 ()0 ()0nJJnEE矢量形式：矢量形式：1212nnttJJEE標(biāo)量形式：標(biāo)量形式：物理解釋：物理解釋：電流密度的法向分量在邊界上連續(xù)，恒定電場的切電流密度的法向分量在邊界上連續(xù)，恒定電場的切向分量在邊界上連續(xù)。向分量在邊界上連續(xù)。采用推導(dǎo)靜電場邊界條件的方法，可得恒定電場的邊界條件：4-1 4-1 恒定電場的基本方程和邊界條件（續(xù)）恒定電場的基本方程和邊界條件（續(xù)）2021-11-16Copy right By Dr. Fang8例例 如圖所示，電流以入射角2 從電導(dǎo)率2的媒質(zhì)2流向電導(dǎo)率 1的媒質(zhì)1 ，試證電流的折射定律： 1122tantan1JtJ12JtJ

6、2nJ1nJ21 2 n 111,222,t 二、基本方程和邊界條件（續(xù)）二、基本方程和邊界條件（續(xù)）2. 2. 邊界條件邊界條件（續(xù)）（續(xù)）4-1 4-1 恒定電場的基本方程和邊界條件（續(xù)）恒定電場的基本方程和邊界條件（續(xù)） 解：解：1212nnttJJEE根據(jù)根據(jù)邊界條件：邊界條件：EJ還要根據(jù)還要根據(jù)：2021-11-16Copy right By Dr. Fang9ntntJJJJ221121/tantan 解：解：若 ，只要 ，則 總是很小。 12221說明說明電流線與電流線與 很大的媒質(zhì)表面垂直很大的媒質(zhì)表面垂直。 2121ttJJEJ2211 ttJJnnttJJJJ12211J

7、tJ12JtJ2nJ1nJ21 2 n 111,222,t21， 21nnJJ， 21ttEE 2021-11-16Copy right By Dr. Fang10說明磁力線與說明磁力線與 很大的媒很大的媒質(zhì)表面垂直。質(zhì)表面垂直。( 2 1)說明電力線與說明電力線與 很大的媒很大的媒質(zhì)表面垂直。質(zhì)表面垂直。( 2 1)1122tantan2HtH1tH2nH11 2 n 111,222,t1HnH2也可以證明： 1122tantan同理可以證明：1EtE12EtE2nE1nE21 2 n 111,222,t2021-11-16Copy right By Dr. Fang114-24-2 恒定電

8、場和靜電場的相似性恒定電場和靜電場的相似性（續(xù)）（續(xù)）、恒定電場的位函數(shù)及其方程、恒定電場的位函數(shù)及其方程20可得：可得： 恒定電流場電場強度旋度恒定電流場電場強度旋度 為零，因此與靜電場一為零，因此與靜電場一樣，可用標(biāo)量位函數(shù)樣，可用標(biāo)量位函數(shù) 的梯度表示。的梯度表示。E0EEJJE J 由由 0 J恒定電場位函數(shù)恒定電場位函數(shù)滿足拉普拉斯方程滿足拉普拉斯方程推導(dǎo)恒定電場位函數(shù)推導(dǎo)恒定電場位函數(shù)滿足的方程：滿足的方程：2021-11-16Copy right By Dr. Fang12二、恒定電場位函數(shù)的邊界條件二、恒定電場位函數(shù)的邊界條件根據(jù)根據(jù)邊界條件：邊界條件： 有：有：12nnJJE

9、J另外有：另外有：nn2211可得：可得： nn2211可以推出可以推出:21根據(jù)基本方程：根據(jù)基本方程： 0d LlE4-24-2 恒定電場和靜電場的相似性（續(xù)）恒定電場和靜電場的相似性（續(xù)）2021-11-16Copy right By Dr. Fang13討論討論:222111nnSJJ22111nJ21211nEnnSDD21仍然成立二、恒定電場位函數(shù)的邊界條件二、恒定電場位函數(shù)的邊界條件（續(xù)）（續(xù)）4-24-2 恒定電場和靜電場的相似性（續(xù)）恒定電場和靜電場的相似性（續(xù)）一般情況下，恒定電場中兩種不同媒質(zhì)分界面上存在表面電荷。2021-11-16Copy right By Dr. F

