常州市2015屆高三第一學期期末調(diào)研測試數(shù)學試卷

1、常州市2015屆高三第一學期期末調(diào)研測試 數(shù)學試題 2015年2月一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應位置上（第6題）1 設集合，則= 2 設復數(shù)（，i為虛數(shù)單位），若，則的值為 3 已知雙曲線的離心率為，則實數(shù)a的值為 4 函數(shù)的定義域為 5 函數(shù)的最小正周期為 6 右圖是一個算法流程圖，則輸出的的值是 7 現(xiàn)有5道試題，其中甲類試題2道，乙類試題3道，現(xiàn)從中隨機取2道試題，則至少有1道試題是乙類試題的概率為 8 若實數(shù)滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為 9 曲線在點處的切線方程為 10 已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為 11 已知向量，設向量滿足，則的最大值為

2、 12 設等比數(shù)列的公比為（），前n項和為，若，且與的等差中項為，則 13 若不等式對任意滿足的實數(shù)恒成立，則實數(shù)的最大值為 14 在平面直角坐標系中，已知圓，圓均與軸相切且圓心，與原點共線，兩點的橫坐標之積為6，設圓與圓相交于，兩點，直線：，則點與直線上任意一點之間的距離的最小值為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知， （1）求的值；（2）求的值；（3）若，求ABC的面積16（本小題滿分14分）（第16題）如圖，四棱錐的底面ABCD 是平行四邊形，平

3、面PBD平面 ABCD， PB=PD，分別是，的中點，連結求證： （1）平面； （2）平面17（本小題滿分14分） 某學校為了支持生物課程基地研究植物生長，計劃利用學校空地建造一間室內(nèi)面積為900m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留 1m 寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留 3m 寬的通道，如圖設矩形溫室的室內(nèi)長為（m），三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為（m2）（1）求關于的函數(shù)關系式；（2）求的最大值18（本小題滿分16分）在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率，直線過橢圓的右焦點，且交

4、橢圓于，兩點（1）求橢圓的標準方程； （2）已知點，連結，過點作垂直于軸的直線，設直線與直線交于點，試探索當變化時，是否存在一條定直線，使得點恒在直線上？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由 19（本小題滿分16分）已知數(shù)列（，）滿足， 其中，（1）當時，求關于的表達式，并求的取值范圍；（2）設集合若，求證：；是否存在實數(shù)，使，都屬于？若存在，請求出實數(shù)，；若不存在，請說明理由20（本小題滿分16分） 已知為實數(shù)，函數(shù)，函數(shù) （1）當時，令，求函數(shù)的極值； （2）當時，令，是否存在實數(shù)，使得對于函數(shù) 定義域中的任意實數(shù)，均存在實數(shù)，有成立，若存在，求出實數(shù)的取值集合；若不存在，請說明

5、理由 數(shù)學（附加題） 2015年2月21【選做題】在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟（第21-A題）A選修41：幾何證明選講 已知AB是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一 點，PC是的平分線，是下半圓的中點.求證：直線PC經(jīng)過點.B選修42：矩陣與變換 已知矩陣滿足：，其中是互不相等的實常數(shù)， 是非零的平面列向量，求矩陣.C選修44：坐標系與參數(shù)方程已知兩個動點，分別在兩條直線和上運動，且它們的橫坐標分別為角的正弦，余弦，.記，求動點的軌跡的普通方程. D選修45：不等式選講已知，證明：.【必做題】第

6、22題、第23題，每題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22 (本小題滿分10分)一位網(wǎng)民在網(wǎng)上光顧某淘寶小店，經(jīng)過一番瀏覽后，對該店鋪中的五種商品有購買意向.已知該網(wǎng)民購買兩種商品的概率均為，購買兩種商品的概率均為，購買種商品的概率為.假設該網(wǎng)民是否購買這五種商品相互獨立.（1）求該網(wǎng)民至少購買4種商品的概率；（2）用隨機變量表示該網(wǎng)民購買商品的種數(shù)，求的概率分布和數(shù)學期望.23（本小題滿分10分） 設個正數(shù)滿足（且）（1）當時，證明：；（2）當時，不等式也成立，請你將其推廣到（且）個正數(shù)的情形，歸納出一般性的結論并用數(shù)學歸納法證明常州市教育

