拋物線復(fù)習(xí)(幾個(gè)常見結(jié)論及其應(yīng)用)(新)

1、所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時(shí)，你對夢想的偏執(zhí)。拋物線的幾個(gè)常見結(jié)論及其應(yīng)用拋物線中有一些常見、常用的結(jié)論，了解這些結(jié)論后在做選擇題、填空題時(shí)可迅速解答相關(guān)問題，在做解 答題時(shí)也可迅速打開思路。2結(jié)論一：若AB是拋物線y2 2p"p 0）的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦），且Afx,%），B（x2,y2），則：x,x> ，y$2證明：因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為 F（ ,0）,當(dāng)AB不垂直于X軸時(shí),2可設(shè)直線 AB的方程為:由 y k(xy22 px2)得：ky22 py kp20/. y1 y22p ，X1X22_y_2p2 y22pk(x )，22p。4當(dāng)AB丄x軸時(shí)，直線A

2、B方程為x ，則 y<|2y2p，二 y2p2，同上也有：x1x22p。4例：已知直線AB是過拋物線y22px(p 0)焦點(diǎn) F，求證:1AF1為定值。BF證明：設(shè)A（xi,yj，B（X2,y2），由拋物線的定義知:所以X1 + x2= AB -p，且由結(jié)論一知:XX22p。4AFXiBFX22，又 af + bf=AB，則：11 |AF BFAB|AF |BF AF BF (X1 P)(X2 2) 2 2I AB2pp為禺(X X2)24AB2 (常數(shù))p結(jié)論二：（1）若AB是拋物線y2 2pX：p 0）的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾斜角為a，則AB2 sin放棄很簡單，但你堅(jiān)持到底的樣子一

3、定很酷!1（2）焦點(diǎn)弦中通徑（過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對稱軸的弦）最短。AB： y k(X證明：（1 ）設(shè) A（Xi,yi），B（X2,y2），設(shè)直線由 y k(x2y 2 px得:,ky2 2py kp20二 yiy22pk，y21 (y1 y2)2 4yy22p 1 k22p(1 k2)k22p(1 tarf )tan22P.2。sin易驗(yàn)證，結(jié)論對斜率不存在時(shí)也成立。' 290， sin（2）由（1）: AB為通徑時(shí),的值最大,AB最小。例：已知過拋物線y2 9x的焦點(diǎn)的弦AB長為12，則直線AB傾斜角為解：由結(jié)論二,912=一（其中a為直線AB的傾斜角）， sin則sin32所以直

4、線AB傾斜角為-或23。所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時(shí)，你對夢想的偏執(zhí)。結(jié)論三：兩個(gè)相切：(1)以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。(2)過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。已知AB是拋物線 y 2px(p 0)的過焦點(diǎn)F的弦，求證：(1)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。放棄很簡單，但你堅(jiān)持到底的樣子一定很酷!3(2)分別過A、B做準(zhǔn)線的垂線，垂足為 證明： 設(shè)AB的中點(diǎn)為Q,過A、Q、 垂足分別為 M、P、N，連結(jié)AP、BP。由拋物線定義：AM AF， BNM、N，求證：以B向準(zhǔn)線I作垂線，BF ,1二 QP -( AM BN

5、)2以AB為直徑為圓與準(zhǔn)線2(afBF )-!|AB ,2I相切(2)作圖如(1),取MN中點(diǎn)P,連結(jié)PF、MF、NF,x/ AM AF , AM / OF,：/ AMF= / AFM，/ AMF= / MFO ,/ AFM= / MFO。同理，/ BFN= / NFO ,1/ MFN= (/ AFM+ / MFO+ / BFN+ / NFO) =90°,21- MPNP FP -MN ,2/ PFM= / FMP/ AFP= / AFM+ / PFM= / FMA+ / FMP= / PMA=9 0°,： FP丄AB 以MN為直徑為圓與焦點(diǎn)弦 AB相切。結(jié)論四：若拋物線方

