高考數(shù)學(xué)概率中的易錯題辨析

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載高考數(shù)學(xué)概率中的易錯題辨析概率是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容， 是銜接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要知識。 這部分內(nèi)容由于問題情境源于實(shí)際， 貼近生活， 所以學(xué)生樂學(xué)且易于接受；但這部分內(nèi)容由于易混點(diǎn)多，重復(fù)、遺漏情況不易察覺等， 學(xué)生感覺易做但易錯。 下面我們將學(xué)生容易出現(xiàn)的錯誤列舉出來 , 并加以辨別分析 ,以期對今后的學(xué)習(xí)提供幫助。一、概念理解不清致錯例 1拋擲一枚均勻的骰子，若事件 A ：“朝上一面為奇數(shù)” ，事件 B ：“朝上一面的點(diǎn)數(shù)不超過 3”，求 P（ A+B ）錯誤解法：事件 A ：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是 1，3， 5；事件 B：趄上一面的點(diǎn)數(shù)為 1，2， 3，P（A+B ）=P（

2、A）+P（B）= 331662錯因分析：事件A ：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1，3， 5；事件 B：趄上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2， 3，很明顯，事件 A 與事件 B 不是互斥事件。即 P（A+B ） P（ A ） +P（ B），所以上解是錯誤的。實(shí)際上：正確解法為： A+B 包含：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1， 2， 3，5 四種情況P（A+B ）= 4263錯誤解法 2：事件 A ：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1， 3， 5；事件 B：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，即以 A、 B 事件中重復(fù)的點(diǎn)數(shù) 1、 3 P（A+B ） =P（A ）+P（ B） P（ A · B）=1111322224錯因分析： A 、B 事件中重復(fù)

3、點(diǎn)數(shù)為1、3，所以 P（ A ·B ）= 2 ；這種錯誤解法在于簡6單地類比應(yīng)用容斥原理Card ( AB) Card ( A) Card ( B) Card ( A B) 致錯正確解答： P（A+B ） =P（A ）+P（ B） P（A · B）=11222263當(dāng)?shù)诖螖S出偶數(shù))例 2某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列 an ，使 an1,(n，記當(dāng)?shù)趎次擲出奇數(shù)1, ()Sa a2an求S0(i1,2,3,4) 且 S82 的概率。n1i錯解：記事件A ： S2 ，即前8項(xiàng)中，5項(xiàng)取值，另3項(xiàng)取值181 S82 的概率 P( A)C85(1)82記事件 B ： Si0( i

4、1,2,3,4) ，將 Si 0( i1,2,3,4)分為兩種情形：（ 1）若第 1、 2 項(xiàng)取值為 1，則 3， 4 項(xiàng)的取值任意（ 2）若第 1 項(xiàng)為 1，第 2 項(xiàng)為 1，則第 3 項(xiàng)必為 1 第四項(xiàng)任意學(xué)習(xí)必備歡迎下載P（B）= (1)2(1)33228所求事件的概率為351)8P=P（ A ）· P（ B） =C8(82錯因分析： Si 0 且 S82 是同一事件的兩個關(guān)聯(lián)的條件，而不是兩個相互獨(dú)立事件。Si 0 對 S8 2 的概率是有影響的，所以解答應(yīng)為：正解： Si 0(i1,2,3,4)前 4 項(xiàng)的取值分為兩種情形若 1、 3 項(xiàng)為 1；則余下6 項(xiàng)中 3 項(xiàng)為 1

5、，另 3 項(xiàng)為 -1 即可。即 P1 C63(1)8；2若 1、 2 項(xiàng)為正，為避免與第類重復(fù)，則第3 項(xiàng)必為 -1，則后 5 項(xiàng)中只須 3 項(xiàng)為 1，余下 2 項(xiàng)為 -1，即 P2C53 (1)8 ，2所求事件的概率為P(C63C53 ) (1)815227二、有序與無序不分致錯例 3甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有10 個不同的題目，其中選擇題6 個，判斷題 4 個，甲、乙依次各抽一題。求：（ 1）甲抽到選擇題，乙提到判斷題的概率是多少？（ 2）甲、乙兩人中至少有 1 人抽到選擇題的概率是多少？錯誤解法：（ 1）甲從選擇題抽到一題的結(jié)果為 C61乙從判斷題中抽到一題的結(jié)果為C14而甲、乙依