10、ang14三、兩種場的相似性三、兩種場的相似性恒定電場基本方程與靜電場基本方程具有相同的數(shù)學(xué)形式。恒定電場基本方程與靜電場基本方程具有相同的數(shù)學(xué)形式。4-24-2 恒定電場和靜電場的相似性（續(xù)）恒定電場和靜電場的相似性（續(xù)）00JE微分形式： 積分形式： 0dSJ0d LlEDE0微分形式： 積分形式： VVSDdd0d LlE恒定電場恒定電場靜電場靜電場因此兩種場的物理量之間具有相似性。因此兩種場的物理量之間具有相似性。2021-11-16Copy right By Dr. Fang15靜電場與恒定電場比較靜電場與恒定電場比較可以看出恒定電場與靜電場對應(yīng)關(guān)系：可以看出恒定電場與靜電場對應(yīng)關(guān)系

11、： ， E E， ， JD，q I, C G靜電場（=0的區(qū)域）恒定電場（電源之外）基本方程邊界條件積分量20 ()00EEJ 20 ()00EED 1212 , nnttJJEE121212 nn，1212 , nnttDDEE121212 nn，LIJ dSUE dlGI ULqD dSUE dlCq U2021-11-16Copy right By Dr. Fang16靜電比擬法：靜電比擬法：只要把 與 ， 與，I與q，G與C互相置換就可以把一種場變成另一種場，從一種場的解得到另一種場的解。 JD兩個導(dǎo)體之間電容和電導(dǎo)分別為： 只要知道一種導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的電容C，就可以求出其電導(dǎo)G。 GC顯然

12、有：UqC LSlESdd101dd1lESEIGULSlESJdd101dd1lESE2021-11-16Copy right By Dr. Fang17abU0例例 半徑為 a和 b的兩個同心球殼視為理想導(dǎo)體。內(nèi)外球殼間媒質(zhì)電導(dǎo)率為 ，兩殼之間直流電壓為U0 ，外殼接地。求：媒質(zhì)中電流密度矢量、電位函數(shù)和兩球殼之間電導(dǎo)G。 J解：解：用直接 法和比擬法兩種方法來做。1 1直接法直接法：SJIdrrrrJeJeJeJeJdddhhSrSeSeSeSrrddddrrrrSeJed 2002ddsinrJrddsin2rOJrr設(shè)以兩球殼公共球心O為球心、半徑為r的球面上通過的電流為I2021-

13、11-16Copy right By Dr. Fang18 2002ddsinrJIr 2002ddsinrJr24 rIEr24 rJr24 rIJrrEabJrrU0O 兩球殼之間電壓U0等于電場強度矢量的Er分量沿r方向的積分值。 barrEUd0bardrI24barI14baI114球殼之間的電流為： 04 U abIba由電流可求得電流密度矢量為：02rU abJeba r2021-11-16Copy right By Dr. Fang19兩球殼間的電位函數(shù)為 00211dbbrrU abU abdrrErbarbarb兩球殼之間的電導(dǎo)為ababRababUIG140電場強度矢量為

14、：半徑為a的孤立球的電導(dǎo)Ga = 4a 04 U abIba02rU abJeba r，rrJE 又知20)(rababUeEeErrr(認為另一球殼在無限遠處)：2021-11-16Copy right By Dr. Fang20靜電場問題：靜電場問題：球殼為理想導(dǎo)體，球殼間介質(zhì)的介電常數(shù)為 ，外加電壓U0。求球殼間的電位移矢量 、電位分布函數(shù)和電容C。D2比擬法：比擬法：將問題按靜電場求解，把結(jié)果換成對應(yīng)的物理量。做半徑為r的球面S為高斯面。內(nèi)球殼所帶電量為q，則有： abDrU0Or-q+qSDqdrrrrSeDed 2002ddsinrDr24 rDr24 rqEr， 42rqDrrr

15、ED？q2021-11-16Copy right By Dr. Fang21barrEUd 0barrq2d4baq11420)( rababUeErababUq0420)(rababUeEDr20)( rababUE兩球殼之間的電容為ababUqCab40brababUrrababUrErbrbrr11)(d)(d)(02024rqErabDrU0Or-q+q半徑為a的孤立球(另一球殼無限遠)電容為 Ca = 4a2021-11-16Copy right By Dr. Fang22歸納一下比擬法：02()rU abJeba r011( )U abrbarb4ababGba4aGa， ，E E