6、程為 y2 2pXp 0),過(2p , 0)的直線與之交于 A、B兩點(diǎn)，貝U OA!OB反之也成立。、y k(x 2p)證明：設(shè)直線AB方程為：y k(x 2p)，由 2得， >0, x-i x2 k , x1x2by 2pxT T22tAC丄 BO, AO 丄 BO x1x2y-i y2x1x2(kx1b)(kx2b) (1 k)x1x2kb(x1x2)b 0將 x1x2k ,x1x2b代入得，b 10A直線AB恒過定點(diǎn)(0, 1)。S AOB2 x12"x1X2)24x1x2k241當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，S AOB取最小值1 o結(jié)論五：對于拋物 線x2 2py(p 0)，其參

7、數(shù)方 程為2 pt,2 pt2,設(shè)拋物線x22py上動點(diǎn)P坐標(biāo)為2(2 pt,2 pt ) , O為拋物線的頂點(diǎn),顯然koP2 pt22 ptt，即t的幾何意義為過拋物線頂點(diǎn)O的動弦OP的斜率.OB和OA垂直，且線段例 直線y 2x與拋物線y2 2px(p 0)相交于原點(diǎn)和 A點(diǎn)，B為拋物線上一點(diǎn),AB長為5 ,13，求P的值.所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時(shí)，你對夢想的偏執(zhí)。1koA2，tB1kOBA B的坐標(biāo)分別為p，p ,(8p,4p) . ABp2(p 4p)25_13p 5、13 . p 2 .22 2解析：設(shè)點(diǎn) A B 分別為(2ptA ,2ptA),(2pt

8、B ,2ptB)，則 tA放棄很簡單，但你堅(jiān)持到底的樣子一定很酷!61.過拋物線y ax2 (a練習(xí):0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于 P, Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是p, q，【解析:化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得通徑，即PQ 2p從而p1y(a 0)，從而 2 p a1 冊1 q ，故一2a p22設(shè)拋物線y2px(p0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F且BC II x軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)【證明：拋物線焦點(diǎn)為 F設(shè)直線A(X1, y", B(X2,y2)，則 ym又由y22 pn，得 kAO1-取特殊情況，過焦點(diǎn) F的弦PQ垂直于對稱軸，則PQ為a4a】的直線交拋物線于 A, B兩點(diǎn)點(diǎn)C在拋物線

9、的準(zhǔn)線上,AB的方程為x my 衛(wèi)，代入拋物線方程，得 y2 2pmy p2 0 若設(shè)2/ BC II x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線kcO 2py1故kCokAO，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O .1【解：設(shè)P(x, y)是拋物線上的任意一點(diǎn)，由拋物線的定義得.(x 1)2 (y 1)設(shè)對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為M,可求得M ( 1,1),于是線段MF的中點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn),坐標(biāo)是(0,0)】3已知拋物線的焦點(diǎn)是 F(1,1)，準(zhǔn)線方程是x y 20，求拋物線的方程以及頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程.x y 2整理，得x2 y2 2xy 8x 8y 0，此即為所求拋物線的方程.拋物線的對稱軸應(yīng)是過焦點(diǎn)F(1,1)且與準(zhǔn)線x y 20垂直的直線，因此有對稱軸方程備選1拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 A(10)，準(zhǔn)線I的方程是x 2y 20，試求該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和方程.解：依題意，拋物線的對稱軸方程為2x y 2 0 .設(shè)對稱軸和準(zhǔn)線的交點(diǎn)是 M，可以求得M 6,-.設(shè)焦點(diǎn)為F ,則FM的中點(diǎn)是A，故得焦點(diǎn)坐55標(biāo)為f 4,2 . 再設(shè)P(x y)是拋物線上的任一點(diǎn)，5 5根據(jù)拋物線的定義得x 2y 2化簡整理得4x22y 4