高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)基本不等式與不等式的證明

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載基本不等式與不等式的證明知識網(wǎng)絡(luò)考試大綱要求：1. 了解基本不等式的證明過程，會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}；2理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：； ；3了解下列柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會證明.4了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題.會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：為大于1 的正整數(shù)）；了解當n 為實數(shù)時貝努利不等式也成立 .5了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等 .重點：會用基本不等式、柯西不等式等解決簡單的最大（小）值問題；了解證明不等

2、式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等.難點：利用基本不等式、柯西不等式求最大值、最小值，特別注意等號成立條件；不等式的證明。知識點一：絕對值不等式的性質(zhì)1；2；學(xué)習(xí)必備歡迎下載知識點二：基本不等式1、如果那么當且僅當時取“ =”號） .2、如果那么（ 當且僅當時取“ =”號） .3、如果，那么（當且僅當時取“ =”號）4、如果，那么（當且僅當時取“ =”號）5、若 a1 ,a2,., an R+，則 :(n N)當且僅當 a1=a2=.=an 時，取等號。知識點三：柯西不等式1. 二維形式的柯西不等式：（ 1）向量形式：設(shè)是兩個向量，則，當且僅當是零向量或存在實數(shù)

3、k，使時，等號成立。（ 2）代數(shù)形式：若 a、b、c、d 都是實數(shù)， 則，當且僅當ac=bd時，等號成立；若 a、b、c、d 都是正實數(shù)，則，當且僅當ac=bd時，等號成立；若 a、 b、c、 d 都是實數(shù)，則，當且僅當ac=bd時，等號成立；注意： 柯西不等式的代數(shù)形式可以看作是向量形式的坐標化表示；（ 3）三角形式：設(shè)，則。2. 一般形式的柯西不等式（代數(shù)形式）：若都是實數(shù)，則，學(xué)習(xí)必備歡迎下載當且僅當或存在實數(shù)k，使得時，等號成立。知識點四：不等式的證明1不等式證明的理論依據(jù)：不等式的概念和性質(zhì)，實數(shù)的性質(zhì)，以及一些基本的不等式：（ 1）若 a R,則 |a| 0,a2 0.（2）若 a

4、,b R,則 a2+b22ab.（ 3）若 a,b R+ ,則（4）若 a,b 同號，則+ 2.（ 5）若 a,b,c R+,則（ 6）若 a,b R,則 |a|-|b| |a+b| |a|+|b|2證明不等式的基本方法：比較法 (作差、作商 ) ，綜合法，分析法，數(shù)學(xué)歸納法及反證法；另外還有如換元法、放縮法等。規(guī)律方法指導(dǎo)（ 1）基本不等式的功能在于“和積互化” 。若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的各項的“和”為定值則“積”有最大值。（ 2）在用基本不等式求函數(shù)的最值時，應(yīng)

5、具備三個條件：一正二定三取等。 一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)； 二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值； 三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值。（ 3）在不等式證明過程中 ,應(yīng)注重與不等式的運算性質(zhì)聯(lián)合使用 ,用放縮法證明時放大或縮小應(yīng)適度。（ 4）柯西不等式是一個非常重要的不等式，其結(jié)構(gòu)和諧，應(yīng)用靈活廣泛，靈活巧妙的運用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，并且柯西不等式本身的證明方法也值得在不等式證明中借鑒。利用柯西不等式求最值的關(guān)鍵在于將式子進行恰當?shù)摹皽悺弊冃?。?jīng)典習(xí)題 :1 已知奇函數(shù)f(x) 在區(qū)間（ -， +）上是單調(diào)減函數(shù)， ， ， R

6、，且 + >0 ， + >0, +>0, 試判斷 f( )+f( )+f( )與 0 的關(guān)系并證明。解: + >0 奇函數(shù) >-所以 f( )<f(- )=-f( )f( )+f( )<0同理可得 f( )+f( )<0f( )+f( )<0三式相加再除以2f( )+f( )+f( )<02.若不等式x 1x2 a 在 xR 上恒成立 ,則 a 的取值范圍是（D ）A3,3B.3,3,3D,3C如果方程（ x-1） (x2-2x m)=0 的三個根可以作為一個三角形的三條邊長，那么實數(shù)m 的4取值范圍是（B ）學(xué)習(xí)必備歡迎下載A 、

7、0m1B、3 m 1C、 3 m 1D 、 m3/444設(shè)x, y R,則使 xy1(D)成立的充分不必要條件是Ax y 1Bx1 或 y1Cx 1D x<-122已知實數(shù) x、 y 滿足 x2+y2=1，則 (1 xy)(1+xy)( B )A 有最小值 1/2 ,也有最大值 1B 最小值 3/4,最大值 1C 最小值 3/4,無最大值D 最大值 1,無最小值6已知兩正數(shù) x,y滿足 x+y=1, 則 z= ( x1 )( y1 ) 的最小值為。xy正解： z= ( x1 )( y1 ) = xy1yx= xy1( xy) 22xy 2xy2 ，xyxyxyxyxyxy令 t=xy,則

8、 0t xy( x y) 21，由 f (t)t2在 0, 1 上單調(diào)遞減 ,故當 t=1 時24t44f (t)t2有最小值33,所以當 xy1時 z 有最小值25 。t4247不等式 ax 2 + bx + c 0 ，解集區(qū)間（ -1 ， 2），對于系數(shù) a、 b、 c，則有如下結(jié)論：2 a 0 b 0 c 0 a + b + c 0 a b + c 0，其中正確的結(jié)論的序號是_.正確答案 2 、3、 48不等式 (x-2) 2 (3-x) (x-4) 3 (x-1)0 的解集為。9若 x, y R ，且 2x+8y-xy=0 則 x+y 的范圍是。答案： 18)10已知適合不等式x24xpx35 的 x 的最大值