6、次抽到一題的結(jié)果為C102所求概率為：C61C418C10215錯因分析：甲、乙依次從10 個題目各抽一題的結(jié)果，應(yīng)當(dāng)是先選后排，所以應(yīng)為A102 。為避免錯誤，對于基本事件總數(shù)也可這樣做：甲抽取一道題目的結(jié)果應(yīng)為C101 種，乙再抽取余下的 9 道題中的任一道的結(jié)果應(yīng)為C91 種，所以C61C414正確解答：C101C9115（ 2）錯誤解法：從對立事件考慮，甲、乙都抽到判斷題的結(jié)果為C42 種，所以都抽到判C421，所求事件的概率為114斷題的概率為C911C101151515學(xué)習(xí)必備歡迎下載錯因分析： 指定事件中指明甲、乙依次各抽一題，那么甲、乙都提到判斷題的結(jié)果應(yīng)為11C14 C31

7、種，所以所求事件概率應(yīng)為1C4C32C101C9115說明：對于第（2）問，我們也可以用這樣解答：1 C422 ，這里啟示我們，當(dāng)基本事件是有序的，則指定事件是有序的（指定事件C102 15包含在基本事件中） ；當(dāng)基本事件是無序的，則指定事件也必?zé)o序。關(guān)鍵在于基本事件認(rèn)識角度必須準(zhǔn)確。例 4已知 8 支球隊(duì)中有 3 支弱隊(duì)，以抽簽方式將這 8 支球隊(duì)分為 A 、 B 兩組，每組 4 支，求： A 、 B 兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率。錯解 1：將 8 支球隊(duì)均分為A 、B 兩組，共有 C84C44 種方法： A 、B 兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的分法為： 先從 3 支弱隊(duì)取 2 支弱隊(duì)，又從

8、5 支強(qiáng)隊(duì)取 2 支強(qiáng)隊(duì)，組成這一組共有 C52C32種方法，其它球隊(duì)分在另一組，只有一種分法。所求事件的概率為：C52C223。C84C447錯因分析：從基本事件的結(jié)果數(shù)來看，分組是講求順序的，那么指定事件：“A、B 組中有一組有 2 支弱隊(duì)”應(yīng)分為兩種情形。即“A 組有”或“ B 組有”，所以正確解答為：正解： 2C52C226 或C52C226C84C447C84C44 / A227說明：這道題也可從對立事件求解：3 支弱隊(duì)分法同一組共有：C51C51 種結(jié)果。所求事件概率為1C51C516C84 C447三、分步與分類不清致錯例 5某人有 5 把不同的鑰匙，逐把地試開某房門鎖，試問他恰

9、在第3 次打開房門的概率？錯誤解法： 由于此人第一次開房門的概率為1 ，若第一次未開， 第 2 次能打開房門的概5率應(yīng)為 1 ；所以此人第3 次打開房門的概率為1 。43錯因分析： 此人第 3 次打開房門實(shí)際是第 1 次未打開，第 2 次未打開， 第 3 次打開 “這三個事件的積事件” ，或者理解為“開房門是經(jīng)過未開、未開、開”這三個步驟，不能理解為此事件只有“開房門”這一個步驟，所以，正確解答應(yīng)為：正解：第1 次未打開房門的概率為4 ；第2 次未開房門的概率為3 ；第3 次打開房門54學(xué)習(xí)必備歡迎下載的概率為1 ，所求概率為：P4311 。35435例 5某種射擊比賽的規(guī)則是：開始時在距目標(biāo)

10、100m 處射擊，若命中記 3 分，同時停止射擊。若第一次未命中，進(jìn)行第二次射擊，但目標(biāo)已在150m 遠(yuǎn)處，這時命中記2 分，同時停止射擊；若第2 次仍未命中，還可以進(jìn)行第3 次射擊，此時目標(biāo)已在200m 遠(yuǎn)處。若第3 次命中則記 1 分，同時停止射擊，若前3 次都未命中，則記 0 分。已知身手甲在100m 處擊中目標(biāo)的概率為1 ，他命中目標(biāo)的概率與目標(biāo)的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨(dú)立2的。求：射手甲得k 分的概率為 Pk，求 P3，P2， P1， P0 的值。：設(shè)射手射擊命中目標(biāo)的概率P 與目標(biāo)距離 x 之間的關(guān)系為 Pk2 ，由已知1k2k5000x21 00錯誤解法：P312P25