7、學會學生學業(yè)水平監(jiān)測參考答案及評分標準一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1 2 38 4 5 6127 7 81 9 10 11 12 13 14 二、解答題：本大題共6小題，共計90分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15解：（1）因為，所以 2分又由正弦定理，得， ，化簡得， 5分（2）因為，所以所以 8分（3）因為，所以 10分因為，所以12分因為， ，所以所以ABC的面積 14分16證明：（1）連結AC， 因為ABCD 是平行四邊形，所以O為的中點 2分 在中，因為，分別是，的中點， 所以 4分 因為平面，平面， 所以平面 6分 （2）連結因為是的中點，PB=PD

8、，所以POBD又因為平面PBD平面ABCD，平面平 面=，平面所以平面 從而8分 又因為，,平面，平面， 所以平面 因為平面，所以 10分因為，所以 12分又因為平面，平面，, 所以平面 14分17解：（1）由題設，得， 6分（2）因為，所以， 8分當且僅當時等號成立 10分從而 12分答：當矩形溫室的室內(nèi)長為60 m時，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為m2 14分18 解：（1）由題設，得解得從而，所以橢圓的標準方程為 4分（2）令，則，或者，當，時，；當，時，所以，滿足題意的定直線只能是 6分下面證明點恒在直線上設，由于垂直于軸，所以點的縱坐標為，從而只要證明在直線上 8分由得，

9、 10分， 13分式代入上式，得， 所以 15分點恒在直線上，從而直線、直線與直線三線恒過同一點， 所以存在一條定直線：使得點恒在直線上 16分19解：（1）當時， 2分因為，或，所以 4分（2）由題意， 6分令，得因為，所以令，則 8分 不存在實數(shù)，使，同時屬于 9分 假設存在實數(shù)，使，同時屬于，從而 11分因為，同時屬于，所以存在三個不同的整數(shù)（），使得 從而 則 13分因為與互質(zhì)，且與為整數(shù)，所以，但，矛盾 所以不存在實數(shù)，使，都屬于 16分20解：（1），令，得 1分列表：x0 + 極小值 所以的極小值為，無極大值 4分（2）當時，假設存在實數(shù)滿足條件，則在上恒成立 5分1）當時， 可

10、化為，令，問題轉(zhuǎn)化為：對任意恒成立；（*）則，令，則時，因為， 故，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，即，從而函數(shù)在時單調(diào)遞增，故，所以（*）成立，滿足題意； 7分當時，因為，所以，記，則當時，故，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，即，從而函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，此時（*）不成立； 所以當，恒成立時，； 9分2）當時，可化為，令，問題轉(zhuǎn)化為：對任意的恒成立；（*）則，令，則時，故，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，即，從而函數(shù)在時單調(diào)遞增，所以，此時（*）成立；11分當時，）若，必有，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，從而函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，此時（*）不成立； 13分）若，則，所以當時，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，所以函數(shù)在時單調(diào)遞

11、減，所以，此時（*）不成立；所以當，恒成立時，； 15分綜上所述，當，恒成立時， ，從而實數(shù)的取值集合為 16分高三數(shù)學（附加題） 參考答案21、【選做題】在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分A選修41：幾何證明選講 證明： 連結，則 2分因為是圓周角，同弧上的圓心角， 所以 5分同理可得，所以是的平分線 8分又PC也是的平分線，的平分線有且只有一條，所以PC與重合.所以直線PC經(jīng)過點. 10分B選修42：矩陣與變換解：由題意，是方程的兩根 因為，所以 2分又因為，所以，從而 5分所以 因為，所以從而 8分故矩陣. 10分C選修44：坐標系與參數(shù)方程 解：設，則 2分兩式平方相加得 5分又所以，. 8分所以動點軌跡的普通方程為（）10分D選修45：不等式選講證明：因為所以， 4分 ， 8分 所以. 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分22解：（1）記“該網(wǎng)民購買i種商品”為事件，則：, ,2分 所以該網(wǎng)民至少購買4種商品的概率為 . 答：該網(wǎng)民至少購買4種商品的概率為. 3分（2）隨機變量的可能取值為，