16、，JD，q I, C G Ca = 4a02()rU abDeba r011( )()U abrbarb4ababCba，2021-11-16Copy right By Dr. Fang234-3 4-3 電電 阻阻 一、導(dǎo)電媒質(zhì)的電阻一、導(dǎo)電媒質(zhì)的電阻)( SlRl為材料長度，S為材料面積，為材料電導(dǎo)率。形狀不規(guī)則材料的電阻如何求？ 答：采用電磁場方法求解。到目前為止我們知道的求電場的方法：離散電荷和連續(xù)分布電荷積分；高斯定理求電場；由微分方程和邊界條件求電位，然后求電場。 電阻是電導(dǎo)的倒數(shù)，由 可知，需要求出電流。電流可以由電流密度得到，而電流密度與電場有關(guān)。GI U下面采用微分方程即拉普

17、拉斯方程來求電位。2021-11-16Copy right By Dr. Fang24正交曲線坐標(biāo)系的拉普拉斯算符為： 4-3 4-3 電電 阻阻 一、導(dǎo)電媒質(zhì)的電阻（續(xù)）一、導(dǎo)電媒質(zhì)的電阻（續(xù)）33123223121132132121uhhhuuhhhuuhhhuhhhsin , , 1 , , ,321321rhrhhuuru球坐標(biāo)系下電位函數(shù)拉普拉斯方程： 0sin1sinsin1122222222rrrrrr對于球坐標(biāo)系：2021-11-16Copy right By Dr. Fang25例例 利用拉普拉斯方程求解兩個球殼之間的電阻。 解：解：abU0分析：分析：電位僅與該點到球心的距

18、離有關(guān)，故：0sin1sinsin1122222222rrrrrr0 01 0222brarUrrrr在兩球殼上在兩球殼之間歸納問題為01222rrrr2021-11-16Copy right By Dr. Fang26解：解：abU00 01 0222brarUrrrr在兩球殼上在兩球殼之間12Crr21 rCr21 CrC代入邊界條件： 102CUCa120CCb，ababUC01abaUbCC012，將C1和C2代回的表達式，得： 21CrCabaUabrabU002021-11-16Copy right By Dr. Fang27reErsin11rererer球坐標(biāo)系梯度：00abU

19、aUr babaabaUabrabUrer00)(20abrabUer333222111uhuuhuuhu正交曲線坐標(biāo)系的梯度： sin , , 1 , , ,321321rhrhhuuru對于球坐標(biāo)系：2021-11-16Copy right By Dr. Fang28rrrJerabUabeEJ)(20)(20abrabUeErababIURab40SJIdrrrrSeJed 200220ddsin)(rrabUababUab042021-11-16Copy right By Dr. Fang29例例 同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑為a和b。內(nèi)外導(dǎo)體之間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為。求同軸線單位長度上內(nèi)外導(dǎo)體之間的

20、電阻R。 解：解：采用靜電比擬法 在第三章已經(jīng)求出同軸線單位長度上內(nèi)外導(dǎo)體之間的電容為:Uab1abUqC abln2abUIG abln2 ，E E, ， JD, q I, C G 2lnabIURab 2021-11-16Copy right By Dr. Fang30二、接地電阻二、接地電阻電氣設(shè)備為什么要接地？深埋球狀接地體電導(dǎo)為：11 4RGa1.1.球狀接地體電阻球狀接地體電阻 G = 4 a討論：討論：為減小接地電阻，安全增大接地體并提高附近土壤導(dǎo)電率增大接地體并提高附近土壤導(dǎo)電率 。人身安全設(shè)備安全2021-11-16Copy right By Dr. Fang31二、接地電阻（續(xù)）二、接地電阻（續(xù)）2.2.緊挨地面半球形接地體電阻緊挨地面半球形接地體電阻 G = 2aaGR211深埋球狀接地體電導(dǎo)為： G = 4 a2021-11-16Copy right By Dr. Fang32例例 流入接地半球的電流為I，求接地體周圍半徑分別為r1和r2的兩個圓周之間的電壓U。 解：解：rrErIJ22沿半徑方向從r1向r2進行積分，可求得兩圓周之間的電壓： r1r2I半球形接地器半球形接地器跨步電壓：跨步電壓：人跨一步（約0.5m0.8m）兩腳間的電壓。地下電流沿半球均勻擴散電流