11、000215029(11 )(12)(11)490298144錯因分析：求P2 時，將第150m 處射擊命中目標(biāo)的概率作為第2 次命中目標(biāo)的概率，隔離了第1 次射擊與第2 次射擊的關(guān)系， 實(shí)際上，第 2 次射擊行為的發(fā)生是在第1 次未擊中的前提下才作出的。 P2 應(yīng)為 “第 1 次未擊中， 第 2 次擊中” 這兩個事件的積事件的概率。求 P1 時也如此。正解： P132P2(1121)992P(11 )(12 )171298144P(11 )(12 )(11)490298144四、考慮不周致錯例 6某運(yùn)動員射擊一次所得環(huán)數(shù)x 的分布列如下：x78910P0.20.20

12、.20.2現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊， 以該運(yùn)動員兩次射擊中最高的環(huán)數(shù)作為他的成績記為，求： 的分布列。錯誤解法：的取值為8，9，10。=7，兩次環(huán)數(shù)為 7,7；=8 ，兩次成績?yōu)?，8 或 8，8；=9，兩次成績 7， 9 或 8， 9 或 9， 9；=10 ，兩次隊(duì)數(shù)為7，10 或 8，10或 9，10 或10， 10。 P(7)0.20.20.04P(8)0.20.30.320.15學(xué)習(xí)必備歡迎下載P(9)0.20.30.30.30.320.23P(10)0.20.30.20.30.30.220.2（分布列略）錯因分析：8，即兩次成績應(yīng)為 7，8 或 8，7 或 8，8實(shí)際為三種情形，P(8)20.

13、20.30.320.219兩次 環(huán)數(shù)分別為7,9（ 或9,7）； 8,9（ 或9,8 ）， 9.9P(9)20.20.320.30.30.320.39同理 P(10) 0.12220.30.240.2 20.36例 7將 n 個球等可能地放入到 N（n× n）個有編號的盒子中（盒子中容納球的個數(shù)不限）。求 A：某指定的 n 個盒子中恰有一球的概率。錯誤解法：將n 個球等可能地放入到N 個盒子中，共有Nn 種方法。n!而指定的 n 個盆中各有一球的放法有：n!種，則所求概率：P( A)N m錯因分析：這種解法不全面，如果球是有編號的，則答案是對的。若球是不可辨認(rèn)的，則答案錯了， 若球是

14、不可辨認(rèn)的， 則若考慮盒子中球的個數(shù)而不考慮放的是哪幾個球， 為此，我們用“”表示一個盒子；用“”表示一個球，先將盒子按編號12345n把 n 個球放入 N 中盒子中， 形如：1010011 10001，正好看作 N+1 個“ 1”和 n 個“ 0”的全排列。由于兩邊必為“1”所以排法只有CNn n 1 種；而指定的n 個盒子中恰有一球的放1n!( N1)!法只有 1 種，故 P( A)CNn n 1( Nn1)!五、混淆“互斥”與“獨(dú)立”出錯例 8甲投籃命中概率為0.8，乙投籃命中概率為0.7，每人投3 次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？錯解：設(shè)“甲恰好投中2 次”為事件A ，“乙恰好投中

15、2 次”為事件B，則兩人恰好投中 2次為 A+B。所以 P（ A+B ） =P（ A ） +P（ B） = C32 0.8 20.2C32 0.720.30.825 。錯因分析： 本題解答錯誤的原因是把相互獨(dú)立同時發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮。將兩人都恰好投中2 次理解為“甲恰好投中2 次”與“乙恰好投中2 次”的和。正解：設(shè)“甲恰好投中2 次”為事件A ，“乙恰好投中2 次”為事件B，則兩人恰好都投中 2次為 AB。所以 P（ AB ） =P（ A ）× P（ B） = C32 0.820.2C32 0.7 20.30.169六.混淆有放回與不放回致錯學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 9某產(chǎn)品有 3 只次品， 7 只正品，每次取 1 只測試，取后不放回，求：（ 1）恰好到第 5 次 3 只次品全部被測出的概率；（ 2）恰好到第 k 次 3 只次品全部被測出的概率f (k) 的最大值和最小值。錯解：（ 1） P（A ） = 327511109876144（2） P (3)C 33 (13 ) 20.21